应用篇CAE的应用

　 应用篇 CAE的应用 这部份是对有关的CAE进一步深入学习作为目的而作的。   对于理解不了的地方，跳过去不读也行。   在进一步积累经验的基础上，再来挑战阅读这部份的应用编时，就会觉得有许多确实对自己的业务是很有用的内容，从而提起了兴趣。   “1.结构模型和单元选择”，是对有关有限元分析的模型化处理进行整理和补充。   “2.材料力学和有限元法”，包含了入门编第2部分的补充部份的内容，也稍微论述了关于材料力学和有限元法之间的关系。 “3.较专门的分析”，叙述了有关入门编第2部没有说到的各种分析。   　 1. 单元选择的方针 　 在第2部分中所举的铁塔和电车的例子中已经说明了什么样的情况使用什么样的单元好。   根据实际CAE分析程序手册，有许多种类的单元，最初也许不能判断使用哪个为好。   但是不知道全部单元的使用方法就不能使用CAE，也不是这回事。如果使用作为基本单元的梁单元、板单元，实体单元这三种单元的话，大部份场合就能应付了。 以下，给合入门编第2部分的内容，简要将单元选择的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 列于下表中：   ＜单元以及所适用结构的关连图＞   △和▲是入门编的第2部分1.根据CAE的分析目的和各种结构模型的〖视点变更〗模型化考虑的方法这一部分。   △求缺口处，板厚变化处等细节部分的应力场合以及评价应力集中场合的模型化处理。 ▲：没有必要详细求解应力的部分用近似分析模型来简化的场合。节约自由度场合。 　   绝大多数结构能够用梁单元、板单元、实体单元分析。   2. 梁单元和框架结构          框架结构是梁、柱、筋相交组合成的结构，一般用梁单元这样一维线性单元来作模型化处理。   梁单元大抵可分为2种类，杆单元（不传递转动力矩的仅有轴向刚度的单元）和梁单元（具有传递转动力矩的具有弯曲刚度的单元）。 一般把不传递转动的构件称为杆，传递转动的构件称为框架，梁单元是这些模型化的一维单元的总称。 项目 一维元 杆单元 梁单元 结合部的图像 特征 一般具有轴刚度和扭转刚度 一般具有弯曲刚度、轴刚度、剪切刚度、扭转刚度。 单元内应力 因不发生弯曲应力，剖面内应力是相同的。 由于弯曲应力的发生，单元内的位移不同应力也不同。 载荷 载荷只能加在节点处。 在单元中间不能承受载荷。 不仅在节点上，在没有节点的中间也可加集中载荷 ，在单元的全部（或者一部分）可加分布载荷。 结合 杆单元是通过铰相结合的。 少数用螺栓结合，也有小肘板结合，在不向其它构件传递充分的转动的情况下使用。 框架单元的结合部是刚生结合。采用焊接、多数是螺栓、铆钉结合等。在传递力矩的场合下使用。     构架两端用铰结合的构件，不传递转动力矩。作为单元具有轴刚度和扭转刚度。   因为框架（也称frame结构）两端是刚性结合，所以向其他构件传递转动力矩。作为单元具有扭曲刚度和轴刚度。   即使是象塔那样框架结构，要想得到构件局部（例如连接处或者螺栓周围）的详细的应力分布，有必要用板单元或实体单元进行模型化。   2.1 杆单元   单元形状     由起始端和终止端2个节点形成的1维单元。   指定起始端和终止端的2个节点号。     特征   因为不能传递转动力矩，用在杆构件的模型化处理等。          单元特性的输入     输入材料种类、剖面积A，剖面2次极惯性矩J等。 与传递转动力矩的梁单元的特性不同。 　 2.2 梁单元（框架）   单元形状   由起始端和终止端2个节点形成。   对起始端和终止端的2个节点指定节点号。 在不对称剖面的场合，有必要指定剖面主轴的一个方向（是y轴方向，还是z轴方向）。这是因为在单元特性输入时，要输入弯曲刚度。     　　　　[图梁单元的单元坐标系] 　 因为杆单元不传递弯曲力，所以没必要输入构件的弯曲特性，传递弯曲力的梁单元必须输入弯曲特性。 　 单元特性   输入使用的材料、剖面面积A、剖面惯性矩I，剖面二次极惯性矩J等。   在不具有轴对称剖面的构件时，由于弯曲方向不同，弯曲刚度也不同。然而，在作成单元时，以哪个方向为基准有必要输入（例如T型剖面场合，法兰盘是面向哪个方位）。在决定剖面的方向后输入剖面惯性矩的值。     [图 对应梁剖面的总体坐标轴方向 ] 　 在上图场合中，即使是同样剖面的构件，对应于总体座标的剖面方向如何定义输入值也就不一样。 　 2.3 杆单元·梁单元的剖面特性和单元坐标 这里对有关梁单元的剖面特性和单元坐标进行说明。   单元一般具有称为单元坐标系的，各个单元都具有各自固有的坐标系。计算结果得出的弯矩或剪力全部按这种单元坐标系输出。单元在模型空间里因为是按各种方向形成了好几个坐标系，而基本坐标系在模型空间里只有一个，这么多单元的输出结果按各种方向来表示则在评价结果时就显得相当麻烦。   然而，由各个单元的方向设置单元固有的坐标系，对于输入单元特性也好，输入剖面惯性矩和扭转系数也好用它的单元坐标系来定义就方便了。 以长方形剖面为例说明一下，单元的坐标系由不同的CAE结构分析程序而有所不同，这里取MSC.Nastran作为例子。 　   这里x, y, z是梁单元所用的坐标系，连接起始端、终止端，则沿着这个方向单元坐标系的x轴就设置好了。y轴由用户定义，x, y轴决定好了后，z轴就自动决定下来了。   J的值在作用于构件小扭矩的情况下（一般这种情况较多）用近似值就够了。   为了求得剪切变形要输入剪切有效面积。但是剪切变形一般地要比弯曲变形小很多，所以对于细长的（弯曲变形大的）构件可以忽略。     　 符号 项目 计算公式 A 剖面面积 bh   Iz 绕Z轴的剖面惯性矩 b3h/12   Iy 绕Y轴的剖面惯性矩 bh3/12   Ix 剖面惯性积 0   J 剖面极惯性矩 Iz＋Iy  Asz Z向剪切有效面积 ≒5bh/6 Asy Y向剪切有效面积 ≒5bh/6 ＜长方形剖面特性＞ 输入梁单元的剖面形状， 尺寸 手机海报尺寸公章尺寸朋友圈海报尺寸停车场尺寸印章尺寸 后能自动计算剖面面积和剖面惯性矩等的剖面特性，也有将输入的数据显示出来的CAE程序。   