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首页 电磁场与电磁波(第四版)课后答案谢处方

电磁场与电磁波(第四版)课后答案谢处方.doc

电磁场与电磁波(第四版)课后答案谢处方

aztyyh
2011-11-01 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《电磁场与电磁波(第四版)课后答案谢处方doc》,可适用于高等教育领域

第一章习题解答给定三个矢量、和如下:求:()()()()()在上的分量()()和()和。解()()()-()由得()在上的分量()()由于所以()三角形的三个顶点为、和。()判断是否为一直角三角形()求三角形的面积。解()三个顶点、和的位置矢量分别为则由此可见故为一直角三角形。()三角形的面积求点到点的距离矢量及的方向。解则且与、、轴的夹角分别为给定两矢量和求它们之间的夹角和在上的分量。解与之间的夹角为在上的分量为给定两矢量和求在上的分量。解所以在上的分量为证明:如果和则解由则有即由于于是得到故如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量而和已知试求。解由有故得在圆柱坐标中一点的位置由定出求该点在:()直角坐标中的坐标()球坐标中的坐标。解()在直角坐标系中、、故该点的直角坐标为。()在球坐标系中、、故该点的球坐标为用球坐标表示的场()求在直角坐标中点处的和()求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。解()在直角坐标中点处故()在直角坐标中点处所以故与构成的夹角为球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为解由得到一球面的半径为球心在原点上计算:的值。解在由、和围成的圆柱形区域对矢量验证散度定理。解在圆柱坐标系中所以又故有求()矢量的散度()求对中心在原点的一个单位立方体的积分()求对此立方体表面的积分验证散度定理。解()()对中心在原点的一个单位立方体的积分为()对此立方体表面的积分故有计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分并求对球体积的积分。解又在球坐标系中所以求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分验证斯托克斯定理。解又所以故有求矢量沿圆周的线积分再计算对此圆面积的积分。解证明:()()()。其中为一常矢量。解()()()设则故一径向矢量场表示如果那么函数会有什么特点呢?解在圆柱坐标系中由可得到为任意常数。在球坐标系中由可得到给定矢量函数试求从点到点的线积分:()沿抛物线()沿连接该两点的直线。这个是保守场吗?解()()连接点到点直线方程为即故由此可见积分与路径无关故是保守场。求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数此方向由单位矢量定出求点的方向导数值。解故沿方向的方向导数为点处沿的方向导数值为试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式。解在圆柱坐标中取小体积元如题图所示。矢量场沿方向穿出该六面体的表面的通量为同理因此矢量场穿出该六面体的表面的通量为故得到圆柱坐标下的散度表达式方程给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解由于故椭球表面上任意点的单位法向矢量为现有三个矢量、、为()哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示?()求出这些矢量的源分布。解()在球坐标系中故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示也可以由一个矢量函数的旋度表示在圆柱坐标系中故矢量可以由一个标量函数的梯度表示直角在坐标系中故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。()这些矢量的源分布为利用直角坐标证明解在直角坐标中证明解根据算子的微分运算性质有式中表示只对矢量作微分运算表示只对矢量作微分运算。由可得同理故有利用直角坐标证明解在直角坐标中所以利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及试证明之。解()对于任意闭合曲线为边界的任意曲面由斯托克斯定理有由于曲面是任意的故有()对于任意闭合曲面为边界的体积由散度定理有其中和如题图所示。由斯托克斯定理有由题图可知和是方向相反的同一回路则有所以得到由于体积是任意的故有 第二章习题解答一个平行板真空二极管内的电荷体密度为式中阴极板位于阳极板位于极间电压为。如果、、横截面求:()和区域内的总电荷量()和区域内的总电荷量。解()()一个体密度为的质子束通过的电压加速后形成等速的质子束质子束内的电荷均匀分布束直径为束外没有电荷分布试求电流密度和电流。解质子的质量、电量。由得故一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为的电荷球体以匀角速度绕一个直径旋转求球内的电流密度。解以球心为坐标原点转轴(一直径)为轴。设球内任一点的位置矢量为且与轴的夹角为则点的线速度为球内的电荷体密度为故一个半径为的导体球带总电荷量为同样以匀角速度绕一个直径旋转求球表面的面电流密度。