东华理工大学概率论参考答案

参考答案 第一章 概率论的基本概念 一、选择题 1．答案：（B） 2. 答案：（B） 解：AUB表示A与B至少有一个发生, -AB表示A与B不能同时发生,因此(AUB)( -AB)表示A与B恰有一个发生． 3．答案：（C） 4. 答案：（C） 注:C成立的条件:A与B互不相容. 5. 答案：（C） 注:C成立的条件:A与B互不相容,即 . 6. 答案：（D） 注:由C得出A+B= . 7. 答案：（C） 8. 答案：（B） 9. 答案：（D） 注：选项B由于 10.答案：（C） 注：古典概型中事件A发生的概率为 . 11.答案：（C） 12.答案：（C） 解：用A来表示事件“每个盒子中至多有１个球”，此为古典概型.由于不限定盒子的容量，所以每个小球都有N种放法，故样本空间中样本点总数为 ；每个盒子中至多有１个球，则 个小球总共要放n个盒子，先在N个盒子中选出n个盒子，再将n个球进行全排列，故事件A中所包含的样本点个数为 .因此 13.答案：（A） 解：用A来表示事件“此 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A 的对立事件 “此 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知 ，故 . 14.答案：（D） 解： 当抽取方式有放回时， 当抽取方式不放回时， . 15.答案：（C） 16.答案：（A） 解：这里可以理解为三个人依次购买奖券，用 表示事件“第i个人 中奖”，用 表示事件“恰有一个中奖”，则 ， 故 . 17.答案：（B） 解：“事件A与B同时发生时,事件C也随之发生”，说明 ， 故 ；而 故 . 18.答案：（D） 解：由 可知 故A与B独立. 19.答案：（A） 解：由于事件A,B是互不相容的，故 ，因此 P(A|B)= . 20.答案：（A） 解：用C表示事件“A与B恰有一个发生”，则C= ， 与 互 不相容，故 . 或通过文氏图来理解，由于 ，故 ，因此 . 21.答案：（D） 解：用E表示“n次独立试验中，事件A至多发生一次”，用B表示 事件“n次独立试验中，事件A一次都不发生”，用C表示事件“n次 独立试验中，事件A恰好发生一次”，则 ，故 . 22.答案：（B） 解：用A表示事件“至少摸到一个白球”，则A的对立事件 为“4 次摸到的都是黑球”，设袋中白球数为 ，则 . 23.答案：（D） 解：所求事件的概率为 . 24.答案：（D） 解：用A表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A的对立事件 “密码最终没能被译出”，事件 只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故 . 25.答案：（B） 解：所求的概率为 注： . 26.答案：（B） 解：用A表示事件“甲击中目标”，用B表示事件“乙击中目标”，用C表示事件“目标被击中”，则 .故 . 27.答案：（A） 解：即求条件概率 ，由条件概率的定义 . 28.答案：（A） 解：用A表示事件“取到白球”，用 表示事件“取到第i箱” ，则由全概率公式知 . 29.答案：（C） 解：用A表示事件“取到白球”，用 表示事件“取到第i类箱子” ，则由全概率公式知 . 30.答案：（C） 解：即求条件概率 .由Bayes公式知 . 31.答案：（D） 解：用A表示事件“将硬币连续抛掷10次，结果全是国徽面朝上”，用B表示事件“取出的硬币为残币”，需要求的概率是 .由题设可知 ，由Bayes公式可知所求概率为 . 32.答案：（C） 解：用B表示事件“顾客确实买下该箱”,用 表示事件“此箱中残次品的个数为 ”， ，则需要求的概率为 .由题意可知 ； ， 故由Bayes公式可知 . 二、填空题 1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）} 2. 3. 或 4．0.3，0.5 解：若A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），于是 P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3； 若A与B独立，则P（AB）=P（A）P（B），于是 由P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B），得 . 5.0.7 解：由题设P（AB）=P（A）P（B|A）=0.4，于是 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.6-0.4=0.7. 6.0.3 解：因为P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB），又 ，所以 . 7.0.6 解：由题设P（A）=0.7，P（ ）=0.3，利用公式 知 =0.7-0.3=0.4，故 . 8.7/12 解：因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0，于是 . 