3．板单元   板单元如它的名称，是对板材组合而成的结构进行模型化的单元。将这样的结构物进行模型化要用到板单元。   由于是薄的板材料而要用板单元，基本上都能用图像来作出判断。   但是所谓薄板是怎样的一种板呢？仅仅从它的厚度值是不能判断的。 例如：对于1～10mm的构件使用板单元时，也有不合适的情况。相反即使对于50～100mm的构件而使用板单元时也有合适的情况。 构件的薄与厚是由它的面积和厚度的相对关系来决定的。   一般而言，如果构件的边长是它的厚度的5倍以上的话，考虑为板，并可使用板单元为好。 板单元：实际结构的板的边长>板厚的5～10倍。 　                         壳结构是一种圆筒、球、椭圆等的曲面板状结构，是一种不仅仅传递弯曲力，也传递面内力（膜力）的一种结构。 对于不想传递弯曲的结构件，用膜（membrane）单元进行模型化。膜单元尽管和板单元形状相同，但区别在于它不传递弯曲力。 在结构物具有曲面的情况下用平面的板单元来作模型化（也即形成多面体），也许会有点不协调的感觉。 也有人把这样的模型化通常称为在图象上的“贴瓷砖”。 　                   当中间塞满了东西时也一样。如果薄的东西称为瓷砖的话，在这种情况则称“堆积木”怎么样？ 　                  　   考虑圆筒型容器的情况下，外径为R、板厚为t，则R/t>5这一条件即使是将其视作薄板的一个标志。板厚在比此条件更厚的情况下，不用板单元来模型化，而是由实体单元来模型化的这种考虑方法为好。   作为参考由材料力学定义的薄板有以下三个特性。请联想一下弯曲一张纸的情况和由弯曲厚的电话帐册所联想到的情况。   ·相对于弯曲，中立面并不移动 （适应于在弯曲面部分弯曲半径（R）是板厚（t）的五倍以上） R/t > 5   ·与中立面相垂直的面弯曲变形后仍保持平面。 （剪变形必须要小，板的边长是板厚的数倍以上为好）。   ·与中立面垂直方向的法向应力可以忽略。 （适应于除去高面压的载荷点附近）   　 3.1 板单元和单元坐标 单元的形成 在利用前处理程序的单元自动划分功能时，因为可以从形状（Geometry）自动生成节点和单元，所以要输入单元一边的平均长度或者所对应的形状（Line或Surface）的分割数。 在一个个用手工输入来形成的情况时，要指定单元的类型（是4边形还是三角形），并且一个个地将必要的几个节点按顺序连接起来。 　 在输入构成单元的节点时，要注意形状扭曲的情况，部分单元的正反面不要搞反了。单元的正反面由连接节点时的顺序所决定。对于连接顺序适用于右手法则，正方向为单元正面，负方向为单元反面。     板单元的单元坐标（MSC.Nastran）　 　 如图所示由第1～4节点决定了上图那样的单元座标的x, y轴。   用第1234节点顺序的右手法则决定板的正反面。这种情况下z轴正方向即是单元的正面。 区分单元的正反面在加压力载荷、输出应力、定义幅射面等等的情况时，就很有必要了。 　 单元特性 输入使用的材料、板厚等，与梁单元不同，没必要输入剖面特性能或剖面方向。   膜单元和剪切板单元 作为板单元中的一族也有将膜单元（具有面内刚度的单元）和剪切板单元（只有面内剪切刚度的单元）分开来的程序。通常板单元是具有面内刚度＋面外弯曲刚度＋面内剪切刚度。  ·板单元也叫做平面应力单元，具有面内刚度＋弯曲刚度。   ·也有把能考虑面外剪切变形的厚壳单元和不能考虑剪切变形的薄壳单元区别开来的程序。 ·也有平面应变单元，分析相同剖面的连续结构的一个剖面和通常的板单元有所不同。 　 4. 实体单元和三维结构  　　　 一般作为使用实体单元所适合的结构，是具有三维形状变化的物体，不太适合棒状、平板状的物体。   分析气缸体、高压泵的活塞、阀等时，与其说是框架结构或板结构，不如说是在做块状的结构模型化。   即使是薄板结构，想要看见焊接那样的立体部分的应力集中，就要使用实体单元来模型化。   实体单元是利用3D-CAD所作好的实体模型，就这样拿来就能作有限元模型处理，这一点非常方便。   但是用实体单元制成的模型，因为节点数往往较多在分析时务必注意计算机磁盘用量和计算时间。 实体单元能够把3维图形原封不动地适用于结构分析的模型上这一点来说，对于初学者是一种很好用的单元。即使对于框架结构也好，板结构也好，如果想用也能够使用该单元，然而通常还是使用梁单元或壳单元为宜。 　 实体单元的缺点 ·分析时需要花时间，一般梁单元（一维单元）<板单元（二维单元）<实体单元（三维单元）这样的顺序往往较多。   ·模型化变更时，用实体单元制成的模型形状的变更由于节点数多，往往需要较多时间。还有三维所组成的东西多，用手工操作修正是非常麻烦的。 ·用板单元、梁、杆单元制成的模型的方法由于力的流向容易看出，在设计初期阶段，比实体单元评价时要方便。  　 4.1实体单元  　 单元形状 由于形成实体单元需要化功夫，大多数是用前处理中的3D-CAD等作成3维形状，再对此3维形状自动来生成单元。   实体单元有六面体、五面体、四面体，在用自动生成的情况下使用四面体较多。 从分析精度而言，使用六面体为好，自动生成的三维形状也有必须限制用于六面体的等等，五面体单元在评价应力时尽量不使用此方法为好。 因为构成单元的节点数多，用手工输入制成时，注意节点连接顺序号码不能搞错。   ＜六面体一阶单元＞                    单元特性 指定使用的材料没有必要像梁单元或板单元那样，需要有关形状的数据。把三维形状能够原封不动地进行模型化，对于初学者是一种非常容易理解的单元。 实体单元是能够适用所有的结构，然而一般因为节点数或单元数要变多，有所谓的“自由度总数变大＝需要化费计算时间和计算机资源”的缺点。 　 