解以球心为坐标原点转轴(一直径)为轴。设球面上任一点的位置矢量为且与轴的夹角为则点的线速度为球面的上电荷面密度为故两点电荷位于轴上处位于轴上处求处的电场强度。解电荷在处产生的电场为电荷在处产生的电场为故处的电场为一个半圆环上均匀分布线电荷求垂直于圆平面的轴线上处的电场强度设半圆环的半径也为如题图所示。解半圆环上的电荷元在轴线上处的电场强度为在半圆环上对上式积分得到轴线上处的电场强度为三根长度均为均匀带电荷密度分别为、和地线电荷构成等边三角形。设计算三角形中心处的电场强度。解建立题图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为则故等边三角形中心处的电场强度为-点电荷位于处另-点电荷位于处空间有没有电场强度的点?解电荷在处产生的电场为电荷在处产生的电场为处的电场则为。令则有由上式两端对应分量相等可得到①②③当或时将式②或式③代入式①得。所以当或时无解当且时由式①有解得但不合题意故仅在处电场强度。.一个很薄的无限大导电带电面电荷面密度为。证明:垂直于平面的轴上处的电场强度中有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。解半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为故整个导电带电面在轴上处的电场强度为而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为一个半径为的导体球带电荷量为当球体以均匀角速度绕一个直径旋转如题图所示。求球心处的磁感应强度。解球面上的电荷面密度为当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时球面上位置矢量点处的电流面密度为将球面划分为无数个宽度为的细圆环则球面上任一个宽度为细圆环的电流为细圆环的半径为圆环平面到球心的距离利用电流圆环的轴线上的磁场公式则该细圆环电流在球心处产生的磁场为故整个球面电流在球心处产生的磁场为两个半径为、同轴的相同线圈各有匝相互隔开距离为如题图所示。电流以相同的方向流过这两个线圈。()求这两个线圈中心点处的磁感应强度()证明:在中点处等于零()求出与之间的关系使中点处也等于零。解()由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度得到两个线圈中心点处的磁感应强度为()两线圈的电流在其轴线上处的磁感应强度为所以故在中点处有()令有即故解得一条扁平的直导体带宽为中心线与轴重合通过的电流为。证明在第一象限内的磁感应强度为式中、和如题图所示。解将导体带划分为无数个宽度为的细条带每一细条带的电流。由安培环路定理可得位于处的细条带的电流在点处的磁场为则所以如题图所示有一个电矩为的电偶极子位于坐标原点上另一个电矩为的电偶极子位于矢径为的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为式中是两个平面和间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大?解电偶极子在矢径为的点上产生的电场为所以与之间的相互作用能为因为则又因为是两个平面和间的夹角所以有另一方面利用矢量恒等式可得因此于是得到()故两偶极子之间的相互作用力为()()由上式可见当时即两个偶极子共线时相互作用力值最大。两平行无限长直线电流和相距为求每根导线单位长度受到的安培力。解无限长直线电流产生的磁场为直线电流每单位长度受到的安培力为式中是由电流指向电流的单位矢量。同理可得直线电流每单位长度受到的安培力为一根通电流的无限长直导线和一个通电流的圆环在同一平面上圆心与导线的距离为如题图所示。证明:两电流间相互作用的安培力为这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解无限长直线电流产生的磁场为圆环上的电流元受到的安培力为由题图可知所以证明在不均匀的电场中某一电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为。解如题图所示设则电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为当时有故得到 第三章习题解答真空中半径为的一个球面球的两极点处分别设置点电荷和试计算球赤道平面上电通密度的通量(如题图所示)。解由点电荷和共同产生的电通密度为则球赤道平面上电通密度的通量年卢瑟福在实验中使用的是半径为的球体原子模型其球体内均匀分布有总电荷量为的电子云在球心有一正电荷(是原子序数是质子电荷量)通过实验得到球体内的电通量密度表达式为试证明之。解位于球心的正电荷球体内产生的电通量密度为原子内电子云的电荷体密度为电子云在原子内产生的电通量密度则为故原子内总的电通量密度为电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中体密度为,两圆柱面半径分别为和轴线相距为如题图所示。求空间各部分的电场。解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布不能直接用高斯定律求解。