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偏应力张量第二及第三不变量在塑性加工中的作用

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(如强度理论)起重要作用。对于塑性成形而言，主要是研究变形区域内的变形状态，即一点在变形过程中何时处于弹性状态、初始屈服状态及加工硬化状态，以及塑性变形区内一点的应变状态，即拉伸类、压缩类和平面变形类。然而，塑性变形的发生发展，即变形后果，主要是由偏应力张量不变量所决定，因此，研究偏应力张量不变量对塑性成形的影响有助于从深层次理解其物理意义。本文讨论了J z对物体弹性或塑性变形状态的影响，以及J。与变形类型的关系，并借助有限元软件 ADINA对圆环压缩和环壳胀形工艺进行了分析。 1 偏应力张量不变量的表达式E卜 ] 在弹塑性力学中，通常将应力张量分为两部分， *国家自然科学基金资助项目 (50435010)。王仲仁 E-mail：zrwang@mail．hrb．h1．cninfo．net 作者简介：王仲仁，男，1934年生，江苏省阜宁县人，哈尔滨工业大学，教授，博士生导师，国际塑性加工学会常务理事，主要研究液压胀形、大型容器成形及工程塑性理论收稿日期：2006 01 12 一部分为球应力张量或静水应力张量；另一部分为偏应力张量。于是有 I r r I 一 l r r l=== + l r r掣。l (1) 如==={；： )， === 1 c + +靠，式中 ——主应力分量的平均值或静液压力 — — Kronecker符号通过推导可以得出偏应力张量 “的不变量为 Jl一 5 ：=：S11+S22+S33= 0 (2) Jz一 1 s 一 1(s}+s!+s；)= 丢[( l一 2)。+(a2一 )。+( 3一 1) ] (3) n 】3一一式中 S ，Sz，S3——偏应力张量的分量 2 偏应力张量第二不变量与物体内一点变形状态的关系如图1所示，对于空间内任意一点 P的偏应力张量部分矢量NP的大小可用r来表示，尺表示产生屈服时的偏应力张量长度的大小。当rR时则P点位于 Mises屈服圆柱外，这时处于加工强化阶段。图中r和R分别为 J 2 塑性工程学报第 13卷一 √2】2 R一、| Y V 图1 在主应力空间中的Mises屈服准则 Fig．1 The Mises yield criterion in the principal stress space (5) (6) 令一r／R二== ／Y，其中Y为流动应力，且 y0为初始屈服应力。由的数值可以判断变形区中任一点所处的状态，如表 1所示。表 1 偏应力张量第二不变量与变形状态之间的关系 Tab．1 The relationship between the strain state and．，2 J9值 Jz值变形状态，蠕 5<1 J 2‘、弹性一 1 J 2一初始屈服，无加工硬化的热成形 5>1 J > 有加工硬化的冷成形 3 偏应力张量第三不变量与物体内一点应变类型的关系设物体内一点 3个主应力 0- > > ，则可得偏应力张量 Sd的第一和第三分量为。 SI一 1一 > 0 (7) 3— 0-a一 0-m< 0 (8) 而偏应力张量第二分量Sz可能出现3种情况，即 > 2— 0-2—0-m一0 (9) < 由Levy-Mises方程可得：== 一垫一da (10) 式中 d￡，d￡，d￡。——与偏应力所对应的应变增量 — — 恒为正的瞬时常数于是总有 d￡ 2>0，d￡。<0。当 d￡z<0时，构成的变形类型为 “拉伸类”；当d￡。一0时，构成的变形类型为 “平面变形类”；当d￡zi>0时，构成的变形类型为 “压缩类”。由式 (9)和式 (10)可得当 S2=0时，de2=0。又因为 J 3==Sl 2 3，于是当 -，3=0 < < < < < 时，对应于 S2=0及如2=0。