9.1-p 解：由于 由题设 ，故P（B）=1-p. 10.0 解：由于事件 与事件 是互逆的， ，因此 ，从而有 . 11.1/4 解：因为 由题设 ， ，因此有 ，解得 P（A）=3/4或P（A）=1/4，又题设P（A）<1/2,故P（A）=1/4. 12.1/6 解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概率公式也可求解. 13.2/5 解：根据抽签原理，第一个人，第二个人，……，等等取到黄球的概率相等，均为2/5. 或者利用全概率公式计算，设A={第一个人取出的为黄球}；B={第一个人取出的为白球}；C={第二个人取出的为黄球}；则P（A）=2/5，P（B）=3/5，P（C|A）=19/49，P（C|B）=20/49，由全概率公式知 P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）= . 14. 解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为 ，故所求的概率为 . 15.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A生产的}，B={抽取的产品为工厂B生产的}，C={抽取的是次品}，则P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（C|A）=0.01，P（C|B）=0.02，故有贝叶斯公式知 . 16.1/5 解：以A表示事件{从10件产品中任取两件，两件都是不合格品}，以B表示事件{从10件产品中任取两件，至少有一件是不合格品}，则所求的概率为P（A|B），而 ，显然 ，故P（AB）=P（A）=2/15，由条件概率的计算公式知 . 17.6/11 解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}， 则P（A）=P（B）=1/2，P（C|A）=0.6，P（C|B）=0.5， 故 . 18.2/3 解：设 ={取出的产品为第i等品}，i=1，2，3.则 互不相容，所求概率为 . 19.（1- ）（1- ）（1- ） 解：由题意当且仅当第一、二、三道工序均为成品时，该零件才为成品，故该零件的成品率为（1- ）（1- ）（1- ）. 20. 第二章 随机变量及其分布 一、选择题 1.答案：（B） 注：对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，但事件{X=a}未必是不可能事件. 2.答案：（B） 解：由于X服从参数为 的泊松分布，故 .又 故 ，因此 . 3.答案：（D） 解：由于X服从 上的均匀分布,故随机变量X的概率密度为 .因此，若点 ，则 . ， ， . 4 答案：（C） 解：由于 故 由于 而 ，故只有当 时，才有 ； 正态分布中的参数只要求 ，对 没有要求. 5.答案：（C） 解：连续型随机变量的函数未必是连续型的；如 , EMBED Equation.DSMT4 此时 这里Y表示事件 出现的次数，故Y是离散型的随机变量； 由于 ，故 ，因此 . 6.答案：（A） 解：由于 ，故 ， 而 ，故 ； 由于 ，故 . 7.答案：（B） 解：这里 ， 处处可导且恒有 ，其反函数为 ，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为 . 8.答案：（D） 注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页. 9.答案：（C） 解：因为 ，所以 ， . 10.答案：（A） 解：由于 ，所以 ； 由于 ，所以 ， 故 . 11.答案：（C） 解：因为 所以 ，该值为一常数，与 的取值无关. 12.答案：（B） 解：由于 ，所以 的概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y轴对称，因此随机变量 落在x轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出 .我们可以画出函数 的图形，借助图形来选出答案B. 也可以直接推导如下： ，令 ，则有 13.答案：（A） 解： . 14.答案：（B） 解： . 15.答案：（C） 解：由于X服从参数为 的指数分布，所以X的概率密度为 ，因此 . 16.答案：（D） 解：对任意的 EMBED Equation.DSMT4 ；选项C描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数 . 17.答案：（A） 解：选项A改为 ，才是正确的； ； . 18.答案：（B） 解：由于随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,所以X的概率密度函数为 .而方程 有实根，当且仅当 ，因此方程 有实根的概率为 . 19.答案：（A） 解：由于 ，故 从而 . ２０．答案：（Ｃ） 解：由于 ，所以 ， ，可见此概率不随 和 的变化而变化. 二、填空题 1. . 2.