7 弯曲应力

nullnull第六章 弯曲应力null一、纯弯曲时梁横截面上的正应力null 火车车轮轴 nullF弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力Fnull1 实验观察:弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力凸边伸长凹边缩短中性层null（2）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。 纯弯曲变形特征：（3）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，部分纵 向线段缩短。 （1）各横向线相对转过了一个角度, 仍保持为直线。 (1)平面截面假设——横截面变形后保持为平面，只是绕某个轴旋转了一角度。假设：（2）纵向纤维假设——梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤 维之间无挤压。中性层与横截面的交线 －－中性轴null弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力2、理论分析（1）变形分布规律Compression Tension No Stress Neutral Axis 中性轴 dx变形后null所以纵向纤维CD的应变为:——横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律。(a)弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纵向纤维CD:变形前 变形后 null（2）应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律(b)对一定材料，E=C；对一定截面，——横截面上某点处的 应力与此点距中性轴的 距离y成比例。弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力null（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式将(b)式代入，得因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。null因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。null自动满足。——y、z轴为截面的形心主惯性轴(d)弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力问题: 对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，外力作 用必须满足什么条件?null弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力null考虑平衡条件(e)弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力null可得挠曲轴的曲率方程： 为常数，挠取轴 是一条圆弧线正应力的计算公式为横截面上最大正应力为弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力null例6-1 火车车轮轴承受轮载为F=20 kN，已知轴的直径为d = 55 mm, 试求轴中心处的最大弯曲应力。在轴中心处的最大弯曲应力 相同的条件下，将实心轴改成空心轴，空心轴内外径比为 0.6。 求空心轴和实心轴的重量比。 F ★由此可见，载荷相同、 σmax要求相等的条件下， 采用空心轴节省材料。null “凡梁之大小，各随其广分为三分，以二分为厚。” —宋• 李诫《营造法式》 讨论：从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？才能最有效利用材料？ null矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：竖放：bhhb平放：弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力null弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力null 纯弯曲时横截面上应力计算公式： 挠曲轴的曲率方程：适用范围：(1) 平面弯曲，（2）纯弯曲，(3)小变形——在弹性变形范围内，(4)梁材料均匀。null二、横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件F纯弯曲时推得的正应力公式 是否适用于一般情形（横力 弯曲）？null横力弯曲平面假设不成立由纯弯曲推导得到的结果可推广到横力弯曲的梁：(b) 对R/h>5的小曲率梁，可使用直梁公式。(a) 横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比:L/h>5时， 其误差不大；hnull非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：正应力计算公式为弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力null弯曲正应力强度条件：可解决三方面问题：弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力null弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力例6-2简易吊车，F=68 kN，作用在梁的中间截面上, l = 9.5 m, 40c 型工字钢 的自重为q，[]=140MPa, 校核安全性.ql2/8null解：（1）确定中性轴的位置弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力单位：cmnull（3）正应力校核所以结构安全。问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力null三、弯曲时的剪应力null在有剪应力存在的情 形下， 弯曲正应力 公式依然存在 剪应力方向与剪力的方向相同，并沿截面宽度方向切应力均匀分布（对于狭长的矩形截面适用） 在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的 切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物性 关系”。假 设null（一）矩形截面(+)(-)分析方法（截面法）：1、沿 mm,nn 截面截开， 取微段dx。dx弯曲应力/弯曲时的剪应力null2、沿 kl 截面截开，根据剪应力的互等定理：∵dx很小，在 kl 面上可认为 均布。即弯曲应力/弯曲时的剪应力null而代入得：弯曲应力/弯曲时的剪应力null（儒拉夫斯基公式）式中符号意义：：截面上距中性轴y处的剪应力b：y处的宽度对于矩形：弯曲应力/弯曲时的剪应力null而因此矩形截面梁横截面上的 剪应力的大小沿着梁的高度按 抛物线规律分布。并且弯曲应力/弯曲时的剪应力null实心截面梁的弯曲切应力误差分析精确解 =   =h/b弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较当 l >> h 时，smax >> tmaxnull（二）工字形截面梁的弯曲切应力1、腹板式中(y)：截面上距中性轴y处的剪应力：y处的宽度弯曲应力/弯曲时的剪应力null腹板上的剪应力呈抛物线变化，腹板部分的剪应力合力占总剪力的95~97%。弯曲应力/弯曲时的剪应力null翼缘部分的剪应力强度 计算时一般不予考虑。弯曲应力/弯曲时的剪应力2、翼缘翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪力形成“剪应力流” 。null（三）其它形状截面梁的弯曲切应力1 圆截面弯曲应力/弯曲时的剪应力切应力的分布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与 y 轴对称；与 y轴相交各点处的切应力其方向与y轴一致。关于其切应力分布的假设： 1、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点 ； 2、这些切应力沿 y方向的分量ty 沿宽度相 等。null最大切应力t max 在中性轴处null2、薄壁环形截面梁null3、盒形薄壁梁null切应力强度条件弯曲应力/弯曲时的剪应力null(3) 梁上的焊缝、铆钉或胶合面。对矩形截面梁􀂋对圆形截面梁所以，对实心截面梁通常不需要校核剪切强度。􀂋需要校核剪切强度几种情况(1) 弯矩较小而剪力很大的情况：短粗梁，或在支座附近作用有较大的集中力；(2) 非标准的腹板较高且较薄的工字梁；(4)各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。null200mm弯曲应力/弯曲时的剪应力约束反力：null解：（1）确定中性轴的位置弯曲应力/弯曲时的剪应力null（2）绘剪力图、弯矩图约束反力：(+)(-)(-)20KN10KN10KN弯曲应力/弯曲时的剪应力null（3）正应力强度校核对于A截面：弯曲应力/弯曲时的剪应力null对于D截面：弯曲应力/弯曲时的剪应力null∴正应力强度足够。因此弯曲应力/弯曲时的剪应力null（4）剪应力强度校核在A截面：∴剪应力强度足够。弯曲应力/弯曲时的剪应力null（5）若将梁的截面倒置，则此时强度不足会导致破坏。弯曲应力/弯曲时的剪应力对于抗拉和抗压强度不相 等的材料,应采用中性轴偏于受拉一侧的截面.null例6-4 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕= 10 MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷。null四、提高弯曲强度的一些措施弯曲正应力强度条件：在[]一定时，提高弯曲强度的主要途径：（一）、选择合理截面 提高抗弯截面系数弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施􀂋矩形截面梁的放置null几种常用截面的比较可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、工字形等)比较 经济合理。(d=h)null为降低重量，可在中性轴附近开孔。弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施null根据材料特性选择：塑性材料：宜采用中性轴为对称轴的截面。脆性材料：宜采用中性轴为非对称轴的截面，例如T字形截面：即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施null1、载荷尽量靠近支座：弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施null2、将集中力分解为分力或均布力。弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施null弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施增加支座null（三）、选用合理结构1、等强度梁 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 思想：按M(x)的变化来设计截面，采用变截面梁—— 横截面沿着梁轴线变化的梁。弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施若为等宽度矩形截面，则高为同时null等强度梁null2、桁架整体桁架——受弯构件桁架中单个杆件——受轴向拉压null工程中的桁架结构——屋盖nullnull3、拱——压应力使截面上拉 应力降低，可使抗拉能 力差的材料充分利用。null1 复合材料梁横截面上的应力分布讨论（平面截面假设仍然适用） 2 请解释木梁发生图示破坏的原因.