考虑禁带情况下半导体的电子与空穴分布

考虑禁带情况下半导体的电子与空穴分布 禁带情况下半导体的电子与空穴分布 张连学 （中国矿业大学理学院 应用物理08-1班 10084599） 摘　要：在考虑禁带特性的情况下，从理论上探讨了半导体中电子与空穴的分布。以Si 为例，利用MATLAB 定量分析了不同能量时本征Si 半导体中电子占据导带底的几率-温度关系和不同温度时电子占据导带底的几率-能量关系。分析结果 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明：导带中绝大多数电子分布在导带底附近,价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近;温度越高,电子占据导带底的几率越大,温度每升高20 K,电子占据的几率增加大约4到5倍；导带中能级具有的能量越高，电子占据该能级的几率越低,能量每增加0.02 eV ,电子占据的几率下降大约1/2。 关键词:费米分布； 费米能级； 波尔兹曼分布 引言 随着国家对能源的日益重视,太阳能光伏产业成为了半导体行业一个新的研究热点。 除此之外,半导体发光二极管具有节能、高效的特点,半导体照明取代白炽灯已是大势所趋。当前,国家对半导体照明大力投入,启动了“国家半导体照明工程”,力促产业发展,因此对半导体理论的研究具有重要的意义。 费米-狄拉克分布描述了金属电子气中电子的分布,人们借用费米分布来描述半导体中电子与空穴的分布情况。费米-狄拉克分布是统计物理学[1 ,2 ] 的重要 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ,也是半导体物理学的重要理论基础[ 3 ] ,对费米分布的理论研究具有重要的意义,因此人们对费米分布展开了深入的研究。本文通过理论模型分析了本征半导体中电子与空穴的分布,讨论了导带底的电子和价带顶的空穴符合波尔兹曼分布,并利用MA TLAB 定量分析了不同能量时本征半导体中电子占据导带底的几率-温度关系和不同温度时电子占据导带底的几率-能量关系。 1 　半导体中电子与空穴的分布 1.1 　目前关于半导体中电子与空穴分布的相关理论 按照目前的半导体理论[ 3 ] ,在热平衡状态下,载流子服从费米分布。费米分布函数确定了某一确定能级被电子或空穴占据的几率。电子的费米分布函数为: (1) 　　空穴的费米分布函数为: (2) 这里 、 分别表示电子与空穴在能量为E 的能级的分布几率, 为费米能级,单位为eV ,k 为波尔兹曼常数。 图1半导体中电子的分布　　　图2半导体中空穴的分布　　图3半导体Si 中电子的分布 图1 、图2 分别为对应公式(1) 、(2) 的电子与空穴在半导体中的分布曲线。 由图1 、图2 可知,当温度为0 K时,费米能级可以看成是否被电子或空穴占据的临界位置,高于费米能级的能级被空穴占据,低于费米能级的能级被电子占据。 当温度大于0 K时,费米能级附近(低于费米能量) 的能级上少量的电子被激发到能量高于费米能级的能级上,能量越高,被电子所占据的几率越小,其上分布的电子数越少。 也可以认为费米能级附近(高于费米能量) 的能级上少量的空穴被激发到能量低于费米能级的能级上,能量越低,被空穴所占据的几率越小。 1.2 　考虑禁带情况下本征半导体的电子与空穴分布 事实上,以上模型并不完备,因为半导体具有禁带,而上述模型没有考虑到半导体禁带对电子与空穴分布的影响。 如果考虑到半导体禁带的影响,则半导体中电子与空穴的分布应该是不连续的,半导体中电子或空穴的费米分布函数应该为不连续函数。 公式(3) 、(4) 分别为考虑禁带情况下本征半导体的电子与空穴的费米分布函数。 电子的分布为: 　　　　　　 　　　　 (3) 空穴的分布为: 　　　 　　 (4) 式(3) 、(4) 中, 为价带顶, 为导带底。 图3 为对应公式(3) 的本征半导体中电子分布的曲线。 由图3 可知,半导体的禁带中没有电子,当半导体的价带电子受到激发时,它们将会从价带跃迁到导带,其占据导带中能量较高能级的几率随能量升高而指数下降,所以导带中绝大多数电子分布在导带底附近。同理,当导带空穴受到激发时,它们将会从导带跃迁到价带,其占据价带中能级的几率随能级所具有的能量的降低而迅速下降,空穴很难占据远离价带顶的能级,所以价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近。 