解：由 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 性知 . 3.解：由规范性知 . 4.解：设 {第i个零件是合格品}，则 . 5. . 6. 解：若k<0,则根据密度函数的定义有 ，故k ，当 时，由 ；当 时，由题设 ，即当 时，结论成立；当 时，有 ， 即当 时，结论不成立，同理 时结论也不成立.综上所述 的取值范围是[1,3]. 8.解：因为 ，所以只有在F（X）的不连续点（x=-1,1,2）上P{X=x}不为0,且P（X=-1）=F（-1）-F（-1-0）=a，P{X=1}=F（1）-F（1-0）=2/3-2a，P{X=2}=F（2）-F（2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6. 9.解：由于 ，所以X的概率密度为 ， 故 . 10. ； 11.解： . 12.解： ，故 . 13.解:由 . １４．解： . １５． １６．解：由题设 ，故 ，从而 ， 故 . １７．解： 故 . １８．解：由题设可知二次方程 无实根的概率为 　　　　Ｐ（１６－４Ｘ＜０）＝Ｐ（Ｘ〈４）＝１／２， 由于正态分布密度函数曲线是关于直线 对称的，因此根据概率密度的性质，有 第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1.答案：（A） 解：由于X,Y都服从 上的均匀分布，所以 ， ，又由于X,Y相互独立，所以(X,Y)的概率密度为 ，即(X,Y)服从均匀分布；令Z X+Y，则Z的概率密度为 ；令 ，则由教材64页的定理结论（5.2）式可知 ，而且由于X,Y独立，所以由教材94页的定理可知X, 也独立，令Z X-Y ，则Z的概率密度为 . 2.答案：（C） 解：因为 而且事件 与 互不相容，故 3.答案：（A） 解：要使 是某个随机变量的分布函数,该函数必须满足分布函数的性质，在这里利用 这一性质可以得到 ，只有选型A满足条件. 4.答案：（A） 解：由 可知 ，故 又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知： 故 . 5.答案：（D） 解：联合分布可以唯一确定边缘分布 ，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量X与Y是相互独立的，则由X与Y的边缘分布可以唯一确定X与Y的联合分布. 6.答案：（B） 解：由联合分布的规范性知1/6+1/9+1/18+1/3+ a+ b=1，得出a+ b=1/3 7．答案：（A） 解：由于X，Y相互独立，所以 . 8.答案：（A） 解：由问题的实际意义可知，随机事件 与 相互独立，故 ； ； ； ， 而事件 又可以分解为15个两两不相容的事件之和，即 故 . 9.答案：（C） 解： ，所以 ， ； ，所以有 ，因此X,Y独立. 10.答案：（B） 解：若记 ，则B改为 才是正确的. 11.答案：（C） 解： ； . 12.答案：（A） 解： ； ； 13.答案：（A） 解：串联的情况，由于当子系统 与 中有一个损坏时，系统 就停止工作，所以 ；并联的情况，由于当且仅当子系统 与 都损坏时，系统 才停止工作，所以 ；备用的情况，这时子系统 损坏时系统 才开始工作，所以 . 14.答案：（D） 解：记 ， ， 由于 ， 故 . 15.答案：（B） 解：当 时， ， ，且X和Y相互独立的充要条件是 ；单由关于S和关于T的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S和T的联合分布的. 16.答案：（C） 解：（方法1）首先证明一个结论，若 ，则 .证明过程如下（这里采用分布函数法来求 的概率密度函数，也可以直接套用教材64页的定理结论（5.2）式）：由于 故 这表明 也服从正态分布，且 . 所以这里 .再利用结论：若 与 相互独立，且 ，则 .便可得出 ； ； ; . （方法2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若 ，则 故 ； ； ; . 17．答案：（C） 解：由于X，Y相互独立，且都服从 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布N（0，1），因此X，Y的联合概率密度函数为 . 下面先求Z的分布函数 .记 ，由于 ，所以当 时， =0；当 时，有 ， 将 关于z求导数，得到z的概率密度为 ，故Z服从的分布是参数为1的瑞利分布. 18.答案：（B）注:考查其对立事件,可知 有两种情况, 或 ,且根据题意有 EMBED Equation.3 , 所以 19.答案：（A） 解：由于 ， ，所以 ， ，故 ，而 ，所以 . 20.答案：（D） 解：由联合概率密度函数的规范性知 . 21.答案：（A） 解： . 22.答案：（Ｂ） 解：由联合概率密度函数的规范性知 23.答案：（Ｃ） 解：直接应用教材94页的定理结论：多维随机变量的连续函数所确定的随机变量也是相互独立的. 24.答案：（C） 解：不妨考虑在x轴上原点到点(a,0)之间取两点, ,设它们到原点的距离分别为x,y,且x