但可把半径为的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为的两种电荷分布这样在半径为的整个圆柱体内具有体密度为的均匀电荷分布而在半径为的整个圆柱体内则具有体密度为的均匀电荷分布如题图所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在区域中由高斯定律可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为点处总的电场为在且区域中同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为点处总的电场为在的空腔区域中大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为点处总的电场为半径为的球中充满密度的体电荷已知电位移分布为其中为常数试求电荷密度。解:由有故在区域在区域一个半径为薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜球内充满总电荷量为为的体电荷球壳上又另充有电荷量。已知球内部的电场为设球内介质为真空。计算:()球内的电荷分布()球壳外表面的电荷面密度。解()由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为()球体内的总电量为球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷而且在球壳外表面上还要感应电荷所以球壳外表面上的总电荷为故球壳外表面上的电荷面密度为两个无限长的同轴圆柱半径分别为和圆柱表面分别带有密度为和的面电荷。()计算各处的电位移()欲使区域内则和应具有什么关系?解()由高斯定理当时有当时有则当时有则()令则得到计算在电场强度的电场中把带电量为的点电荷从点移到点时电场所做的功:()沿曲线()沿连接该两点的直线。解()()连接点到点直线方程为即故长度为的细导线带有均匀电荷其电荷线密度为。()计算线电荷平分面上任意点的电位()利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场并用核对。解()建立如题图所示坐标系。根据电位的积分表达式线电荷平分面上任意点的电位为()根据对称性可得两个对称线电荷元在点的电场为故长为的线电荷在点的电场为由求有已知无限长均匀线电荷的电场试用定义式求其电位函数。其中为电位参考点。解由于是无限长的线电荷不能将选为无穷远点。一点电荷位于另一点电荷位于求空间的零电位面。解两个点电荷和在空间产生的电位令则有即故得由此可见零电位面是一个以点为球心、为半径的球面。证明习题的电位表达式为解位于球心的正电荷在原子外产生的电通量密度为电子云在原子外产生的电通量密度则为所以原子外的电场为零。故原子内电位为电场中有一半径为的圆柱体已知柱内外的电位函数分别为()求圆柱内、外的电场强度()这个圆柱是什么材料制成的?表面有电荷分布吗?试求之。解()由可得到时时()该圆柱体为等位体所以是由导体制成的其表面有电荷分布电荷面密度为验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足()其中()圆柱坐标()圆柱坐标()球坐标()球坐标。解()在直角坐标系中而故()在圆柱坐标系中而故()故()在球坐标系中而故()故已知的空间中没有电荷下列几个函数中哪些是可能的电位的解()()()()。解()所以函数不是空间中的电位的解()所以函数是空间中可能的电位的解()所以函数不是空间中的电位的解()所以函数不是空间中的电位的解。中心位于原点边长为的电介质立方体的极化强度矢量为。()计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度()证明总的束缚电荷为零。解()同理()一半径为的介质球介电常数为其内均匀分布自由电荷证明中心点的电位为解由可得到时即时即故中心点的电位为一个半径为的介质球介电常数为球内的极化强度其中为一常数。()计算束缚电荷体密度和面密度()计算自由电荷密度()计算球内、外的电场和电位分布。解()介质球内的束缚电荷体密度为在的球面上束缚电荷面密度为()由于所以即由此可得到介质球内的自由电荷体密度为总的自由电荷量()介质球内、外的电场强度分别为介质球内、外的电位分别为()证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度()导出束缚电荷密度的表达式。解()由得束缚电荷体密度为在介质内没有自由电荷密度时则有由于有所以由此可见当电介质不均匀时可能不为零故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。()束缚电荷密度的表达式为两种电介质的相对介电常数分别为=和=其分界面为=平面。如果已知介质中的电场的那么对于介质中的和我们可得到什么结果?能否求出介质中任意点的和?解设在介质中在处由和可得于是得到故得到介质中的和在处的表达式分别为不能求出介质中任意点的和。由于是非均匀场介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。电场中一半径为、介电常数为的介质球已知球内、外的电位函数分别为验证球表面的边界条件并计算球表面的束缚电荷密度。解在球表面上故有可见和满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为平行板电容器的长、宽分别为和极板间距离为。电容器的一半厚度()用介电常数为的电介质填充如题图所示。()​ () 板上外加电压求板上的自由电荷面密度、束缚电荷()​ () 若已知板上的自由电荷总量为求此时极板间电压和束缚电荷()​ () 求电容器的电容量。解()设介质中的电场为空气中的电场为。