第五节 剪切弯曲时的正应力强度计算 工程中常见的梁，大多处于剪切弯曲变形，而公式（8-4）～（8-6）是在纯弯曲时导出的，但理论分析证明，对于一般细长梁（ ＞5），剪力对正应力分布规律的影响很小，上述公式仍可用于平面剪切弯曲。在剪切弯曲时，梁横截面上的弯矩沿梁轴线是变化的。因此，梁的最大正应力公式可以改写为 (8-7) 式（8-7）用来计算等直梁在剪切弯曲时横截面上的最大正应力。此时，梁横截面上的最大正应力，发生在等直梁全梁最大弯矩 所在截面上最外缘的各点处。 由于在横截面上最外边缘的各点处切应力等于零，因而最大弯曲正应力所作用的各点可看作为简单拉压受力状态。因此，建立梁的弯曲正应力强度条件为 ≤ （8-8） 即梁的最大工作正应力不得超过
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的许用应力 。 对于低碳钢等塑性材料，其抗拉和抗压的许用应力相等。为了使横截面上最大拉应力和最大压应力同时达到其许用应力，通常将梁的截面做成与中性轴对称的形状。如工字形、矩形和圆形等。其强度条件为 ≤ （8-9） 由于脆性材料抗拉与抗压的许用应力不同，为了充分利用材料，工程上常把梁的横截面做成与中性轴不对称的形状。例如T形截面等。图8-23所示便是T形截面的铸铁托架，其最大拉应力值和最大压应力值可由式（8-6）求得。故强度条件为 (a) (b) (c) 图8-23 ≤ （8-10a） ≤ （8-10b） 式中，
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示抗拉许用应力， 表示抗压许用应力。 对于阶梯形梁，因抗弯截面系数 不再是常量，对整个梁而言， 不一定发生在 所在截面上。所以，应综合考虑弯矩及抗弯截面系数两个因素来确定全梁工作时的最大正应力。 式(8-9)和式（8-10a、b）的强度条件，可以解决工程中梁弯曲强度校核、选择梁的截面和确定许可载荷三方面的问
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。 例8-8 一简易起重设备如图8-24(a)所示。起重量（包括电葫芦自重） kN，吊车大梁由22a号工字钢制成，跨度 m，材料许用应力 MPa。试校核此梁的弯曲强度。 (a) (b) (c) (d) 图8-24 解 此起重机梁可简化为受集中载荷作用的简支梁（图8-24b）。要进行梁的正应力强度校核，须首先确定载荷沿梁行走过程中使梁产生最大弯矩时的载荷作用位置，即工作最不利情况。当 作用在距支座A为 的截面时，该截面的弯矩 。令此弯矩对 的一阶导数为零，则可确定弯矩为极大值时的截面位置，即 得 这说明移动载荷 作用在简支梁的跨中点时，使梁受力最不利，产生的最大弯矩为 由附录C型钢表查得22a号工字钢的抗弯截面系数 为 根据正应力强度条件 ＜ 故满足强度条件要求。 例8-9 图8-25(a)所示为一受均布载荷作用的圆截面梁，其跨度 =3.0m，梁截面直径 mm，许用应力 MPa。试确定梁的许用均布载荷 。 图8-25 解 （1）求最大弯矩 根据静力学平衡方程可求出支座反力，作简支梁的弯矩图，如图8-25所示。由弯矩图可知，最大弯矩发生在梁的中点，其值为 （2）根据强度条件确定梁的许用均布载荷 将 ≤ 改写成 ≤ ，有 ≤ 由此得许用均布载荷 ≤ N/m N/m 例8-10 图8-26(a)表示一T形截面铸铁梁。铸铁的抗拉许用应力为 30MPa，抗压许用应力为 MPa。T形截面尺寸如图8-26(b)所示。已知截面对形心轴z的惯性矩 ，且 。试校核梁的强度。 (a) (b) (c) 图8-26 解 由静力平衡条件求出梁的支反力为 ， 作弯矩图（图8-26c），最大正弯矩在截面 上， ；最大负弯矩在截面 上， 。 截面对中性轴不对称，可用式（8-10a、b）计算应力。在截面 上，最大拉应力发生于截面的上边缘各点处 最大压应力发生于截面的下边缘各点处 在截面 上虽然弯矩 的绝对值小于 ，但 是正弯矩，最大拉应力发生于截面的下边缘各点，而这些点到中性轴的距离又比较远，因而有可能发生比截面 还要大的拉应力。 所以，最大拉应力在截面 的下边缘各点处。 校核梁的强度 ＜ ＜ 故梁强度条件是满足的。
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