4.2 板单元和实体单元的种类 　 板单元有三角形和四边形单元，实体单元有四面体、五面体、六面体等形状的单元。   对于板单元尽量使用四边形单元，对于实体单元尽量使用六面体单元。使用三角形或四面体单元与使用四角形或六面体单元时相比有使结构增加刚性的模型化倾向。 但是由于结构的形状关系也有数个单元形状混在一起的，也有用前处理全部生成三角形或者四面体单元的。在这种情况下，将网格划的细一点，使用2阶单元可以起到防止刚性的模型化倾向。 　 六面体称为HEXA、五面体称为PENTA、四面体称为TETRA 　 六面体 五面体 四面体 HEXA单元 PENTA单元 TETRA单元   （楔单元）   　 　 5. 板单元、实体单元和轴对称结构 所谓轴对称结构，是将由线或面形成的2维形状绕轴旋转360 °所得到结构。   将线绕轴旋转形成面，而将面旋转则形成实体。这些是作为板结构或者一般的3维结构的特殊情况来考虑的。 在CAE结构分析程序中，对于像这样的结构称为「轴对称实体单元」，并都备有这些单元。     　   使用这样的单元，只要将形状的剖面进行模型化处理，就能进行整体结构的分析，所以可以大幅度地节约节点数和单元数。   对于厚度薄的结构使用轴对称壳，对于厚的结构则使用轴对称实体，这和板单元，实体单元分开使用的情况是一样的。 另外，根据所用的CAE软件，因为旋转轴有z轴和y轴，所以在形成旋转剖面时要注意。                              　 对于轴对称结构加上荷重，应该看作是360度范围的部分内都加上荷重。 用轴对称作的模型，载荷条件也好，约束条件也好，都被看作是轴对称的，然而也有因程序的不同可以使用非对称的载荷条件、非对称的约束条件的。 　 6. 1阶单元和2阶单元  　 对于单元有仅以所对应的顶点作为节点而形成的1阶单元和在边上另有一中间节点的2阶单元，以及有2个中间节点的3阶单元等等。这里对1阶单元和2阶单元进行说明。 1阶单元它的边的形状是直线，单元的位移用1次插值函数来表示。   2阶单元它的边的形状是直线或2次曲线，单元的位移用2次插值函数来表示。 与1阶单元相比，2阶单元有以下这些特征。 因为形状的定义可以用2次曲线，这对于围着园孔的单元划分等等，那样曲线形状的结构边界是很有效的。   2阶单元如果使用一阶单元一样的单元划分程度，则它的分析精度要来的更高。即使一条边的长度放长到2～3倍，也可以得到1阶单元一样的精度，所以如果允许所得的精度一样，则使用2阶单元来划分单元的话，网格粗一点也没关系。 但是如果在集中载荷处或应力集中处网格分得太粗，就要产生不合理的应力分布。 本教材只要没有预先 声明 无利益冲突声明中华医学会杂志社职业健康检查不够规范教育部留学服务中心亲友住房声明 ，均以1阶单元来作说明。   1阶单元   2阶单元 　 单元位移的插值函数：位移法中，对于节点的位移和单元内部各处的位移是用广义坐标的插值函数来表示。也称形状函数。 对于想进一步详细了解的读者请参考相应的有限元法的专著。   对于有限单元的形成必须按以下步骤：   1. 选择单元的类型：在作模型化过程时，选择梁单元、板单元、质量单元等等所要用的单元。 2. 连接节点：连接所对应的单元类型的单元节点。 3. 单元特性：对符合所选单元的单元特性进行定义。 4. 材料定义：对所使用的材料定义与分析种类相符的材料系数（弹性模量、泊松比、线膨胀系数等） 　 7. 刚体（Rigid）单元 　 这里说的单元和普通的物理单元有所不同。 单元形状 在1对1或1对复数的节点之间定义刚体连接。   在节点之间定义了刚体单元，则它们的自由度之间独立和从属（也叫主从）关系也定义了。而且独立自由度和从属自由度用刚体方程式连结，相互间相对不变形。   在程序中从属自由度从整个方程式中除去。由此对于从属自由度，不能定义强迫位移约束。 另外，定义了一次从属的节点自由度，因为不能再是别的节点的从属自由度，所以在二个以上的刚体单元定义时就要注意。 单元特性 没必要输入通常所要的单元特性，也有能任意指定节点的独立自由度，从属自由度的程序。 　 刚体单元它的刚度特别大，可以作为完全不变形的单元来映射使用。 在结构中只有一部分的刚度特别大的情况下，使用一般的物理单元，因为输入了很大的刚度在数值计算上要丢掉好多位数从而引起计算精度变坏。对这一部分如果使用这种刚体单元就能防止精度降低而进行计算。 　 8. 质量单元 质量单元是在节点上定义质量的单元 　 单元形状 输入决定单元位置的一节点 　     单元特性 输入质量的值，如有必要则输入质量引起的旋转惯性矩。  　   材料的重量用输入材料的质量密度定义为宜，在处理局部产品的重量时用质量单元对其进行模型化处理。 　 9. 良好的单元划分   至此我们学习到关于单元的形成，过细的单元划分需要化CPU时间，过粗的划分则精度要降低。   合适的单元划分随着经验的积累，渐渐地能够明白了。如果一开始有点什么标准的话就很容易了。   这里因为没有一种定义可以符合所有的情况，为了求出合适的应力等等，将考虑单元划分方法的一个例子显示在下面。   没必要必须这样做，现实中在不能同时满足的条件下，也有妥协的情况。 一般在进行固有振动分析，屈曲分析时，即使比应力分析场合划分得多少粗一点，也够了。 　 有限元法谁做都能做出答案来，然而分析的精度与单元划分互相是依存的。有经验者和初学者的差别就在这里体现。调查改变单元划分结果会如何？是一种很好的学习。 　   (1) 单元划分的大小 一维单元 杆单元： 因为单元内部应力是一样的，即使分得再细也不会改变精度。相反如果将一根构件分成多个杆，就会变成不稳定结构。   梁单元： 即使构件的中间没有节点，也能跟踪弯曲变形，可以不太考虑单元划分。最低限度在以下位置处设置节点，而后划分合适的单元。   1.​ 1.    框架结构的节点（交差位置）、固定点、载荷点、分布载荷的两端。   1.​ 2.    剖面形状、材料特性改变的位置。   1.​ 3.    