由有又由于由以上两式解得故下极板的自由电荷面密度为上极板的自由电荷面密度为电介质中的极化强度故下表面上的束缚电荷面密度为上表面上的束缚电荷面密度为()由得到故()电容器的电容为厚度为、介电常数为的无限大介质板放置于均匀电场中板与成角如题图所示。求:()使的值()介质板两表面的极化电荷密度。解()根据静电场的边界条件在介质板的表面上有由此得到()设介质板中的电场为根据分界面上的边界条件有即所以介质板左表面的束缚电荷面密度介质板右表面的束缚电荷面密度在介电常数为的无限大均匀介质中开有如下的空腔求各腔中的和:()平行于的针形空腔()底面垂直于的薄盘形空腔()小球形空腔(见第四章题)。解()对于平行于的针形空腔根据边界条件在空腔的侧面上有。故在针形空腔中()对于底面垂直于的薄盘形空腔根据边界条件在空腔的底面上有。故在薄盘形空腔中在面积为的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质从一极板处的一直变化到另一极板处的试求电容量。解由题意可知介质的介电常数为设平行板电容器的极板上带电量分别为由高斯定理可得所以两极板的电位差故电容量为一体密度为的质子束束内的电荷均匀分布束直径为束外没有电荷分布试计算质子束内部和外部的径向电场强度。解在质子束内部由高斯定理可得故在质子束外部有故考虑一块电导率不为零的电介质设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流时体积内将出现自由电荷体密度为。试问有没有束缚体电荷?若有则进一步求出。解对于恒定电流有故得到介质中有束缚体电荷且填充有两层介质的同轴电缆内导体半径为外导体内半径为介质的分界面半径为。两层介质的介电常数为和电导率为和。设内导体的电压为外导体接地。求:()两导体之间的电流密度和电场强度分布()介质分界面上的自由电荷面密度()同轴线单位长度的电容及漏电阻。解()设同轴电缆中单位长度的径向电流为则由可得电流密度介质中的电场由于于是得到故两种介质中的电流密度和电场强度分别为()由可得介质内表面的电荷面密度为介质外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为()同轴线单位长度的漏电阻为由静电比拟可得同轴线单位长度的电容为半径为和的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为、电导率为的导电媒质(为常数)。若内导体球面的电位为外导体球面接地。试求:()媒质中的电荷分布()两个理想导体球面间的电阻。解设由内导体流向外导体的电流为由于电流密度成球对称分布所以电场强度由两导体间的电压可得到所以媒质中的电荷体密度为媒质内、外表面上的电荷面密度分别为()两理想导体球面间的电阻电导率为的无界均匀电介质内有两个半径分别为和的理想导体小球两球之间的距离为试求两小导体球面间的电阻。解此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷和由于两球间的距离、可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷和的电位叠加求出两小球表面的电位差即可求得两小导体球面间的电容再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。设两小球分别带电荷和由于、可得到两小球表面的电位为所以两小导体球面间的电容为由静电比拟得到两小导体球面间的电导为故两个小导体球面间的电阻为在一块厚度的导电板上由两个半径为和的圆弧和夹角为的两半径割出的一块扇形体如题图所示。求:()沿厚度方向的电阻()两圆弧面之间的电阻沿方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为。解()设沿厚度方向的两电极的电压为则有故得到沿厚度方向的电阻为()设内外两圆弧面电极之间的电流为则故得到两圆弧面之间的电阻为()设沿方向的两电极的电压为则有由于与无关所以得到故得到沿方向的电阻为圆柱形电容器外导体内半径为内导体半径为。当外加电压固定时在一定的条件下求使电容器中的最大电场强度取极小值的内导体半径的值和这个的值。解设内导体单位长度带电荷为由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为由内外导体间的电压得到由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式在圆柱形电容器中处的电场强度最大令对的导数为零即由此得到故有证明:同轴线单位长度的静电储能等于。为单位长度上的电荷量为单位长度上的电容。解由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为内外导体间的电压为则同轴线单位长度的电容为同轴线单位长度的静电储能为如题图所示一半径为、带电量的导体球其球心位于两种介质的分界面上此两种介质的电容率分别为和分界面为无限大平面。求:()导体球的电容()总的静电能量。解()由于电场沿径向分布根据边界条件在两种介质的分界面上故有。由于、所以。由高斯定理得到即所以导体球的电位故导体球的电容()总的静电能量为把一带电量、半径为的导体球切成两半求两半球之间的电场力。解先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力然后在半球面上对积分求出两半球之间的电场力。