第2章 1

nullnull第2章 自动控制系统的数学模型 2.1 控制系统的微分方程 2.2 控制系统的传递函数 2.3 方块图 2.4 控制系统的信号流图 null2.1 控制系统的微分方程 2.1.1 机械系统 2.1.2 电路系统 2.1.3 机电系统 null1． 质量、弹簧、阻尼器系统 。假设壁摩擦为粘性摩擦，试建立系统的微分方程。2.1.1 机械系统null2． 设有一倒立摆安装在带有电动机的驱动车上，控制力作用于小车上，假设摆杆的重心位于其几何中心，试求这个系统的微分方程。 2.1.1 机械系统null简化物理模型 列写控制系统各部分的微分方程 在平衡点附近线性化 各部分的微分方程：线性化的方程： 系统的微分方程： 2.1.1 机械系统null1．由电阻、电感和电容组成的无源网络如图所示，试列写以为输入量，为输出量的网络微分方程。 2.1.2 电路系统null2． 一有源电路如图所示，试求其输出电压与输入电压之间的关系。 有源网络的微分方程为 2.1.2 电路系统null1．直流电动机，控制电压可以作用于激磁磁场，也可以作用于电枢两端。 2.1.3 机电系统null电枢控制式直流电动机 ：磁场控制式直流电动机 ：2.1.3 机电系统null电枢控制式直流 电动机微分方程 为2.1.3 机电系统null磁场控制式直流 电动机微分方程为 2.1.3 机电系统null2．试列写下图所示的速度控制系统以转速为输出量，给定电压为输入量的微分方程。 2.1.3 机电系统null速度控制系统的微分方程为 2.1.3 机电系统各部分的微分方程为 2.2 控制系统的传递函数2.2 控制系统的传递函数 2.2.1 传递函数定义 2.2.2 典型环节传递函数 2.2.3 举例说明建立传递函数的方法 2.2 控制系统的传递函数2.2.1 传递函数定义2.2.1 传递函数定义2.2.1 传递函数定义 零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉 氏变换之比。 2.2.2 典型环节传递函数 1．比例环节（又称放大环节） 2．惯性环节 null3．积分环节 2.2.2 典型环节传递函数 ， null4．微分环节 2.2.2 典型环节传递函数理想的纯微分环节 理想的一阶和二阶微分环节的 传递函数分别为 实际物理系统 null5．振荡环节 2.2.2 典型环节传递函数6．滞后环节null1．重新考虑电枢控制式直流电动机，试求以电枢控制电压 为输入量，电动机转角 为输出量的传递函数。2.2.3 举例说明建立传递函数的方法null电枢时间常数 可以忽略不计 2.2.3 举例说明建立传递函数的方法如果电枢电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计时 可将直流电动机作为积分环节 null2．重新考虑磁场控制式直流电动机，试求以激磁电压为输入量，电动机转角为输出量的传递函数。2.2.3 举例说明建立传递函数的方法null3．重新考虑倒立摆系统，试求这个系统的传递函数。 2.2.3 举例说明建立传递函数的方法null2.2.3 举例说明建立传递函数的方法null4．倒立摆系统如图所示，试求其传递函数。 2.2.3 举例说明建立传递函数的方法null5．比例、积分、微分（亦即PID proportion integral differential）控制器如图所示，试求其传递函数。 2.2.3 举例说明建立传递函数的方法null6. 导弹航向控制系统。试建立以陀螺仪角度为输入量，导弹机体航向角度为输出量的系统传递函数。 2.2.3 举例说明建立传递函数的方法null导弹航向控制系统的传递函数为2.2.3 举例说明建立传递函数的方法2.3 方块图2.3 方块图 2.3.1 方块图的组成和绘制 2.3.2 方块图的等效变换 2.3.3 闭环系统的传递函数 2.3 方块图2.3.1 方块图的组成和绘制2.3.1 方块图的组成和绘制null 电路系统的传递函数并不等于两个RC电路串联连接时的传递函数 2.3.1 方块图的组成和绘制null 例：RLC电路系统如图所示，试绘制 以为输入， 为输出的系统方块图。2.3.1 方块图的组成和绘制null2.3.1 方块图的组成和绘制null[定义]：在方块图上进行数学方程的运算。 [类型]：①环节的合并； --串联 --并联 --反馈连接 ②信号分支点或相加点的移动。 [原则]：变换前后环节的数学关系保持不变。2.3.2 方块图简化null1．环节的合并：有串联、并联和反馈三种形式。2.3.2 方块图简化null① 信号相加点的移动： 把相加点从环节的输入端移到输出端2．信号相加点和分支点的移动和互换：2.3.2 方块图简化 把相加点从环节的输出端移到输入端null② 信号分支点的移动： 分支点从环节的输入端移到输出端2.3.2 方块图简化null 分支点从环节的输出端移到输入端：[注意]： 相邻的信号相加点位置可以互换；见下例2.3.2 方块图简化null 相加点和分支点在一般情况下，不能互换。常用的方块图等效变见表2-1 所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。2.3.2 方块图简化null例： 利用方块图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。[解]：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：2.3.2 方块图简化null总的方块图如下：2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化null解法二：2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化null解法三：2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化null[解]：方块图等效变换如下：例： 系统方块图如下，求传递函数 。2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化null2.3.2 方块图简化2.3.3 闭环系统的传递函数 2.3.3 闭环系统的传递函数 1．输入量作用下的闭环传递函数null2.3.3 闭环系统的传递函数2．扰动量作用下的闭环传递函数null2.3.3 闭环系统的传递函数3．