梯形辅助线做法
【知识要点】
梯形是一种特殊的四边形，在解决有关梯形的问题时，常常需要借助辅助线，将其分割、拼接成三角形、矩形或平行四边形等问题来解决. 常见的几种辅助线的作法如下：
作法
图形
平移一腰，转化为三角形、平行四边形
作高，转化为两直角三角形和一矩形
延长两腰，转化为三角形
平移一对角线，转化为三角形、平行四边形
倍长中线，构造全等三角形1
倍长中线，构造全等三角形2
梯形内平移两腰,转化为两个平行四边形和一三角形
作中位线（两腰的中点的连线）
【典型例题】
例1. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上底AD的长.
评析：过梯形上底两端点作梯形的高，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形.
例2. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.
评析：平移一腰，即将梯形转化为三角形、平行四边形.
例3. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，BD＝6cm. 求梯形ABCD的面积.
评析：平移一对角线，将梯形转化为三角形、平行四边形.
例4. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
评析：延长两腰，将梯形转化为三角形.
例5. 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，BC＝3，CD＝1. E是AD的中点，求证：CE⊥BE.
评析：连结顶点和一腰的中点构造全等三角形.
例6（如图9））在梯形ABCD中，AB∥CD,M为AD的中点，AB+CD=BC
求证：BM⊥CM
评析：利用梯形中位线定理: 中位线=（上底+下底）*1/2
例7 （如图3）在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，试说明∠B=∠C
评析：利用平移两腰转化成三角形和平行四边形
例 8（如图8）在梯形ABCD中，AD∥BC, E为CD的中点，
求S=
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评析：倍长中线，构造全等三角形，从而实现面积转移
【方法
总结
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】
在解决梯形的有关问题时常用的思想是转化的思想，是通过作辅助线把梯形分割、拼接成我们所熟悉的三角形（尤其是Rt△），矩形、平行四边形，再利用三角形的全等、直角三角形的勾股定理以及平行四边形和矩形的性质来解决问题.
【巩固练习】
1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.
2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（ ）
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
3. 如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（ ）
A. 130
B. 140
C. 150
D. 160
4. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.
5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.
6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.
7. 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.
8. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？
练习答案：
1. 24 2. D 3. C
4. 过D作DE∥AC交BC延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，∴DE＝AC，CE＝AD. ∵梯形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∴BD＝ED，∵BD⊥AC，∴BD⊥DE. 在Rt△BDE中，BD2＋DE2＝BE2，即2BD2＝1002，BD＝50.
5. 过D作DE∥AB交BC于E. 则四边形ABED是平行四边形. ∴BE＝AD＝15cm，AB＝DE. ∴EC＝49－15＝34cm. ∵AB＝CD，∴CD＝DE. 又∵∠C＝60°，∴△CDE是等边三角形. ∴CD＝EC＝34cm.
6. 过D点作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，∴AC＝DF，AD＝CF，∵BD⊥AC，∴BD⊥DF. ∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝DB. ∴BD＝FD，∵DE⊥BC，∴BE＝EF，∴DE＝BE＝EF＝BF＝5.
7. 分别延长AD、BC相交于点E. ∵AB∥CD，∴∠1＝∠B. ∵∠ADC＝∠E＋∠1，∴∠ADC＝∠E＋∠B. ∵∠ADC＝2∠B，∴∠E＝∠B，∠1＝∠E，∴AE＝AB，DE＝DC. ∴AE＝AD＋DE＝AD＋DC＝8. ∴AB＝AE＝8.
（或过C作CE∥AD交AB于E，证明CE＝BE＝AD. ）
8. （1）提示：DE⊥CE，延长DE交CB延长线于F，证明△AED≌△BEF. 得AD＝BF，DE＝EF，∵CD＝AD＋BC，∴CD＝CB，∴CE⊥DE. （2）DE⊥CE. ∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∵∠EDC＝∠ADC，∠ECD＝∠BCD. ∴∠EDC＋∠ECD＝×180°＝90°，∴∠DEC＝90°，即DE⊥CE.
浙公网安备 33021202002483