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点在圆内的证法

blues100
2011-11-11 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《点在圆内的证法pdf》,可适用于高中教育领域

数学通讯年第期点在圆内的证法李玲(华中师范大学数学与统计学学院湖北王启冲)(襄樊襄阳区一中湖北)中圈分类号:ol.文献标识码:A文章编号:()设AB分别为椭圆=(n>)的左、右顶点椭圆长半轴的长等于焦距且X=为它的右准线.)求椭圆的方程.)设P为右准线上不同于点()的任意一点若直线APBP分别与椭圆相交于异于AB的点MN.证明点B在以MN为直径的圆内.‘本题第一小题易求得椭圆方程为萼第二小题为证明题即证明点B在以MN为直径的圆内.下面就此题谈谈“点在圆内”的四种证法.“点在圆内”在高中所学知识范畴内常可转化为:①此点B与圆心距离小于圆的半径②蔚.萄<③tan~MBN<④(日一口)(一)<..方法利用点B与圆心的距离小于圆的半径来证.由)得A(一)B()设M(zlYI)N(Y)则XlX∈(一)又收稿日期:MN中点Q的坐标为(丝)IBQI:一=(一)()一二±!二!=()()l.由点斜式得直线APBP方程分别为:()’y(一)因为P在准线=上所以=y即Y=XI’IMNI=(。一)()Xl十.因为M在椭圆上所以号=所以.l=(卜X).代人上式得维普资讯http:wwwcqvipcom年第期数学通讯IsQI一=()()..·.号(一z。)(z)<.从而B在以MN为直径的圆内.方法利用向量的数量积证.由)得:A(一)S()设M(xY).因为点M在椭圆上所以=号(一X).又点M异于顶点AB.。.一<X<.由PAB三点共线可得:P(yo、X’从而蔚=x,yo)茚=()‘.·.确·茚=Xoyo=·(z一yo)=.要(一z).‘.。一X>。。。●。●.。.BM·BP>..’.MBP为锐角.从而MBN为钝角.所以B在以MN为直径的圆内.方法利用到角公式证.由)得:A(一)B()设P(A)M(xlY。)直线AP方程为:舍(z).f=O(z)由得(二卜.l)z.lX(.l)=.其中一z。为方程两根.由.=A得二T一(一.l).从而得M(/旦~、/.删=一.l=.由到角公式得tanZMBN=TkBPkBM=一(了t).由题意知:忌BP>得.l>.所I).IZ~N为钝角.所以B在以MN为直径的圆内.方法利用(XB一口(一b<r证.由第三种证法得M(,同理得BP方程=专(z一)状xz萼’得N(筝一).从而以MN为直径的圆的方程为:(一一鬻)(一)).因为B()将X=Y=代人上式左边得一】(.I)(.l)。.l≠丽(<.)(.l)、u‘所以点B在以MN为直径的圆内.维普资讯http:wwwcqvipcom

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