闭环系统的误差传递函数null2.3.3 闭环系统的传递函数闭环系统的特征方程式开环传递函数2.4 控制系统的信号流图2.4 控制系统的信号流图2.4 控制系统的信号流图 2.4.1 信号流图 2.4.2 信号流图的等效变换 2.4.3 梅逊公式 null 信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。1． 信号流图 组成：信号流图由节点和支路组成的信号传递网络。见下图： 2.4.1 信号流图null节点：节点表示变量。以小圆圈表示。 支路：连接节点之间的有向线段。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。2.4.1 信号流图null[几个术语]： 输出节点(阱点)： 混合节点：通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点和终点不是同一节点称为开通路。 输入点(源点)： 前向通路：2.4.1 信号流图null 回路(闭通路)： 互不接触回路： 互相接触回路：2.4.1 信号流图null 通路传输(增益)： 回路传输(增益)：前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。 互不接触回路传输(增益)积：2.4.1 信号流图null 回路(闭通路)： 互不接触回路： 通路传输(增益)： 回路传输(增益)：2.4.1 信号流图null节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。 信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。 对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的2．信号流图的性质2.4.1 信号流图null ⒈ 根据方块图绘制 ⒉ 按微分方程拉氏变换后的代数方程所表示的变量间数学关系 绘制 例：已知方块图如下，可在方块图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。2.4.1 信号流图3．信号流图的绘制null例：重新考虑例2.2.5中的电枢控制式直流电动机，画出该系统的信号流图。 2.4.1 信号流图null2.4.1 信号流图null2.4.2 信号流图的等效变换null2.4.2 信号流图的等效变换null如前例已知信号流图如图所示，所对应的代数方程为以R为输入，V2为输出则方程可整理为写成矩阵形式为2.4.3 梅逊增益公式1．梅逊公式的推导null和 2.4.3 梅逊增益公式由克莱姆法则得 由克莱姆法则得 于是传递函数为2.4.3 梅逊增益公式 图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ） 图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ） 可见，传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。 2.4.3 梅逊增益公式null 如果把△中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为△k。由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示 2.4.3 梅逊增益公式null故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为 2.4.3 梅逊增益公式null2．梅逊公式2.4.3 梅逊增益公式null总之，传递函数的分母△取决于信号流图中回路的拓扑结构。分子取决于前向通路及与该前向通路无关的回路的拓扑结构。2.4.3 梅逊增益公式null2.4.3 梅逊增益公式null2.4.3 梅逊增益公式null[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：例：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。2.4.3 梅逊增益公式null2.4.3 梅逊增益公式null讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，总传输将不一样。不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。上图中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。为什么？2.4.3 梅逊增益公式null[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：2.4.3 梅逊增益公式null2.4.3 梅逊增益公式null2.4.3 梅逊增益公式null注意：梅逊公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅逊公式。也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递函数： 1．把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅逊公式。 2．分别用梅逊公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的传递函数。另外，梅逊公式也可直接在方框图上应用。2.4.3 梅逊增益公式null例：一系统的信号流图如图所示，试求增益 ， ， 。 2.4.3 梅逊增益公式null1．计算增益 2.4.3 梅逊增益公式null 2． 计算增益 2.4.3 梅逊增益公式null3． 计算增益 方法1： 2.4.3 梅逊增益公式null方法2：在图中先应用梅森增益公式分别求出增益 和 ，然后再计算 2.4.3 梅逊增益公式null例： 数数有几个回路和前向通道。 有九条前向通道，分别是：2.4.3 梅逊增益公式null 对应的结构图为：注意：①信号流图与结构图的对应关系；②仔细确定前向通道和回路的个数。2.4.3 梅逊增益公式null例：已知机电系统如图所示，试求其传递函数。假定电磁线圈的反电势 ，线圈电流对衔铁M产生的力是 ，衔铁M 产生的位移x为系统输出。 2.4.3 梅逊增益公式null例：2.4.3 梅逊增益公式