导体球的电容为故静电能量为根据虚位移法导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力方向沿导体球表面的外法向即这里在半球面上对积分即得到两半球之间的静电力为如题图所示两平行的金属板板间距离为竖直地插入在电容率为的液体中两板间加电压证明液面升高其中为液体的质量密度。解设金属板的宽度为、高度为。当金属板间的液面升高为时其电容为金属板间的静电能量为液体受到竖直向上的静电力为而液体所受重力与相平衡即故得到液面上升的高度可变空气电容器当动片由至电容量由至直线地变化当动片为角时求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为。解当动片为角时电容器的电容为此时电容器中的静电能量为作用于动片上的力矩为平行板电容器的电容是其中是板的面积为间距忽略边缘效应。()如果把一块厚度为的不带电金属插入两极板之间但不与两极接触如题图所示。则在原电容器电压一定的条件下电容器的能量如何变化?电容量如何变化?()如果在电荷一定的条件下将一块横截面为、介电常数为的电介质片插入电容器(与电容器极板面积基本上垂直地插入如题图所示则电容器的能量如何变化?电容量又如何变化?解()在电压一定的条件下未插入金属板前极板间的电场为电容为静电能量为当插入金属板后电容器中的电场为此时静电能量和电容分别为故电容器的电容及能量的改变量分别为()在电荷一定的条件下未插入电介质板前极板间的电场为静电能量为当插入电介质板后由介质分界面上的边界条件有再由高斯定理可得于是得到极板间的电场为两极板间的电位差位此时的静电能量为其电容为故电容器的电容及能量的改变量分别为如果不引入电位函数静电问题也可以通过直接求解法求解的微分方程而得解决。()证明:有源区的微分方程为()证明:的解是解()由可得即又故得到()在直角坐标系中的三个分量方程为其解分别为故证明:解由于所以由题()可知故第四章习题解答如题图所示为一长方形截面的导体槽槽可视为无限长其上有一块与槽相绝缘的盖板槽的电位为零上边盖板的电位为求槽内的电位函数。解根据题意电位满足的边界条件为①②③根据条件①和②电位的通解应取为由条件③有两边同乘以并从到对积分得到故得到槽内的电位分布两平行无限大导体平面距离为其间有一极薄的导体片由到。上板和薄片保持电位下板保持零电位求板间电位的解。设在薄片平面上从到电位线性变化。解应用叠加原理设板间的电位为其中为不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为)的电位即是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位其边界条件为:①②③根据条件①和②可设的通解为由条件③有两边同乘以并从到对积分得到故得到求在上题的解中除开一项外其他所有项对电场总储能的贡献。并按定出边缘电容。解在导体板()上相应于的电荷面密度则导体板上(沿方向单位长)相应的总电荷相应的电场储能为其边缘电容为如题图所示的导体槽底面保持电位其余两面电位为零求槽内的电位的解。解根据题意电位满足的边界条件为①②③根据条件①和②电位的通解应取为由条件③有两边同乘以并从到对积分得到故得到槽内的电位分布为一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位体积内填充密度为的电荷。求体积内的电位。解在体积内电位满足泊松方程()长方体表面上电位满足边界条件。由此设电位的通解为代入泊松方程()可得由此可得或()由式()可得故如题图所示的一对无限大接地平行导体板板间有一与轴平行的线电荷其位置为。求板间的电位函数。解由于在处有一与轴平行的线电荷以为界将场空间分割为和两个区域则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。电位的边界条件为①②③由条件①和②可设电位函数的通解为由条件③有()()由式()可得()将式()两边同乘以并从到对积分有()由式()和()解得故如题图所示的矩形导体槽的电位为零槽中有一与槽平行的线电荷。求槽内的电位函数。解由于在处有一与轴平行的线电荷以为界将场空间分割为和两个区域则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上可利用函数将线电荷表示成电荷面密度电位的边界条件为①②③由条件①和②可设电位函数的通解为由条件③有()()由式()可得()将式()两边同乘以并从到对积分有()由式()和()解得故若以为界将场空间分割为和两个区域则可类似地得到如题图所示在均匀电场中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱圆柱的半径为。求导体圆柱外的电位和电场以及导体表面的感应电荷密度。解在外电场作用下导体表面产生感应电荷圆柱外的电位是外电场的电位与感应电荷的电位的叠加。由于导体圆柱为无限长所以电位与变量无关。在圆柱面坐标系中外电场的电位为(常数的值由参考点确定)而感应电荷的电位应与一样按变化而且在无限远处为。由于导体是等位体所以满足的边界条件为①②由此可设由条件①有于是得到故圆柱外的电位为若选择导体圆柱表面为电位参考点即则。导体圆柱外的电场则为导体圆柱表面的电荷面密度为在介电常数为的无限大的介质中沿轴方向开一个半径为的圆柱形空腔。沿轴方向外加一均匀电场求空腔内和空腔外的电位函数。解在电场的作用下介质产生极化空腔表面形成极化电荷空腔内、外的电场为外加电场与极化电荷的电场的叠加。