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用微分算子求常微分方程特解的注记.pdf

用微分算子求常微分方程特解的注记

彝人小阿
2011-11-07 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《用微分算子求常微分方程特解的注记pdf》,可适用于高等教育领域

收稿日期:�第一作者简介:王欣欣(),女,年毕业于东北师范大学数学系,现为北华大学基础部副教授年月吉林师范大学学报(自然科学版)�第期JournalofJilinNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Aug用微分算子求常微分方程特解的注记王欣欣,郑秉文(北华大学公共基础部,吉林吉林)摘�要:本文给出常系数线性微分方程最简特解的定义,论证了常系数线性微分方程最简特解的形式,同时给出了用微分算子求常系数线性微分方程最简特解的方法关键词:最简特解微分方程微分算子中图分类号:O��文献标识码:A��文章编号:()�问题的提出在常系数线性微分方程的算子解法中,由文()知符号dndxn和!!n次f(x)(dx)n可分别形式地记为Dn=dndxn和Dn=!!n次f(x)(dx)n,由文()知DKf(x)=K(DK!!()nDnKn!!)f(x),于是微分方程y()y()=x()可表为(DD)y=D(D)y=x于是有y=D(D)x=D∀Dx#()或者y=(D)Dx=D∀Dx#()由()式得特解y*=xxx由()式得特解y*=xxxxxx问题∃为什么由()式所得到的特解y*要比由()式所得到的特解y*简单问题∃若F(x)=mi=(xki),mi=ki,fP(x)=∋Pi=aPixi,那么在方程DnF(D)y=e�xfP(x)()的全部特解中,结构最简单的特解是什么�几个定理定义�若a,a,!,an都是常数,那么称方程DnyaDny!anDyany=f(x)()为n阶常系数线性非齐次方程,而方程DnyaDny!anDyany=()为对应于()式的齐次方程定义�若y是()式的特解,y,y,!,yn是()式的n个线性无关的解,经过合并同类项后,y可表为y=y*cycy!!cnyn,则称y*为()式的最简特解显然,最简特解的结构要比其它任何非最简特解的结构都要简单,因而求最简特解比求其它任何特解都要容易引理�设fP(x)是P次多项式,即fP(x)=axPaxP!!aPxaP,那么mi=(DKi)fP(x)仍为P次多项式证明�因为DKfP(x)=K(DK)fP(((x)=K(DK!!()nDnKn!!)fP(x),注意到DPfP(x)=,所以有DKfP(x)=K(DK!()PDPkP)fP(x)()由()式知DKfP(x)仍为P次多项式,顺次可得知mi=(DKi)fP(x)=DKm!DKfP(x)!仍为P次多项式,证毕若记mi=(DKi)fP(x)=bxPbxP!bPxbp()我们可以证明下面的结论定理�若F(x)、fP(x)满足()式条件,那么y*=DnF(D)fP(x)是方程DnF(D)y=fP(x)()的最简特解证明�因为DnF(D)y*=DnF(D)DnF(D)fP(x)=fP(x),所以y*是方程的特解又因为DnF(D)fP(x)=Dn∀F(D)fP(x)#=Dn∀mi=(DKi)fP(x)#,那么由()式知DnF(D)fP(x)可表为DnF(D)fP(x)=Dn(bxPbxP!!bPxbP)=Dn(bxP)Dn(bxP)!!Dn(bPx)Dn(bP)由文()有yi=DnbPixi是x的ni次幂,所以有DnF(D)yi��()i)P)于是由定义知y*=DnF(D)fP(x)=yy!!yP是方程()的最简特解证毕此定理回答了一中的问题∃引理�若P(x)为多项式,v(x)为任意函数,那么有P(D)e�xv(x)=e�xP(D�)v(x)定理�若F(x)和fP(x)满足()式的条件,�nF(�),那么在复数域C上方程DnF(D)y=e�xfP(x)()的最简特解为y*=e�x(D�)nF(D�)fP(x)证明�由引理有DnF(D)y*=DnF(D)e�x(D�)nF(D�)fP(x)=e�x(D�)F(D�)(D�)nF(D�)fP(x)=e�xfP(x),所以y*是方程()的特解再由引理知(D�)nF(D�)fP(x)是复数域C上的P次多项式,所以(D�)nF(D�)fP(x)可以表为(D�)nF(D�)fP(x)=cxPcxP!!cPxcP于是y*可表为y*=e�x(cxPcxP!cPxcP)=cxPe�xcxPe�x!cPxe�xcPe�x若令yi=cPixie�x()i)P)易知DnF(D)yi()i)P)于是由定义知y*=yy!!yP是方程()的最简特解证毕定理�若F(x)和fP(x)满足()式的条件,且�是F(x)的l重根,即F(x)=(x�)lQml(x)其中Qml(x)是x的ml次多项式,那么方程DnF(D)y=e�xfP(x)()的最简特解为y*=e�xDl(D�)nQml(D�)fP(x)证明�因为�是F(x)的l重根,所以有F(D)=(D�)lQml(D)于是由方程((DnF(D)y=e�xfP(x)可知y=Dn(D�)lQml(D)e�xfP(x)由引理有y=e�x(D�)nDlQml(D�)fP(x)再由定理知方程()的最简特解为y*=e�xDl(D�)nQml(D�)fP(x)证毕例�求微分方程DyDy=(x)EX的最简特解解�令y*为所出特解,那么将y*代到原方程有(DD)y*=(x)ex由定理知y*=D(D)(x)ex=exDD(x)=exxx=xxex此例题和定理、定理回答了一中的问题∃参考文献王柔怀、伍卓群常微分方程讲义M北京:人民教育出版社,,盛祥耀等高等数学下册,第二版M北京:高等教育出版社,ANoteonSolvingtheSpecialSolutionoftheDifferentialEquationwiththeDifferentialOperatorWANGXin�xin,ZHENGBing�wen(BasicCourseDepartmentofBeihuaUniversity,Jilin,China)Abstract:Thisarticlegivesadefinitionforthesimplestspecialsolutionofthelineardifferentialequationwithconstantcoefficientsanddemonstratesthestructureforthesimplestspecialsolutionofthelineardif�ferentialequationwithconstantcoefficientsAtthesametimeitindicatesthemethodforsolvingthesim�plestspecialsolutionofthelineardifferentialequationwithconstantcoefficientsbyusingthedifferentialoperatorKeywords:simplestspecialsolutiondifferentialequationdifferentialoperator((

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