nullnull第8章 MATLAB数值积分与微分
8.1 数值积分
8.2 数值微分null 8.1 数值积分
8.1.1 数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
就分解为求和问题。null8.1.2 数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。null 例8-1 求定积分。
(1) 建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);
(2) 调用数值积分函数quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)
S =
0.9008
n =
77
或[S,n]=quad('exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6)',0,3*pi)null2．牛顿－柯特斯法
基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)
其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。null例8-2 求定积分。
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x)
f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2) 调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
I =
2.4674null例8-3 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。
调用函数quad求定积分：
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)
I =
0.28579444254766
n =
65null 调用函数quad8求定积分：
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)
I =
0.28579444254754
n =
33null3．被积函数由一个表格定义
在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。
例8-4 用trapz函数计算定积分。
命令如下：
X=1:0.01:2.5;
Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量
trapz(X,Y)
ans =
0.28579682416393null8.1.3 二重定积分的数值求解
使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：
I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)
该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。null例8-5 计算二重定积分
(1) 建立一个函数文件fxy.m：
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
(2) 调用dblquad函数求解。
global ki;ki=0;
I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)
ki
I =
1.57449318974494
ki =
1038null8.2 数值微分
8.2.1 数值差分与差商
8.2.2 数值微分的实现
在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：
DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。
DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。
DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。null例8-6 生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。
命令如下：
V=vander(1:6)
DV=diff(V) %计算V的一阶差分null例8-7 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f'(x)的图像。
程序如下：
f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');
g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');
x=-3:0.01:3;
p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多项式p拟合f(x)
dp=polyder(p); %对拟合多项式p求导数dp
dpx=polyval(dp,x); %求dp在假设点的函数值
dx=diff(f([x,3.01]))/0.01; %直接对f(x)求数值导数
gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数
plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-'); %作图
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