外电场的电位为而感应电荷的电位应与一样按变化则空腔内、外的电位分别为和的边界条件为①时②时为有限值③时由条件①和②可设带入条件③有由此解得所以一个半径为、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面如题图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地第一象限和第三象限分别保持电位和。求圆柱面内部的电位函数。解由题意可知圆柱面内部的电位函数满足边界条件为①为有限值②由条件①可知圆柱面内部的电位函数的通解为代入条件②有由此得到故如题图所示一无限长介质圆柱的半径为、介电常数为在距离轴线处有一与圆柱平行的线电荷计算空间各部分的电位。解在线电荷作用下介质圆柱产生极化介质圆柱内外的电位均为线电荷的电位与极化电荷的电位的叠加即。线电荷的电位为()而极化电荷的电位满足拉普拉斯方程且是的偶函数。介质圆柱内外的电位和满足的边界条件为分别为①为有限值②③时由条件①和②可知和的通解为()()将式()~()带入条件③可得到()()当时将展开为级数有()带入式()得()由式()和()有由此解得故得到圆柱内、外的电位分别为()()讨论:利用式()可将式()和()中得第二项分别写成为其中。因此可将和分别写成为由所得结果可知介质圆柱内的电位与位于()的线电荷的电位相同而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生它们分别为:位于()的线电荷位于的线电荷位于的线电荷。将上题的介质圆柱改为导体圆柱重新计算。解导体圆柱内的电位为常数导体圆柱外的电位均为线电荷的电位与感应电荷的电位的叠加即。线电荷的电位为()而感应电荷的电位满足拉普拉斯方程且是的偶函数。满足的边界条件为①②。由于电位分布是的偶函数并由条件①可知的通解为()将式()和()带入条件②可得到()将展开为级数有()带入式()得()由此可得故导体圆柱外的电为()讨论:利用式()可将式()中的第二项写成为其中。因此可将写成为由此可见导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生它们分别为:位于()的线电荷位于的线电荷位于的线电荷。在均匀外电场中放入半径为的导体球设()导体充电至()导体上充有电荷。试分别计算两种情况下球外的电位分布。解()这里导体充电至应理解为未加外电场时导体球相对于无限远处的电位为此时导体球面上的电荷密度总电荷。将导体球放入均匀外电场中后在的作用下产生感应电荷使球面上的电荷密度发生变化但总电荷仍保持不变导体球仍为等位体。设其中是均匀外电场的电位是导体球上的电荷产生的电位。电位满足的边界条件为①时②时其中为常数若适当选择的参考点可使。由条件①可设代入条件②可得到若使可得到()导体上充电荷时令有利用()的结果得到如题图所示无限大的介质中外加均匀电场在介质中有一个半径为的球形空腔。求空腔内、外的电场和空腔表面的极化电荷密度(介质的介电常数为)。解在电场的作用下介质产生极化空腔表面形成极化电荷空腔内、外的电场为外加电场与极化电荷的电场的叠加。设空腔内、外的电位分别为和则边界条件为①时②时为有限值③时由条件①和②可设带入条件③有由此解得所以空腔内、外的电场为空腔表面的极化电荷面密度为如题图所示空心导体球壳的内、外半径分别为和球的中心放置一个电偶极子球壳上的电荷量为。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。解导体球壳将空间分割为内外两个区域电偶极子在球壳内表面上引起感应电荷分布但内表面上的感应电荷总量为零因此球壳外表面上电荷总量为且均匀分布在外表面上。球壳外的场可由高斯定理求得为外表面上的电荷面密度为设球内的电位为其中是电偶极子的电位是球壳内表面上的感应电荷的电位。满足的边界条件为①为有限值②即所以由条件①可知的通解为由条件②有比较两端的系数得到最后得到球壳内表面上的感应电荷面密度为感应电荷的总量为欲在一个半径为的球上绕线圈使在球内产生均匀场问线圈应如何绕(即求绕线的密度)?解设球内的均匀场为球外的场为如题图所示。根据边界条件球面上的电流面密度为若令则得到球面上的电流面密度为这表明球面上的绕线密度正比于则将在球内产生均匀场。一个半径为的介质球带有均匀极化强度。()证明:球内的电场是均匀的等于()证明:球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同。解()当介质极化后在介质中会形成极化电荷分布本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化介质球体内不存在极化电荷仅在介质球面上有极化电荷面密度球内、外的电位满足拉普拉斯方程可用分离变量法求解。建立如题图所示的坐标系则介质球面上的极化电荷面密度为介质球内、外的电位和满足的边界条件为①为有限值②③因此可设球内、外电位的通解为由条件③有解得于是得到球内的电位故球内的电场为()介质球外的电位为其中为介质球的体积。故介质球外的电场为可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同。半径为的接地导体球离球心处放置一个点电荷如题图所示。用分离变量法求电位分布。解球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开即可由边界条件确定通解中的系数。设其中是点电荷的电位是导体球上感应电荷产生的电位。电位满足的边界条件为①时②时。由条件①可得的通解为为了确定系数利用的球坐标展开式将在球面上展开为代入条件②有比较的系数得到故得到球外的电位为讨论:将的第二项与的球坐标展开式比较可得到由此可见的第二项是位于的一个点电荷所产生的电位此电荷正是球面上感应电荷的等效电荷即像电荷。