改变使用单元的位置（使用不同单元特性的边界位置）   其它不要使单元的长短不太齐，调整单元各边的长度。   在曲线构件的场合下，如果这种曲线能够用直线来近似的话，就用直线来划分   为了容易理解变形图或振动模态图，有时要追加节点。   由后处理来显示的变形图中，单元是把位移后的节点用直线连接起来表示的。 然而计算机内作为曲线计算出单元变形，在变形图中也是用直线来表示的。   考虑梁单元的情况，例如进行这样划分的场合，因为节点之间用直线表示，所以一眼就能看出剪切变形。   　 相同的模型如果能象这样细密地划分的话，即使节点之间用直线表示，作为整个结构的弯曲变形也很清楚。  (2) 二维单元 单元分割由结构的大小或剖面尺寸决定的，也和应力分布的状态有关系。   基本上如在板结构中所述的那样，把板厚的5倍作为单元的一条边的话就行了，然而大多场合，要比这划得密的多。但如果是10～20倍的话也可以。   但是象缺口部分，剖面变化部分那样有应力集中的地方，就要把单元划得密一点。 因为不知道应力状态，所以要做应力分析，然而也包括根据事前对结果的预测。这也是用经验来判断成为必要部分的缘故。 单元分割的大小急剧改变，在其附近应力分布的精度会变差，所以从大的单元要渐渐地变成小的单元，这一点要特别注意。 (3) 单元的分割类型 为了得到精度良好的应力分析的结果，尽可能把四边形单元作成正方形，三角形单元作成正三角形那样来划分，这是理想的情况。  要使划分尺寸变化时，利用前处理的偏置划分功能（加权分割）等，单元的大小就会平滑地变化。  ＜与对边等分有关的偏置功能的例子＞ 纵向6等分，等分割 横向10等分，等比分割 纵向6等分，等比分割 横向也是10等分，等比分割 组合这些偏置 像这样复杂的分割也能进行 　   使用对边等分的话，只能够用四边形单元来划分，在矩形以外的区域中全部用四边形单元来划分的话也有难处。这时候可以把三角形单元混在一起，但是尽量用接近于正三角形的单元来划分。 (4) 单元的长宽比（形状比） 一般板单元的长宽比越大，分析误差也越大。   在以求应力分布为着眼的区域里，单元的长宽比的推荐范围为1:1～1:2。   在这以外区域里推荐范围为可以到1:3为止。 在应力分布几乎没有变化的区域里使用的单元，1:10也没问题。 三角形单元的情况下用最长的边和最短的边的边长比来代表长宽比并进行判断的话就行了。 (5) 实体单元 在前面已叙述到的关于板单元划分的模式，如果把三角形换成四面体，四边形换成六面体的话，对于实体单元同样能适用。 (6) 其它单元划分形状上的注意事项。 (a) 模型的规模 如果用户事先知道能够计算多大的模型，也就是计算模型的限制就好了。一般来说节点数可以成为模型大小的标准。节点数增加分析的时间也要增加。   还有分析的时间也随计算机的性能所左右。并非仅仅是CPU的性能，还与磁盘的容量，内存的大小等所谓的硬件性能休戚相关。   更进一步与所谓瞬态分析和热传导分析的分析类型大有关系。即使同样的分析也与求解的数目（例如与特征值分析有关的特征值的个数）问题的复杂程度（例如与优化设计有关的设计参数的个数）都相互关连的。   最后，即使解出来，但是太化时间，跟不上设计进度了。对于分析人员来说有必要在作模型处理的同时考虑分析精度和分析时间之间的平衡。 (b) 节点、单元的自动生成。 单元的自动划分功能在有限元模型上是非常有效的工具。仅制作单一单元有时会有预想不到的模型产生。在制成特别大的模型时，要预先考虑全部的划分 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 之后开始作业。 把细小部分加在一起进行全体单元的划分，结果节点数过多，以致于不能分析。也许很麻烦，然而按照计划预先把划分的区域分开来是必要的。 (c) 三角形单元和四边形单元   用同样大小单元相比，四边形（六面体）单元比三角形（四面体）单元精度要高，这已叙述过了，但是在所有场合都用四边形（六面体）单元制成是不可能的。然而，由于使用四边形（六面体）单元不能进行自动划分，制成模型需要化时间。 单元划分中使用三角形（四面体）单元是很重要的，即使同样是三角形（四边形）单元，如果用二阶单元精度就会提高。在制作模型时，考虑所化费的时间和要求分析的精度之间的平衡也是一项重要的内容。 (d) 结构形状和模型 把结构形状、约束状态、载荷状态在模型中得到再现这是基本的。无论多么好的程序，它分析结果的好坏也要依赖于输入数据的精度。无法使结果以高于输入数据的精度输出。也就是说，把形状完整地输入的话这是最好的。   这么说来，因为现实的东西全是三维的结构物（无论多么薄的板也有厚度），所以可以用实体单元做成所有的模型。然而，像饭盒那样薄板的结构或像铁塔那样由梁构成的结构，使用板单元或梁单元的话有好多精度都很好。   正确地制成模型的形状这是一件重要的事情，所以请在充分理解有限元特性之后进行模型化处理。   另一方，也有有意识地忽视一些形状的情况，如非常小的孔，稍稍下陷的填料糟，并不着眼于分析的缺口处的小园角等等。如果进行超过需要的过密地模型化处理，则白白浪费了体力和资源。 一样的形状将比例尺度为1的结构模型化处理与比例尺度为其2倍大的结构模型化处理进行比较时，因为得到相同的分析精度，所以只要用相同的单元划分（即对于后者单元尺寸做成前者的1倍）就可以了。实际结构的大小与单元划分的数量没有关系。 (e) 单元划分的评价 以上那样已经叙述了很多，然而即使这样在最初是无法做到判断单元划分的好坏的。划分得好还是坏，作为定量判断的一个方法可以用。   将单元的尺寸减少1/2、或者   把1阶单元换成2阶单元再计算 二种方法用任一种都行，对前后同一地方的应力值进行比较，如果应力值相差50％的话，原来的划分可以说有50％的不合适。 　 10. 材料物理特性的输入   　 从前处理程序输入时，要在输入材料特性的对话框中输入必需的材料特性值。在直接输入数据的情况时要按对应的程序的书写格式输入物理特性。   