在式(3) 中,当导带电子( ) 的能量满足 时,即: 　　如令 ,则 可近似表示为: (5) 　　公式(5) 为电子的波尔兹曼分布函数。 由式(4) 可知,在一定温度下,电子占据能量为E的能级的几率由指数因子 所决定。 E 远大于 时,电子占据能量为E 的能级的几率很小。 在半导体中,导带底的能量与费米能级的能量差远大于k T ,电子占据导带中的所有能级的几率都满足 ,所以电子在导带中的分布符合波尔兹曼分布。 同理,在式(4) 中,当价带空穴( ) 的能量满足 时,即: 如令 ,则 可近似表示为: (6) 式(6) 为空穴的波尔兹曼分布函数。 由式(6) 可知,在一定温度下, 空穴占据能量为E的量子态的几率由指数因子 所决定。 同理,空穴在价带中的分布也符合波尔兹曼分布。 1.3 　用MA TLAB 具体分析导带底电子的分布 为了更形象地理解电子在导带中的分布,本文利用MA TLAB 精确绘制了Si 半导体导带底电子的分布图,对半导体中电子与空穴的分布做了进一步探讨。 图4 (a) 、(b) 为根据公式(3) 利用MA TLAB 做出的电子在导带底的分布曲线。 表1 为不同温度时,根据公式(3) 得到的电子占据导带底不同能级的几率。 取常温下Si 材料的参数,Si 的禁带宽度为1.12 eV ,价带顶和导带底的能量分别为0 eV 和1.12 eV ,本征硅的费米能级EF 大约在禁带中线处,取EF 为0.56 eV。 图4(a) 不同能量时电子占据导带底 4(b) 不同温度时电子占据导带底 的几率-温度曲线图 的几率-能量曲线 图4 (a) 为温度2几率曲线,描述了电子占据导带底附近能量为1.12 eV 、1.14 eV、1.16 eV、1.18 eV、1.20 eV 的5 个能级的几率与温度的关系。 由图4 (a) 可知,随着温度升高,电子占据导带底各能级的几率迅速上升,说明温度越高,则越多的电子从价带激发到该能级。 从表1 可知,在温度为300 K、320 K、340K、360 K、380 K时,电子占据导带底1.12 eV 的能级的几率分别为4.43 ×10 - 10 、1.66 ×10 - 9 、5.7 ×10 - 9 、1.6 ×10 - 8 、4.5 ×10-8 。 可见,温度每升高20K,电子占据的几率增加了4 到5 倍。 图4 ( b) 为能量2几率曲线,描述了温度分别为300 K、320 K、340K、360 K、380 K 时,电子占据导带底各能级的几率与能级能量的关系。 由图4 ( b) 可知,随着能级所具有的能量的升高,电子占据导带底附近各能级的几率迅速下降,说明能级具有的能量越高,激发到该能级的电子越少。 从表1 可知, T = 300 K时,电子占据导带底附近的能量为1.12 eV、1. 14 eV、1.16 eV 、1.18 eV、1.20 eV 能级的几率分别为4.43 ×10 - 10 、2.05 ×10 - 10 、9.5 ×10 - 11 、4.4 ×10 - 11 、2.04 ×10 - 11 。 可见,能级能量每增加0.02 eV ,电子占据的几率下降大约1/2。 同理,空穴占据导带底能级的几率随能级所具有的能量的降低而迅速下降,价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近;随着温度的升高,空穴占据价带顶附近各能级的几率迅速上升。 2 　结论 (1) 半导体中,电子和空穴的费米分布是不连续的,导带中绝大多数电子分布在导带底附近,价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近,导带中的电子和价带中的空穴都符合波尔兹曼分布。 (2) 温度越高,电子占据导带底的几率越大,温度每升高20 K,电子占据导带底能级的几率增加大约4到5 倍;同理,温度越高,空穴占据价带顶的几率越大。 (3) 导带中能级具有的能量越高,电子占据该能级的几率越低,能量每增加0.02 eV ,电子占据导带底附近能级的几率下降大约1/2 ;价带中能级所具有的能量越低,空穴占据该能级的几率越低。 参考文献: [1] 汪志诚. 热力学统计物理[M].北京:高等教育出版社,2008. [2] 黄　昆,谢希德. 半导体物理学[M].北京:科学出版社,1958. [3] 刘恩科,朱秉升,罗晋生,等. 半导体物理学[M].北京:国防工业出版社,2006. [4] 李 珂. 一种计算载流子占据杂质能级的概率的新方法[J].大学物理,2005,24 (9) :57259.