nullnull学案12 导数的应用 null考点1考点2考点3考点4null返回目录 考 纲 解 读 null考 向 预 测 返回目录 1.以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性,求单调区间,求极值与最值.
2.以实际问题为背景,考查利用导数解决生活中的优化问题.
3.以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、平面向量等知识相结合的null返回目录 1.函数的单调性
在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0 f(x)为 ;
f′(x)≤0 f(x)为 .减函数 增函数 null返回目录 2.函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧, 右侧 ,那么f(x0)是极大值.
②如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x);
②求方程 的根;f′(x)>0f′(x)<0 f′(x)<0f′(x)>0f′(x)=0null返回目录 ③考察在每个根x0附近,从左到右导函数f′(x)的符号如何变化.如果左正右负,那么f(x)在x0处取得 ;如果左负右正,那么f(x)在x0处取得 .
3.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值.极小值 极大值 f(a) f(b)f(a) f(b)null (3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在(a,b)内的 ;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.返回目录 极值 null返回目录 考点1 函数的单调性与导数 已知f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;
(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在
[0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存
在,说明理由.null【解析】 f′(x)=ex-a.
(1)若a≤0,f′(x)=ex-a≥0恒成立,即f(x)在R上递增.
若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.
∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).
(2)∵f(x)在R内单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成立.
∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立.
∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0. 【
分析
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】 (1)通过解f′(x)≥0求单调递增区间;
(2)转化为恒成立问题求a;
(3)假设存在a,则x=0为极小值点,或利用恒成立问题.返回目录 null(3)解法一:由题意知ex-a≤0在(-∞,0]上恒成立.
∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立.
∵ex在(-∞,0]上为增函数.
∴x=0时,ex最大为1.∴a≥1.
同理可知ex-a≥0在[0,+∞)上恒成立.
∴a≤ex在[0,+∞)上恒成立.
∴a≤1,∴a=1.
解法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点.
∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.返回目录 null 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0[或f′(x)≤0],x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f′(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0,则由f′(x)≥0[或f′(x)≤
0]恒成立解出的参数的取值范围确定.返回目录 null已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)设函数f(x)在区间( )内是减函数,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=x3+ax2+x+1,f′(x)=3x2+2ax+1,
当Δ=(2a)2-3×4=4a2-12≤0,即 ≤a≤ 时,f′(x)≥0恒成立,返回目录 null此时f(x)为单调递增函数,单调区间为(-∞,+∞).
当Δ=(2a)2-3×4=4a2-12>0,即a> 或a< ,函数f′(x)存在零解,
此时当x< 时,f′(x)>0,
当x> 时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
当 <x< 时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.返回目录 null此时函数的单调区间为
若a> 或a< ,则(-∞, ),( ,+∞)为单调递增区间;
( )为单调递减区间.
(2)若函数在区间( )内是减函数,则说明f′(x)=3x2+2ax+1=0两根在区间( )外,因此 f′( )≤0,且f′( )≤0,由此可以解得a≥2.
因此a的取值范围是[2,+∞).返回目录 null
考点2 函数的极值与导数[2010年高考安徽卷]设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.返回目录 null【分析】求出f′(x),利用f′(x)>0,f′(x)<0,求出单调区间,再求极值.【解析】 (1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln2.
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
:返回目录 null返回目录 null故f(x)的区间是(-∞,ln2),区间是(ln2,+∞),f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a= 2(1-ln2+a)
(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当a>ln2-1时,g′(x)取最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.
于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞)都有g(x)>0.
即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.返回目录 null 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.返回目录 null设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当a≠0时,求函数f(x)的极大值和极小值.(1)当a=1时,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,
f(2)=-2,f′(x)=-3x2+4x-1,
f′(2)=-12+8-1=-5,
∴当a=1时,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 5x+y-8=0.返回目录 null(2) f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,
f′(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),
令f′(x)=0,解得x= 或x=a.
由于a≠0,以下分两种情况讨论.
①若a>0,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:因此,函数f(x)在x= 处取得极小值f( ),且f( )= ;
函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.↘↗↘返回目录 null②若a<0,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
因此,函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0;
函数f(x)在x= 处取得极大值f( ),
且f( )= .↘↘↗返回目录 null考点3 函数的最值与导数 [2009年高考辽宁卷]设f(x)=ex(ax2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.
(1)求a的值,并讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当θ∈[0, ]时,|f(cosθ)-f(sinθ)|<2.返回目录 null【解析】 (1)f′(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1).
由条件知,f′(1)=0,
故a+3+2a=0 a=-1.
于是f′(x)=ex(-x2-x+2)
=-ex(x+2)(x-1).
故当x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)时,f′(x)<0;当x∈(-2,1)时,f′(x)>0.
从而f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)内单调递减,在(-2,1)内单调递增.返回目录 null(2)证明:由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增,故f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)=e,最小值为f(0)=1.
从而对任意x1,x2∈[0,1],有
|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2.
而当θ∈[0, ]时,cosθ,sinθ∈[0,1].
从而|f(cosθ)-f(sinθ)|<2.返回目录 null 本题主要考查函数的单调区间、最值及导数的应用,同时考查运算求解能力. 返回目录 null已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值. f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).
若a≤0,则f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
∴当x=0时,有最大值f(0)=0.
若a>0,则令f′(x)=0,解得x=± .
∵x∈[0,1],则只考虑x= 的情况.
如下表所示:
【解析】返回目录 null (1)0< <1,即0<a<1,当x= 时,f(x)有最大值f( )=2a .
(2) ≥1,即a≥1,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3a-1.
综上,当a≤0,x=0时,f(x)有最大值0;
当0<a<1,x= 时,f(x)有最大值2a ;
当a≥1,x=1时,f(x)有最大值3a-1.↗↘返回目录 null返回目录 考点4 最优化问题 一 艘 轮船在航行中的燃料费和它速度的立 方成 正比,已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元.问此轮船以多大速度航行时,能使行驶每公里的费用总和最小?【分析】由题意构造函数,利用导数求最值.null 【解析】设船的速度为x(x>0)(公里/小时)时,燃料费用为Q元,则Q=kx3.
由6=k×103可得k= ,∴Q= x3.
∴总费用y=( x3+96)· = x2+ .
∴y′= x- .令y′=0得x=20.
当x∈(0,20)时,y′<0,此时函数单调递减.
当x∈(20,+∞)时,y′>0,此时函数单调递增.
∴当x=20时,y取得最小值.
∴此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小.返回目录 null (1)用导数解应用题求最值的一般方法是:求导,令导数等于零;求y′=0的根,求出极值点;最后写出解答.
(2)在有关极值应用的问题中,绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f′(x)=0,且在两侧f′(x)的符号各异,一般称为单峰问题,此时该点就是极值点 ,也是最值点.返回目录 null从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖长方体铁盒,要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数t(t>0).试问当x取何值时,容积V有最大值?返回目录 nullV=x(2a-2x)2=4(a-x)2·x.
∵ ≤t,∴0
0,得0a,此时V(x)为增函数;由V′<0,得
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