null第八节 多元函数的极值
及其求法第八节 多元函数的极值
及其求法一、多元函数的极值二、多元函数最值三、条件极值nullnull一、多元函数极值（一元函数极值的推广）有定义，则称函数在有极大值；则称函数在有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.设函数在点1.极值的定义null例1例２例３null2、多元函数取得极值的条件null证必要条件nullnull 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：但不是极值点.null定理2（充分条件）的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，处是否取得极值的条件如下：（1）（2）（3）时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．例4例4求函数解 第一步 求驻点:得驻点: (1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2) .第二步 判别:解方程组的极值.求二阶偏导数null在点(3,0) 处在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2)处在点(1,0)处为极小值;(1,0)
(1,2)
(-3,0)
(-3,2)nullnull求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在
D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中
最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的
极值来求函数的最大值和最小值.二、多元函数的最值null解如图,先求函数在D内的驻点，例5 求二元函数在直线所围成的闭区域D上的最大值与最小值.null解方程组null一元函数
的极值 比较函数值后可知： null可取得最大收益？每天的收益为某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价2元，外地牌子每瓶进价3元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖 y元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁.问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁解目标函数例6null目标函数求驻点：令解得根据题意可知，最大值一定存在，并在开区域内取得，又函数在D内只有唯一驻点因此可断定本地的饮料价格约定为4.85元，外地的约为4.46元时，收益最大.三、条件极值及拉格朗日乘数法三、条件极值及拉格朗日乘数法无条件极值：对于变量仅限制了定义域.条件极值：除了定义域之外，对函数的自变量还有附加条件的极值问题.null这200元以达到最佳效果．在条件 下的极值点．实例：小王有200元钱，他决定用来购买两类急需物品：参考书和录音磁带，设他购买x本书, y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为设每本书20元，每盒磁带10元，问他如何分配问题的实质：例7例7则问题为:求x , y , z，解 设 x , y , z 分别
表
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示长、宽、高,试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？方法1使在条件将条件极值转化为无条件极值方法2拉格朗日乘数法null拉格朗日乘数法其中为某一常数，称为拉格朗日乘子，解出其中x,y就是可能的极值点的坐标.在条件下的可能极值点.要找函数先构造函数（称拉格朗日函数）可由null例5试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱表面积最小.设拉格朗日函数：方法2由null得唯一驻点由题意可知合理的
设计
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是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此 , 当高为null（1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示: 利用对称性可知,（2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 提示:长、宽、高尺寸相等 .思考长、宽、高尺寸如何? nullnull自行求解这200元以达到最佳效果．实例：小王有200元钱，他决定用来购买两类急需物品：参考书和录音磁带，设他购买x本书, y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为设每本书20元，每盒磁带10元，问他如何分配提示：可用两种方法.null目标函数方法1 转化为无条件极值由附加条件得依题意，买5本书，10盒磁带可达到最佳效果.null方法2用拉格朗日乘数法令由(1),(2)得代入(3),得代入(4),得故买5本书，10盒磁带可达到最佳效果.小结第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件判别驻点是否为极值点 .如对二元函数一、多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）小结null设拉格朗日函数如求二元函数解方程组求驻点 . 二、拉格朗日乘数法分清目标函数和附加条件，构造拉格朗日函数.在条件null条件极值的两种求法：1. 将条件函数代入目标函数转化为无条件极值；2. 利用拉格朗日乘数法null三、多元函数的最值1.有界闭区域上连续函数的最值；2.最值应用问题.第二步 求出驻点， 比较驻点及边界点上函数值的大小. 根据问题的实际意义第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)确定最值.null思考题null思考题解答null作 业p.61 习题8－81; 4; 7; 9.null解nullnull解则null解nullnullnull可得即
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