对于使用的材料个数没有限制，对于所做的分析使用的材料如果有几种的话，就必须输入这几种的物理特性。   按照输入的值，输出分析结果，因为有时候输错一行位数，光看结果发现不了是输入时的错误，所以在输入时要很注意。   特别在按厂家所登的数据，原封不动地输入时，请注意不要搞错单位制。 材料特性根据分析的种类，所要求的内容也不同。对于这种分析用不到的物理特性，即使输入的话也不影响答案，然而所必需的物理特性没有输入的话，就要出错。有关基本的分析所必需的数据如下所示。 　 ＜必需的材料物理特性＞ 分析的种类 线性静力分析 振动分析 应力分析 准静力分析 热应力 特征值 瞬态 频率响应 弹性模量：E ○ ○ ○ ○ ○ ○ 泊松比：ν ○ ○ ○ ○ ○ ○ 线膨张系数：α － － ○ － － － 质量密度：ρ － ○ － ○ ○ ○ 阻尼　：d － － － － ○ ○     * 准静力分析：加速度载荷、离心力载荷等等与时间无关的也即固定关系的场合中，把它们看作静力载荷而进行的分析。   各向同性材料的情况下，横向弹性模量（剪切弹性模量）G可以用E/2（1+ν）来计算。   但是大多数的程序在E、G、ν中输入其中二个数值的话，其它一个值由这个公式自动计算出来，弹性模量也叫纵弹性系数。   另外在进行下面那样的分析时，就一定要有对应于这些分析的材料特性。   在处理材料特性与温度的依赖性（考虑因温度引起值的变化）时，将温度的材料特性用表格形式输入。   在处理各向异性材料（因方向不同物理特性不一样的材料）时，输入的材料特性就成了矩阵形式。   在处理塑性状态（超过弹性限度）时，并不只是弹性范围内的特性，塑性状态的特性也要输入。   处理蠕变状态（变形随时间的推移而变化，应力也发生变化的状态）时，要输入这种材料的蠕变特性。 　 11. 单元自动生成后的检查 　 由前处理的单元自动生成功能，自动生成单元时，也会有与想象中不一样的结果。根据情况的不同可以是分析精度降低的原因，也可能是程序实行错误的原因。以下所示的就是这方面的例子。   (1)​ (1)    形成重节点（同一座标有不同节点），产生单元间不相连的部分。   (2) 虽然分开给出节点编号，单元编号，然而最终还是形成连号。   (3) 不留神之间，同一地方定义了2遍单元（重复进行定义）。   (4) 形成了歪曲单元，扭曲单元。   (5) 单元的方向与想要形成的方向相反（单元正反面搞反了）。   (1)​ (1)      重节点的合并   用前处理作单元自动生成，对于板单元因为也要生成它们的表面（实体元则为它们的实体），表面和表面连接的部分（实体和实体连接的部分），在共同的线上形成了重节点（在同一座标中分别有几个点），这样单元与单元就没有连接在一起。 在这种情况下，为了要将单元连起来，就要将重复的节点用命令合并（merge）成一个节点。不这样做的话，加上载荷时，它们就要分离开来。  　 如果用叫做显示自由边（ free edge）的功能来显示的话，那么单元就只显示那些与其他单元不连接的那些边，这样就可以检查出来。   　 (2) 重新编号 单元编号还有节点编号可以任意给出并替换。以前这些编号有的程序只能允许从1开始连续进行编号，然而现在的程序要说的话首先就没有这种规定。你可以使以后结果看起来容易，按你的喜好来进行编号。   (3) 单元的重复定义 在进行单元制作的时候，一不留神，在同一个地方又做了一遍单元。用眼睛是分不清的，然而这部分就和把它的厚度加了一倍一样，会得出错误的解。请用和(1)中一样的显示自由边来进行检查。在查出重定义的单元后请将它删除掉。   (4) 扭曲单元的修改 与前处理的能力有关，在单元自动生成时，也会形成下面所述的那样的单元。形成这样的单元因为要出错，所以必须修改。也许会有好几个地方有这种情况，这样就要退回到前面某一个步骤，改变单元形成时的参数（划分数、单元大小等），尽快进行修改和调整。 要避免的单元形状 中间节点离开边的中点的高阶单元→中间节点放在边的中点。 内角比180°大的单元 → 内角＜180° 单元的扭角在30°以上 →扭角＜30°   (5) 单元正反面的调整     板单元如果在部分的地方进行修改，就会有这部分单元的正反面与周围的单元不统一的情况。这是用手工连接修改后的板单元节点的顺序与周围单元相比，搞反了方向。   部分的单元正反面不一致，对于分析本身来说也没有问题，然而在结果显示中，如果所有的单元同时显示应力时，因为仅有这些单元表示了反向面的应力，从而引起混乱。 单元的正反面在前处理中可以一起检查，并要把它们和周围的板单元的正反面统一起来。 做好单元的划分后不能说就可以安安心心了，必须做一下上面所述的检查。 　 对于前处理的选择，要选那些单元检查功能丰富的程序。   12. 单元和自由度 　 使用有限单元程序，自由度（自由度方向和自由度数）会碰到稍稍不熟悉的语言。 所谓自由度就是各节点往哪个方向移动，第一要考虑的是与所说方向上平移的3个成分，加上绕各轴旋转形成了一个节点所具有的共计6个成分的自由度。 如图所示的直角坐标系X,Y,Z平移方向和绕各轴的转角θx,θy,θz即为自由度。     象这样各节点通常具有六个自由度，然而设定约束条件的话，它的自由度成分将会减少。   例如，完全固定住的节点自由度数为0，设定了铰支持的节点因为约束了平移3个成分，成了仅仅是3个转角的3自由度。   还有不仅约束，对于明确加载荷方向，也有用自由度的成分来定义的。   按照程序把这六个自由度用1到6的数字来表示，1, 2, 3为x, y, z的平移方向成分，4, 5, 6表示各种绕轴的转角成分。 这些自由度在形成模型时也好在评价分析结果时也好，都是极其重要的信息。　 共同标记 CAE软件使用的自由度标记 对应于自由度的力 位移 Tx 或 1 力 FX Ty 或2 FY Tz 或 3 FZ 转角 θx 或 4 力矩 MX θy 或 5 MY θz 或 6 MZ   合计　6个自由度 合计 6个成分   用单元单位来考虑的节点自由度（单元坐标）   单元是由节点构成的，随着单元产生的应力或力影响构成单元节点的自由度（最大6个，最小0）。