一根密度为、长为的线电荷沿轴放置中心在原点上。证明:对于的点有解线电荷产生的电位为对于的点有故得到一个半径为的细导线圆环环与平面重合中心在原点上环上总电荷量为如题图所示。证明:空间任意点电位为解以细导线圆环所在的球面把场区分为两部分分别写出两个场域的通解并利用函数将细导线圆环上的线电荷表示成球面上的电荷面密度再根据边界条件确定系数。设球面内、外的电位分别为和则边界条件为:①为有限值②③根据条件①和②可得和的通解为()()代入条件③有()()将式()两端同乘以并从到对进行积分得()其中由式()和()解得代入式()和()即得到一个点电荷与无限大导体平面距离为如果把它移到无穷远处需要作多少功?解利用镜像法求解。当点电荷移动到距离导体平面为的点处时其像电荷与导体平面相距为如题图所示。像电荷在点处产生的电场为所以将点电荷移到无穷远处时电场所作的功为外力所作的功为如题图所示一个点电荷放在的接地导体角域内的点处。求:()所有镜像电荷的位置和大小()点处的电位。解()这是一个多重镜像的问题共有个像电荷分布在以点电荷到角域顶点的距离为半径的圆周上并且关于导体平面对称其电荷量的大小等于且正负电荷交错分布其大小和位置分别为()点处电位一个电荷量为、质量为的小带电体放置在无限大导体平面下方与平面相距为。求的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡(设)。解将小带电体视为点电荷导体平面上的感应电荷对的静电力等于镜像电荷对的作用力。根据镜像法可知镜像电荷为位于导体平面上方为处则小带电体受到的静电力为令的大小与重力相等即于是得到如题()图所示在的下半空间是介电常数为的介质上半空间为空气距离介质平面距为处有一点电荷求:()和的两个半空间内的电位()介质表面上的极化电荷密度并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷。解()在点电荷的电场作用下介质分界面上出现极化电荷利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知镜像电荷分布为(如题图()、()所示)位于位于上半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生即下半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生即()由于分界面上无自由电荷分布故极化电荷面密度为极化电荷总电量为一个半径为的导体球带有电荷量为在球体外距离球心为处有一个点电荷。()求点电荷与导体球之间的静电力()证明:当与同号且成立时表现为吸引力。解()导体球上除带有电荷量之外点电荷还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法像电荷和的大小和位置分别为(如题图所示)导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效。故点电荷受到的静电力为()当与同号且表现为吸引力即时则应有由此可得出两个点电荷和在一个半径为的导体球直径的延长线上分别位于导体球的两侧且距球心为。()证明:镜像电荷构成一个电偶极子位于球心电偶极矩为()令和分别趋于无穷同时保持不变计算球外的电场。解()点电荷和都要在球面上引起等量异号的感应电荷可分别按照点电荷与不接地导体球面的镜像确定其等效的像电荷。根据镜像法点电荷的像电荷为位于:位于:而点电荷的像电荷为位于:位于:如题图所示。由此可见像电荷和等值异号且同时位于球心故球心处总的像电荷为零而像电荷和也等值异号且位置关于球心对称故构成位于球心的电偶极子其电偶极矩为()球外的电位由和以及像电荷和共同产生即当和分别趋于无穷同时保持不变时有球外的电场为一根与地面平行架设的圆截面导线半径为悬挂高度为。证明:单位长度上圆柱导线与地面间的电容为。解地面的影响可用一个像圆柱来等效。设导线单位长度带电荷为则像圆柱单位长度带电荷为。根据电轴法电荷和可用位于电轴上的线电荷来等效替代如题图所示。等效线电荷对导体轴线的偏移为则导线与地间的电位差为故单位长度上圆柱导线与地面间的电容为在上题中设导线与地面间的电压为。证明:地面对导线单位长度的作用力。解导线单位长度上的电场能量为由虚位移法得到地面对导线单位长度的作用力为第五章习题解答真空中直线长电流的磁场中有一等边三角形回路如题图所示求三角形回路内的磁通。解根据安培环路定理得到长直导线的电流产生的磁场穿过三角形回路面积的磁通为由题图可知故得到通过电流密度为的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔如题图所示。计算各部分的磁感应强度并证明腔内的磁场是均匀的。解将空腔中视为同时存在和的两种电流密度这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布:一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内另一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内。由安培环路定律分别求出两个均匀分布电流的磁场然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。由安培环路定律可得到电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为这里和分别是点和到场点的位置矢量。