第四章 矩阵 第四章 矩阵 1.设1） ， 2） ， 计算 ， 。 解 1） ， 2） ， 其中 ， ， ， ， ， ， 2.计算 ， ， 解 。 。 采用数学归纳法，可证 。 事实上，当 时，有 ， 结论成立。 当 时，归纳假设结论成立，即 于是当 时，有 ， 即证 成立。 4）采用数学归纳法，可证 ， 事实上，当 时，有 ， 结论成立。 当 时，归纳假设结论成立，即 ， 于是当 时，有 ， 其中 ， 同理可得 ， ， ， 因而有 。 5） ， 。 6） 。 7）注意到 ， 这意味着，若令 ， 则 .下面对 分两种情形讨论 ① 为偶数，即 ，于是 ， ② 为奇数，即 ，于是 ， 故 。 8）采用数学归纳法，可证 ， 事实上，当 时，结论显然成立，现在归纳假设 ， 于是 ， ， 即证结论成立。 3.设 ， 是一个 矩阵，定义 。 1） ， ； 2） ， ， 试求 。 解 1） 。 2） 。 4.如果 ，矩阵 就称为 与可交换，设 1） 2） 3） 求所有与 可交换的矩阵。 解 1）若记 ，并设 与 可交换，即 ， 于是 ， 所以 ， 故 任意，从而所有与 可交换的矩阵为 ，其中 为任意常数。 2）同理，记 并设 与 可交换，即 于是 ， 所以 ， 比较对应的 元，可得 ， ， ， ， ， ， 于是所有与 可交换的矩阵为 ， 其中 为任意常数。 3）设 与 可交换，即 ， 于是 ， 故得 , , 。 所以所有与 可交换的矩阵为 ， 其中 为任意常数。 5.设 其中 （当 时）（ ），证明：与 可交换的矩阵只能是对角矩阵。 证 设 与 可交换，于是由 ， 有 ， 即 （当 时）.有因为 ，所以 。于是，与 可交换的矩阵 只能是对角矩阵 。 6.设 ， 其中 （当 时）（ ）， 是 阶单位矩阵，证明：与 可交换的矩阵只能是准对角矩阵 ， 其中 是 阶矩阵（ ）。 证 设 与 可交换（其中 是 阶矩阵），则由 ，可得 当 时，由 及 ，因而必有 。 于是，与 可交换的矩阵 只能是准对角矩阵 ， 其中 是 阶矩阵（ ）。 7.用
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示 行 列的元素（即 元）为1，而其余元素全为零的 矩阵，而 ．证明： 1）如果 ，那么当 时 ，当 时 ； 2）如果 ，那么当 时 ，当 时 ，且 ； 3）如果 与所有的 阶矩阵可交换，那么 一定是数量矩阵，即 。 证 1）因为 ， 所以 ， 。 即当 时 ，当 时 。 2）因为 列 行 所以当 时 ，当 时 且 。 3） 与任何矩阵相乘可交换，必与 相乘可交换，于是由 得 （ ）， 因此 是数量矩阵。 8.如果 ，证明： 。 证 ， 。 9.如果 ，证明： 当且仅当 。 证 充分性.若 ，因为 ，所以 。 必要性.若 ，则 ，即 ，即证 。 10.矩阵称 为对称的，如果 .证明：如果 是实对称矩阵，且 ，那么 。 证 设 ， 则 。 由 有 ， 因而必有 ， 即证。 11.设 都是 对称矩阵，证明： 也对称当且仅当 可交换。 证 当 时，有 ， 所以 是对称矩阵。 反之，当 时，有 。 12.矩阵 称为反对称的，如果 ，证明：任一 矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。 证 设 是任一 矩阵，因为 ， 且 是对称矩阵， 是反对称矩阵，所以结论成立。 13.设 .证明： 证 由
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
设知 。 14.设 是 矩阵，证明：存在一个 非零矩阵 使 的充分必要条件是 。 证 充分性.若 ，则齐次方程组 有非零解 ， 只要取 即可。 必要性.设 ，使 ，这里 是 的列向量。不失一般性，设 ，则由 ，得 。 因此， ，即 有非零解，从而 。 15.设 是 矩阵，如果对任一 维向量 都有 ，那么 。 证 证法1 由题设知， 维向量空间中的所有向量都是齐次线性方程组 的解，故方程组的基础解系含有 个线性无关的解向量，所以 ，即证 。 16设 为一 矩阵， 为 矩阵，且 .证明： 1） 如果 ，那么 ； 1） 如果 ，那么 。 证 1）若 ，设 ， ，因 ，不失一般性，可设 。 由 ，得 因为该齐次方程组的系数行列式不等于零，故它只有惟一零解，即 ， 因而 。 2） 若 ，则 ， 由1）知 ，因此 。 17.证明： 。 证 设 ， ，则 。 若 与 分别是 与 的列向量组的极大线性无关组，则有 于是 ， 即 的列向量组可由 线性表出，故 。 18.设 为 矩阵，证明：如果 ，那么 。 证 设 的列向量组为 ，则 ， 故有 。 即方程组 有 组解 。 若 ，则 可由 个线性无关的解向量线性表出，于是 。因此 。 19.证明：如果 ，那么 。 证 。 即证 。 20.求 ，设 ， 解 1） 。 2）对 作行初等变换，有 ， 所以 。 3）对 作行初等变换，可得 ， 所以 。 4）对 作行初等变换，可得 ， 所以 。 5）对 作行初等变换，有 ， 所以 。 6）对 作行初等变换，有 ， 所以 。 7）因为 ，所以 。 8）对 作行初等变换，有 。 9）因为 且 ，所以 。 10）因为 ， 所以 。 21.设 ， 已知 存在，求 。 解 设 ，则 。 因此 ， 左乘 ，得 ， ， 又由于 ， ， 左乘 得 ， ， 故 。 22.设 ， 其中 ，求 。 解 记 ，其中 则 。 而 ， 故 。 23.求矩阵 ，设 ， ， ， 。 解 1） 。 2） 。 3） 。 4） 。 24.证明：1）如果 可逆对称（反对称），那么 也对称（反对称）；2）不存在奇数阶的可逆反对称矩阵。 证 1)若 ，则 。 2）由 ，知 ， 所以当 为奇数时，有 ， 故 不可逆。 25.矩阵 称为上（下）三角矩阵，如果当 时有 。证明： 1）两个上（下）三角形矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵； 2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。 证 1）设 ， ， 假定 ， 其中 ， 当 时 ，显然 中各项均有因子为零，故 ，所以 是上三角矩阵。 对于 是下三角阵情形同法可证。 2）令 ，设 是 的逆，即 ，比较 和 的第一列元素，有 ， 因为 ，故 ，因而得 。 同理可得：当 时 ，因而 是上三角阵。 是下三角阵的情形同理可证。 26.证明： ，其中 是 矩阵 。 证 因为 ， ，所以当 时有 。 当 时ⅰ) ,有 ，于是 。 ⅱ） ，由于 ，于是 有非零解，故 ，于是 ，所以此时也有， ，即证。 27.证明：如果 是 矩阵 ，那么 证 当 时，故 ，所以 。 当 时， 至少有一个 阶子式不为0，所以 。 另一方面，由 ，有 。 于是 ， 所以， .故 。 当 时， 的一切 阶子式全为0，所以，因而 ，即证。
浙公网安备 33021202002483