（例如在考虑板单元的场合，这些节点在完全约束场合，全部节点的自由度为0全部节点不动变形为0，这种板单元不产生应力）。     约束的种类和自由度成分的关系     下表中表示约束的种类和自由度的关系。    结构 标记 固定（完全固定、完全约束） 自由度1～6全部约束 位移约束，转角自由（铰支持） 自由度1～3约束   轴方向自由（滑动支持） 仅允许X方向的位移和转角，2，3， 5，6约束         13. 约束条件 13.1约束给定的方法和分类 　 有限单元模型能把节点固定在空间，把这个称为约束。对于分析模型中的一个或者多个节点，要给出所求问题所必需的约束。   约束是把节点所具有的自由度在指定的坐标系基础上固定，约束的自由度成分能独立选择。因而能够仅仅约束位移（铰支持），或者约束所谓的某一方向以外的所有自由度（滑动）。 「在指定坐标系的基础上约束」即：在圆筒坐标系的基础上约束的话，因为能固定r, θ，z的成分，简单地指定约束半径方向还是圆周方向约束。同样，在倾斜的直角坐标系的基础上约束的话，能简单指定在斜面上移动滚子状态。 用约束不仅能表现完全固定或铰支持，对称变形条件也能表现。 下图表示了如果约束哪个自由度，就成为哪样的约束状态。参照的是基本直角坐标系。   ＜约束条件例子（√表示约束意思）＞ TX TY TZ RX RY RZ 自由度 レ レ レ レ レ レ 完全固定 レ レ レ □ □ □ 铰支持 □ レ レ レ レ レ X方向滚珠支持 レ □ □ □ レ レ YZ面対称 □ レ レ レ □ □ YZ面反対称 □ レ □ レ □ レ XZ面対称 レ □ レ □ レ □ XZ面反対称 □ □ レ レ レ □ XY面対称 レ レ □ □ □ レ XY面反対称   因为初学者对「支持」和「结合」容易混淆，所以要注意。例：铰支持是节点的位移自由度在空间约束。结合是连接节点相互间的位移自由度。在空间固定的节点不能动，结合的节点可以动。                       强迫位移 强迫把某节点向特定方向移动并固定的场合，叫“强迫位移”，这也是约束条件的一种。同约束条件一样，在特定的坐标系的基础上能够给予特定的位移量。换句话说，所谓约束是在强迫位移时，考虑位移量为0的特殊场合就行了。   有关静力分析时的模型的约束   关于静力分析（应力分析），模型没有正确地约束时，通常不能求解。所谓的没有约束，是指结构以无重力状态悬浮着。在某方向加载荷，如不阻止，则不停地飞扬。另外即使在加载荷方向阻止它，别的方向不阻止的话，也许要向那个方向运动。总之，不稳定是不行的，在静力分析时必须在约束中去除不稳定因素。     　　　　　　　　 　 14. 输入载荷   　 有限元法中载荷是对于节点进行定义的。作为加在单元上的载荷来定义时（加在板单元实体单元的压力载荷、梁单元的分布载荷等），在程序内部是转换为节点力来处理的。   单元名称 单元名称 单元载荷 位移载荷 力矩 温度 加速度 分布载荷 圧力 熱量 加速度 杆单元 ○ ① ○ ③ － － － ③ 梁单元 ○ ○ ○ ③ ○ － － ③ 板单元 ○ ② ○ ③ － ○ － ③ 实体单元 ○ － ○ ③ － ○ ○ ③ 　 标记为可以输入的载荷。其中写出的数字为以下限制。   仅能输入扭矩，不能输入弯曲力矩。   不能输入单元面内的力矩。   有必要定义质量单元或者质量密度。     　 　 15. 复合结构的例子（实体单元和梁单元、板单元的结合）   　 (1) 复合结构 实体单元利用了3DCAD的形状，在制成有限单元模型时，就在其形状上就能够进行模型化这一点确实是一个非常方便的单元。但是，全部都用实体单元进行模型化时，就有总的节点数会变多，分析需要化时间这样的缺点。   然而，部分梁单元或板单元混在一起，全部的节点数变少的模型化也是有的。但这种场合的问题所在是实体单元、板单元、梁单元的节点所具有的自由度是不同的。   对于构成实体单元、板单元、梁单元的节点，在各种各样单元的特性上也有刚度不分配的节点自由度。实体单元涉及转角三个成分，板单元涉及面内转角的成分。   没有刚性，在程序内这种成分的自由度与分析对象不符，将会自动约束。然而与没有自由度是相同的。 总之，把板单元或梁单元如果不作处理，与实体单元连接，这样就不传递转角成分＝只能作为铰结合处理。   　　   　   如图所示，在那部分即使加了力，也不能传递力，一下子就会倒下来了。因为这样是不能分析的，所以在梁或板单元的接合部要把节点的转角传递给实体这样特别的模型化处理就很有必要。     这种场合通常不用单元，而用梁或者板单元的接合节点转角移位量和在实体单元结合点附近的代表点的位移量的关系式来定义。请见下面图。         把的转角成分和的位移成分相结合。    　　　　　　　   因为这不是通常的有限单元的输入，最初也许感到很难。然而为应付困难，也有像MSC.Nastran这样的程序，只要输入连接的那些单元的单元编号，就会进行实体单元和板单元的结合。   实体单元和梁单元的结合也必须这样做。在梁单元和板单元结合时，仅与板单元的面内转角成分的结合有关，有必要进行同样处理。   例如，下面所示考虑分析汽轮机叶片时的情况，实体用在转子部，叶片部分用板单元进行模型化处理，如前面所述，板单元和实体单元结合的问题就可处理了。     　 16. 单元输出   　 作为与单元有关的输出，有单元力和单元应力。这里叙述一下关于梁单元和板单元的输出。  单元力：梁单元的话，即在其上加的力，板单元的话，则为每单元宽内加在单元上的力。例如：轴力、面内力、弯曲力矩、剪力等。这些是在各自的单元坐标系内输出。   单元应力：把上述单元力换算成在每单位体积力的大小。对应于前面已叙述过的单元力有轴应力、面内应力、弯曲应力、剪应力等。用各自的单元坐标系输出。其他还输出主应力、米塞斯应力。主应力以单元坐标系为基准，同时输出它的倾角。     