将和叠加可得到空间各区域的磁场为圆柱外:圆柱内的空腔外:空腔内:式中是点和到点的位置矢量。由此可见空腔内的磁场是均匀的。下面的矢量函数中哪些可能是磁场?如果是求其源变量。()(圆柱坐标)()()()(球坐标系)解根据恒定磁场的基本性质满足的矢量函数才可能是磁场的场矢量否则不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量则可由求出源分布。()在圆柱坐标中该矢量不是磁场的场矢量。()该矢量是磁场的矢量其源分布为()该矢量是磁场的场矢量其源分布为()在球坐标系中该矢量是磁场的场矢量其源分布为由矢量位的表示式证明磁感应强度的积分公式并证明解:有一电流分布求矢量位和磁感应强度。解由于电流只有分量且仅为的函数故也只有分量且仅为的函数即。在圆柱坐标系中由满足的一维微分方程和边界条件即可求解出然后由可求出。记和的矢量位分别为和。由于在时电流为零所以()()由此可解得和满足的边界条件为①时为有限值②时由条件①、②有由此可解得故()()式中常数由参考点确定若令时则有。空间的磁感应强度为()()如题图所示边长分别为和、载有电流的小矩形回路。()求远处的任一点的矢量位并证明它可以写成。其中()由求磁感应强度并证明可以写成式中场点对小电流回路所张的立体角。解()电流回路的矢量位为式中:根据矢量积分公式有而所以对于远区场所以故()由于故又由于故半径为磁介质球具有磁化强度为其中和为常数求磁化电流和等效磁荷。解磁介质球内的磁化电流体密度为等效磁荷体密度为磁介质球表面的磁化电流面密度为等效磁荷面密度为如题所示图无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面试求:()两种磁介质中的磁感应强度和()磁化电流分布。解()由安培环路定理可得所以得到()磁介质在的磁化强度则磁化电流体密度在处具有奇异性所以在磁介质中处存在磁化线电流。以轴为中心、为半径作一个圆形回路由安培环路定理有故得到在磁介质的表面上磁化电流面密度为已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为若此平面电流回路位于磁导率分别为和的两种均匀磁介质的分界平面上试求两种磁介质中的磁场强度和。解由于是平面电流回路当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时分界面上的磁场只有法向分量根据边界条件有。在分界面两侧作一个小矩形回路分别就真空和存在介质两种不同情况应用安培环路定律即可导出、与的关系。在分界面两侧作一个尺寸为的小矩形回路如题图所示。根据安培环路定律有()因垂直于分界面所以积分式中。这里为与小矩形回路交链的电流。对平面电流回路两侧为真空的情况则有()由于和是分界面上任意两点由式()和()可得到即于是得到故有证明:在不同介质分界面上矢量位的切向分量是连续的。解由得()在媒质分界面上任取一点围绕点任作一个跨越分界面的狭小矩形回路其长为、宽为如题图所示。将式()应用于回路上并令趋于零得到由于为有限值上式右端等于零所以由于矢量平行于分界面故有一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场中并使它们的轴与平行(铁的磁导率为)。求两样品内的和若已知、求两样品内的磁化强度。解对于极细的圆铁杆样品根据边界条件有对于很薄的圆铁盘样品根据边界条件有.如题图所示一环形螺线管的平均半径cm其圆形截面的半径cm鉄芯的相对磁导率环上绕匝线圈通过电流。()计算螺旋管的电感()在鉄芯上开一个的空气隙再计算电感。(假设开口后鉄芯的不变)()求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。解()由于可认为圆形截面上的磁场是均匀的且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律可得螺旋管内的磁场为与螺线管铰链的磁链为故螺线管的电感为()当铁芯上开有小空气隙时由于可隙很小可忽略边缘效应则在空气隙与鉄芯的分界面上磁场只有法向分量。根据边界条件有但空气隙中的磁场强度与铁芯中的磁场强度不同。根据安培环路定律有又由于、及于是可得所以螺线管得磁链为故螺线管得电感为()空气隙中的磁场能量为鉄芯中的磁场能量为故证明:单匝线圈励磁下磁路的自感量为为磁路的磁阻故激励下电感量为。磁路中单匝激励下的磁场储能则激励下的。解在单匝线圈励磁下设线圈中的电流为有。则在激励下磁路的磁通为故电感量为在单匝线圈励磁下。在激励下磁路的磁能为如题图所示两个长的矩形线圈放置在同一平面上长度分别为和宽度分别为和两线圈最近的边相距为两线圈中分别载有电流和。设>>且两线圈都只有一匝略去端部效应。证明:两线圈的互感是解由于>>因此可近似认为线圈①中的电流在线圈②的回路中产生的磁场与两根无限长的平行直线电流产生的磁场相同。线圈①中的电流在线圈②的回路中产生的磁场为与线圈②交链的磁通为故两线圈间的互感为

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  • 轨迹 我都不想骂你...s.b 是第三版的

    2012-02-11 21:00:15

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电磁场与电磁波(第四版)课后答案谢处方

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