非负矩阵谱半径的估计

第 25卷第 3期 2011年 5月 甘肃联合大学学报(自然科学版) Journal of Gansu Lianhe University(Natural Sciences) Vo1．25 No．3 M ay．2011 文章编号：1672—691X(2011)03—0024—03 非负矩阵谱半径的估计 李艳艳 (文山学院 数理系，云南 文山 663000) 摘 要：给出非负矩阵 A的谱半径p(A)l-界的一个新估计式和非负矩阵 A与B的 Hadamard积的谱半径 p(A 。曰)上界的一个新估计式． 关键词：非负矩阵；Hadamard积；谱半径 中图分类号：O151．21 文献标识码：A l 引言及预备知识 非负矩阵理论一直是线性代数中最活跃的研 究领域之一，并且在数学和 自然科学的许多其他 分支以及社会科学中有着广泛应用．例如，在各类 矩阵的谱分析，尤其是对于 Markov链理论，方程 组的求解，偏微分方程(组)数值解的一般理论的 应用，一直是科学家十分关心的热门话题 ，非负矩 阵理论因其为这些问题的研究和解决提供了数学 基础和工具而被许多学者关注和研究，在这些研 究中非负矩阵谱半径的上界估计是其热点之一， 已获得一系列估计式[1卅]．本文继续这个问题的 研究，给出了非负矩阵A的谱半径P(A)上界的新 估计式和非负矩阵 A与B的 Hadamard积的谱 半径p(A。B)上界的新估计式． 记 N表示正整数集合，C ”( )表示 扎× 复 (实)矩阵集合． 定义 1[1 设 A一(口 )∈R ，如果 口d≥0 ( ，J一1，2，⋯， )，则称 A为非负矩阵，记为A≥ 0；若 a0>O( ，J一1，2，⋯， )，则称 A为正矩阵， 记为 A>0． 定义 2[1] 由矩阵A一(口 )∈ 的 72个特 征值 ， 。，⋯， 组成的集合称为A的谱，记为 (A)，即 d(A)一{ ， ：，⋯， )．矩阵 A的 个特 征值模的最大值称为A的谱半径，记为ID(A)，即 p(A)=max{I l，i∈N)． f 定义 3[ ] 设 A一(口#)∈Cm ，B= (b )∈ CJ，l ．用A。B表示A和B的对应元素相乘而成的 m×7l矩阵 f口11bll ⋯ alnbl 1 A。B= I ； ； }， 【口 1b 1 ⋯ n 6，册J A。B称为A和B的Hadamard积． 引理 1r 设 阶方阵A≥0，如果存在一个 置换矩阵PER ，使得 PAPt—fB c1， ＼0 ／ 其中曰和D分别是五，z阶方阵，忌≥l，z≥1，则称 A是可约矩阵；否则称A是不可约矩阵． 引理 2[。 设 ，2阶方阵A≥O且不可约，则 (1)矩阵A的谱半径lD(A)是A的特征值； (2)A有一个对应于lD(A)的正特征值向量． 引理 3C 设A=(口 )∈C ≥O．若 是A 的主子矩阵，则p(At)≤lD(A)． 引理4c 设 阶矩阵A≥O，则下列结论之 一 成立 ， (1)A不可约 ； (2)存在置换矩阵P使得 PTAP— Al A12 A， Al^ A2^ ● ： A 其中A 或不可约或为0， 一1，⋯，忌． 引理 5[3] 设 A一(口 )∈RnXn≥O，则 1 lD(A)≤max÷{a／／+口 + l J [(口 一 )。+4∑口 ∑口业] ≠^ i ≠j 另一方面，若A不可约，则 收稿日期：2011-02-24． 作者简介：李艳艳(1982一)，甘肃庆城人，文山学院助教，主要从事矩阵理论及其应用方面的研究． 第3期 李艳艳 ：非负矩阵谱半径的估计 25 lD(A) ra in 1 + 一 厶 [(口 一 ) +4∑口 ∑ ] ‘≠i ≠^』 设 A：(口 )∈R ≥0，JA一--1)i- Z(A)，其 中Z(A)=D—A，D—diag(a )，D1一diag(dd)，dd — f口 ，口d≠o — I1，口 0． 2 A的谱半径lD(A)的估计 定理 1 设 A一(口 )∈Rn~n≥O，则 lD(A)≤m a x寺 + + l J [(n 一 )。+4d p(JA)。]寺}． 另一方面，若A不可约，则 ID(A)≥ 专 + 一 l J [(口 一 )。+4d p(J^)。]专)． 证明 若 A不可约，则 J 也不可约且是非负 矩阵．由引理 2知，存在正向量 U，使 J^ — p(JA)ll， 即 令 ∑ =lD(， )． d “ U— diag(u1，⋯ ， )， 设 一 ( )： gr-'a0一 a 12 2 n1nU n a ll ’ 。。。⋯ ’ 。 。。。 