这些值对于查看结果的明细表来进行评价是很有关系的，然而在用后处理程序来处理结果时，大多都不需要。   　 17. 分析时必要的输入项目   对于静力分析（应力、热应力）、特征值分析、屈曲分析的输入整理出如下所必需的项目。 　 静力分析 特征值分析 屈曲分析 应力 热应力 载荷 ○ ○ × ○ 约束 ○ ○ ② ○ 弹性模量E ○ ○ ○ ○ 泊松比 ν ○ ○ ○ ○ 质量密度 ρ ① × ○ ① 线膨张系数 α × ○ × ×   标记为必要的项目。其中的数字请参照下面所述。x标记为没必要的项目。   必须要有加速度载荷。 如想评价无约束（自由自由）状态，则不必输入。 　 2．材料力学和有限元法 进行应力分析时有限元法的基础是材料力学。   所以当学习和利用有限元法时，首先材料力学的知识很有用。   材料力学有关的内容丰富的教科书有很多，也许没有兴趣去阅读。但是为了正确使用有限元法所必需的材料力学的范围不能太广。   在这里以术语解说为中心，关于必要的材料力学和有限元法的一些内容来说明一下。   2.1载荷与位移   作为材料力学的基础首先要知道载荷，位移、应变、应力。   载荷也被称为力、外力、负荷，机械和结构必须能承受必要的载荷。   只要有载荷作用，即使是肉眼看不见的微小程度，机械和结构总归有点变形。   此时，机械或结构的各点移动量称为位移，取与整个物体相对的表现称为变形。   整个物体如果位移一样的话，即使位移量很大也没有变形。   表示各位置的变形程度是应变。 对应于这个应变，材料内部产生的抵抗力，即对载荷材料内部的抵抗力称为应力。 如上所述，只要有载荷存在就有位移、应变、应力的存在，这四种只要有其一存在就会有其他三种存在。用数学公式连接这四种关系的学问称为材料力学。   用材料力学能够求出结构的位移、应力，这只限于简单的形状和单一载荷形式。   有限元法能够在现实复杂的机械或结构和任意载荷情况下，求出位移、应变、应力，给出应变和位移能够求出应力。 为了合理地利用有限元法，作为一种架桥，材料力学和它的思考方法是非常重要的。 2.2载荷（load） 　 载荷也称为力、外力、负荷等，可以分成如下所示的各种类型。大多情况下对应于所处的情况混合使用。一个载荷因为有各种表现，现整理成如下所说的那样来表示。   载荷的记号，对于集中载荷常用F、P、W，对于弯矩常用M，对于扭矩常用T，对于分布载荷常用f、p、q、w等。   (1)​ (1)    根据构件内生成的应力来分类   拉伸载荷，压缩载荷，弯曲载荷，剪切载荷，扭转载荷。   (1)​ (2)    采用理论公式的载荷分类   轴向力(N)、横向载荷(N)、弯矩(N·m)、扭矩(N·m)   (1)​ (3)    按载荷的分布状态分类   分布载荷（均匀分布和任意分布） 集中载荷（分布载荷的范围相对狭隘情况下的近似）　 [载 荷] 　 (1)​ (1)基于构件 内产生的应 力来分类 (1)​ (2)用理论公 式中使用的 载荷来分类 (1)​ (3)由载重 的分布状 态分类   (1)​ (4)以座标为基准点 的点载荷的分类 拉伸载荷 轴向力 集中载荷 -Fx, +Fx 压缩载荷 轴向力 集中载荷 +Fx, -Fx 剪切载荷 横向载荷 分布载荷 -Fy 弯曲载荷 横向载荷 集中载荷 -Mz 扭转载荷 扭矩 集中载荷 +Mx 　 (4) 给予坐标的一点的载荷分类（在有限元法中这样的表示很多） Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz   Fx，意思为x轴方向上的载荷，Mx，意思为绕x轴转的弯矩载荷   　 (5) 由加在构件上的载荷的变化形式分类   静载荷（不随时间变化的载荷） 动载荷（不规则载荷、周期载荷、正弦波载荷、冲击载荷） 　 　 (6)由载荷的作用位置来分类 表面力（作用于表面的载荷） 物体力（作用于物体体积或质量的载荷，以加速度载荷为代表） 　 (7)由载荷的原因来分类 自重、压力载荷、水头压力、浮力、系留力、离心力载荷。   地震载荷、风载荷、温度载荷、热套、压力 　 与材料力学中理论方面有关的(1)根据构件内生成的应力来分类(2)采用理论公式的载荷分类则是重要的，它们也表示了所对应的构件的中和轴，载荷作用于那个方向。   在有限元法中进行应力分析时非常重要的分类为(3)按载荷的分布状态分类(4)基于坐标的一点的载荷分类(6)由载荷的作用位置来分类。   强度评价有关的方面则是与(5)由加在构件上的载荷的变化形式分类(7)由载荷的原因分类这二种分类密切相关。   对于载荷所对应的产生的状态能给出各种各样的名称，然而最终可以分为位移和转角这样的6个成分。 　 2.3应力(stress)　 应力的记号对于垂向应力是σ（sigma），切应力为τ（tau），通用情况下用s。 　 (1) 应力的定义 载荷在构件内部产生的抵抗力就是应力。应力，为载荷除以构件的剖面面积所得的值，也即单位面积上的力。   　 将园棒拉伸时剖面上的应力是相同的，然而在形状或载荷的分布为复杂的这种常见的情况下根据剖面上的不同位置应力的值也不同。   另外，对于构件加上一个拉伸载荷，将这一载荷慢慢加大，最终这个构件会被拉断（破坏）。   应力成为构件会不会被破坏的判断基础中的一个值，应力如果大则容易破坏，应力小则不容易破坏。   即使有多大的载荷，应力如果小的话也是不会很容易就破坏了的，这一点大家是不是搞得清楚？   为了比较构件破坏的易难程度，或者强弱的程度，如下图所示的那样，并不是比较载荷F1，F2的大小，而是必须比较应力σ1，σ2的大小。   钢材的破坏应力是400～1000MPa（40～100kgf/mm2）。   而使用状态下的应力大多为100～300MPa（10～30kgf/mm2）左右。 　 　　应力 　　 (a) (b) 　 　 (2) 应力的种类 应力分成作用于构件剖面的垂直方向上的法向应力（正应力、拉伸应力和压缩应力：σ）和作用于构件剖面内的斜线方向上的切面应力（剪应力：τ）。将各应力用图来说明。   法向应力　σ 拉伸应力 压缩应力 弯曲应力 考虑在棒两端作用相等的拉伸载荷情况。棒处于平衡状态上下一点儿也不动。 在中间把它分成上下2部分，看在断面处发生了垂直于断面的拉伸应力。 对应于拉伸载荷的应力称为拉伸应力。 无论取哪个垂直剖面，都是同样。这个涉及全剖面的拉伸应力总和和拉伸力是一样的。 载荷方向相反时称为压缩载荷，发生的应力为垂直于剖面的压缩应力。 压缩应力一般加上负的符号来表示。 弯曲载荷（弯矩）一起作用，得到弯曲应力（在整个剖面表现出来，在截面的各个部位发生了直线分布的拉伸应力和压缩应力）。 　 切应力　τ 剪应力 扭应力 剪切载荷一起作用就产生了剪切应力。 这个剪切应力在剖面内不一样，截面当中最大，周边为0。 扭曲载荷（扭矩）一起作用扭曲应力（在整个剖面都表现出来，截面的各个部分为剪切应力）也就发生了。 这个剪切应力在剖面上是不一样的，周边最大，扭曲的中心为0。 　 在有限元法中，输出单元的法向应力（＋为拉伸应力，一为压应力）和切应力。 (3) 点的应力     在前面各项应力的种类中说明了典型情况下的应力，这里所要说的是一般的情况下的应力。   把一任意载荷作用在物体内的一点作为0，并考虑一个把它作为原点的直角坐标系x, y, z。   与0点有关的i方向（x, y, z哪一个都行）的应力为σi，作用在i面上的（与i轴垂直的面）j方向（与i方向不同的任意一个x, y, z）上的应力，即剪应力表示为τij，则作用于0点的全应力用3轴应力状态来表示就成为σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx。   在图中，对处于0点的立方体放大后表示了这些应力。而τij和τji大小是相等的。 　 [ 点应力 ] 　 考虑以0点为原点的另一个直角坐标系，使它绕原点旋转，会有一个点0的剪应力τ全部为0的方向。   把此时的方向的坐标轴称为主应力轴，这时的法向应力称为主应力。主应力有3个，大多以σ1≥σ2≥σ3来表示。   根据主应力来求与材料的屈伏或破坏相关的等效应力σe，也就是Mises应力σM或Tresca应力σT。   与一般的3轴应力状态相比，轴对称以及轴应力状态的表示，就少而简单了。   例如，用平行于薄板面的外力来拉伸的情况下，与板平面成直角方面上的应力任何地方都为0。   象这样，所考虑中的点的主应力σ1，σ2，σ3中的一个，比如说σ3＝0时，这个点就可以说是处在2轴应力状态（这时也称为平面应力状态）下。   屈服条件   最一般的金属的屈伏条件是由VonMises提出来的，这是把3维应力状态以相当的短轴应力状态下的应力表示成下表中的σM、σM则为考虑单轴屈服应力达到时就屈服了。   Tresca屈服条件则是这样考虑的，材料内3个最大的剪应力中，只要有任一个剪应力的绝对值达到一定值时，就产生了屈服。   主应力和等效应力的关系表示在下表内。   　 [应力的种类] 　 　ｘｙｚ单元座标应力 主应力、与单元x的轴的夹角 3维元 σx,σy,σz, τxy,τyz,τzx σ1,σ2,σ3, θ1,θ2 2维平面 σx,σy,　　τxy σ1,σ2,　　 θ1 轴对称体 σx,σy,σθ,τxy σ1,σ2,σθθ1　 主应力和角度的关系 （2维的场合） VonMises应力 Tresca应力 　 　 2.4应变 (strain) 和位移 (displacement) 　 施加载荷则构件就会变形。把这个变形用应变和位移来说明。   应变的符号使用ε（Epsilon）,γ（Gamma），位移的符号使用δ（Delta），u, v, w等。   图中，对相同剖面的构件A施加一载荷F，取变形后的状态为A’。   [应变和位移] a点，​ a点，    变形后为a’点，这个点的位移为a’点和a点的差δamm。   a点，​ b点，    变形后为b’点，这个点的位移同样的为δbmm。   也可能bc为ac的1/2，则位移的大小也成1/2。即δb＝1/2δa。   所以，长度方向的位移当然不是一样的，这时的情况下，按直线变化。   象这样，位移是各点的移动量。   应变，则是对于原来长度而言位移所占的比例。   a～c之间的应变，对于a～c间的长度la，位移量δa所占的比例用δa/lb来表示（无单位）。   b～c间的应变，同样地以δb/lb来表示。   一般而言，将l考虑成微小的长度。   对于把所说的F作为载荷一样地来拉伸的构件A而言，δa/la也好δb/la也好都是一样的。   应变在棒的任何地方都相同。   如果剖面不一样，材质不均匀的话，则物体内应变就会不一样。   位移，按所定的坐标系、有x方向的位移，y方向的位移和z轴方向的位移。   广义上还包含绕x轴的转角，绕y轴的转角和绕z轴的转角。   应变是由于拉伸载荷，压缩载荷而产生的纵向应变（拉伸为正应变、压缩为负应变）以及同时在垂直方向上产生横向应变，伴随着剪切载荷产生的是剪应变。 　 2.5应力和应变的关系 载荷对构件起作用产生了应力和应变（和位移）这已经说过了。   在这应力和应变之间，具有与材料有关的固有关系。   这种关系可用应力应变图来表现，如下图所示。   [应力—应变图] 　 此图是以拉伸一根软钢制的园棒为例，显示了使载荷从0开始逐渐增加，一直到园棒破坏为止。   纵轴是载荷除以原来的剖面面积而得的应力，横轴则是伸长除以原来的长度而得的应变。   因为原来的剖面面积和原来的长度是不变的一定的，也可以考虑成纵轴为载荷，横轴为伸长，这样容易判断。   这时就成了载荷位移图了。   A点称为比例极限或弹性极限（严格来讲二者是不同的），在这点以下除去载荷就回到0点，产生的应变完全恢复到0。   B点称为屈服点（σy:yielding point），是应力只要稍微增加一些应变就急速地增加的这个点。   C点是表示拉伸强度（σu：ultimate strength）的点，应