一 l U 1 — a21 — Ul 口22 ⋯ — ~ 2n — U n zl2 2 — anl —~1 丝 ⋯ 口 n z‘H 则 P(A)一lD(A)，由引理 5知 lD( )≤ 丢{ + + I≠， [( 一 ) +4∑ ∑ ]÷)一 ma x寺{口d+口 + f≠J 一 [ 一 4 ]丢)一 m ． a ． ．x軎(口 +口 + i≠j 己 [(n 一口 )。+4d 』D( ^ )。]丢)． 特别的， (1)Vi∈N，a ：0时，p(A)≤O(J )； 1 (2)V i∈N，口d≠0时，lD(A)≤max÷{口 + l c ， +[(口 一口 )。+4d P(J^)。]寺)． 用同样的方法得 1 lD(A)≥ m ⋯ax寺(口 + + 圬EJ 厶 [(口 一 )。+4d d p(J ) ]专)． 当A可约时，-， 也可约，设 A有块上三角形 式(1)且每一对角块不可约，由引理 3知 』D(A)一 maxp(Af)， 由此得定理 1结论成立，证毕． 例1 A一(； ＼ 1’J^ ^2 u 了 丢 o p(J 譬． 由定理 l知，lD(A)≤4，事实上，l口(A)=4． 设 A_．--(口 )∈R t>0，口一(％)∈R “≥O，C —AB一( )∈R” ≥O，J c一曰lN，其中，N=E-- A，E=diag(c )，E1一diag(sd)，5 = 3 o(a。B)的上界估计 弓I理 6[‘ 设 A一(口d)∈R ≥ 0，B一(6 ) ∈ ≥O，则 p(A。 )≤ lD((A。A)( 。口))言≤ 』口(A曰)． 定理 2 设 A=(口 )∈Rn~n≥0，B一( )∈ ≥0，C=AB=( )∈RnXn≥O，则 1 p(A。曰)≤ ma ．x专{cd+ + J E(c —c )。+4s s ‘D(J c)。]专)． 证明 若 C不可约时，J 也不可约且非负， 由引理 2知存在正向量 ，满足 J '，一』D(J )'，，即 C ~V ． ／一 p(J c)． J l ‘ 令 y— diag(vl，⋯ ， )， 设 一 ( )一 · 一 26 甘肃联舍大学学报(自然科学版) 第 25卷 Cl1 a 21V l — a — ． 1 ． 2 ． v — 2 — ． ． ． 1 ． 2 ． 1 n ． 'U — — — n 731 1 C22 ● ： a2 n -02 — a nl — 7)I a — n2 — V2 ⋯ cm n H 由引理 6与引理 5知 p(A。B)≤ P(B)一 lD(c)≤ ma ，x寺{c + + z：声 ， 厶 [( 一 ) +4∑ ∑ ]÷)： t≠ i ≠^』 警丢 + + [(ca～ +4 E ]吾)==： 专(c + + E(cd一 )。+4s s p(J c)。]专)． 当C可约时，， 也可约，设 C有块上三角形 式(1)且每一对角块不可约，由引理 3知 (C)一 maxp(Ci)， 由此得定理 2结论成立，证毕． 例 2 A一 0 1 3 O 1 2 B：= 丢 o o O 1 2 2 3 O 应用定理 2得，p(A。B)≤2．9999，事实上 p(A。B) ===1． 参考文献： [1]陈景良，陈向晖．特殊矩阵[M]．北京：清华大学出版 社 ，2000：239—246． [2]黄庭祝，杨传胜．特殊矩阵分析及应用[M]．北京：科 学出版社 ，2006：4． [3]LIU Qing—bing，CHEN Guo-liang，ZHAO Lin-lin． Some new bounds on the spectra[radius of matrices [J]．Linear Algebra and Its Applications，2010 (432)：936—948． Bounds on the Spectral Radius of Nonnegative Matrices L1 Yah—yan (Department of Mathematics and Physics，Wenshan University，Wenshan 663000，China) Abstract：A new upper bound on the spectral radius of nonnegative matrix was given．A new upper bound on the spectral radius for the Hadamard product of tWO nonnegative matrices A and B was ob— tained． Key words：nonnegative matrices；Hadamard product；spectral radius O 1 —5 O l 一6 O 1 —2 1—2 一6 一4 ～2 一5 2～3 l一2 O