因此可得 -，。与变形类 > > 型之间的关系如表 2所示。表 2 偏应力张量第三不变量与变形类型之间的关系 Tab．2 The relationship between J 3 and deformation type J3 J3d0 J3一O J3>0 dE2=1) ▲del 变形 2 压缩类平面变形类类型特征应 l dE。l dE dE =l dE3l-_dE dE】 dE 变增量 dE2>O dE2=0 dE2do 由表2还可以看出，当-，。>0，尺寸增大占主导的方向沿de ；当J。<0，尺寸减少占主导的方向沿de。；当J。===0，沿d￡。方向尺寸不变。通常应变状态也可以通过 Lode参数来进行判断，-，。与 Lode参数的关系如下式f 】，。一二 ± ⋯ ～ 27(3+／1 ) ⋯ 图2所示为I．ode参数与偏应力张量第三不变量 -，之间的关系。可以看出对于特定的应力状态， -，／和的符号相反且有定量关系。图2 Lode参数与偏应力张量第三不变量之间的关系 Fig．2 The relationship between I．ode’S parameter and J3 = r 第3期王仲仁等：偏应力张量第二及第三不变量在塑性加工中的作用 3 4 偏应力张量不变量在塑性成形中的应用为了更明确的说明偏应力张量不变量 ‘，：和‘，的物理意义及其在塑性成形中所起的作用，本文使用有限元软件 ADINA对圆环压缩和圆环壳体液压胀形进行数值模拟。通过有限元程序可以直接计算出变形体内各点在整体坐标系下的应力及应变分量，利用 ADINA后处理的用户界面可以直接显示主应力，并且可以对主应力进行运算，得出相应的偏应力张量不变量 ‘，。和 J。。]。 4．1 圆环压缩圆环压缩模拟和实验所用材料为 7078铝合金，其屈服强度为 328MPa，弹性模量为 71 700MPa，泊松比为0．33。使用弹塑性有限元法，材料模型为多线性等向强化塑性材料。由于模型为轴对称结构，故采用二维轴对称单元进行模拟，其有限元模型及尺寸如图3所示。。1 ． 1 l l t 讨 t# m ⋯ _ 10ram + f ：卅 ¨ + _ ． 7．5mm 15n n 图 3 圆环压缩的有限兀模型 Fig．3 Finite element model of ring compression 通过ADINA进行用户接触状态自定义，定义摩擦系数随接触压力增加而减小的函数关系式，保证当接触压力过大时，工件上下表面的摩擦力小于材料剪切屈服应力的 45 9／6。图4所示为不同压下量圆环中的弹塑性区分布情况，由图可知，随着压下量的增加弹性区逐渐变小，且主要出现在圆环体的上下表面的中心部位。当压下量达到 0．45mm时，圆环全部进入塑性加工硬化阶段。图5所示为不同压下量时圆环内部偏应力第三不变量‘，。正负的分布情况。由图可知，在压缩的初期‘，。都是负值，因此圆环的全部包括弹性区都处于压缩类应变状态。当压下量为0．062mm时，在圆环的内侧中部出现‘，。的正值区域，随着压下量的逐渐增加，‘，。的正值区逐渐向圆环上下表面运动，最后整个圆环内侧的‘，都为正值。这说明随着压下量的增加，圆环的内侧逐渐由 “压缩类变形状态”转变为 “拉伸类变形状态”，并且拉伸和压缩类变形状态的分界面为平面变形状态，即所谓的中性面。图 6所示为圆环试件在压缩前后的尺寸比较，由图可见，压缩后试件的内径变小。此时，对于中性面以内的质点，在轴向及环向的应变增量都是负的，仅径向是正的，从变形状态来说属于 “拉伸类变形状态”，此时尺寸增加为主导方向且沿径向 (犹如沿径向 “拉伸”)，对于中性面以外的质点，虽然轴向应变增量仍然是负的，但环向及径向应变增量为正的，结果形成 “压缩类变形状态”(尺寸减少的主导方向为沿轴向，即沿轴向压缩)。 SM o0 口 RSTC TⅡ雌】】】图4 不同下压量时圆环的弹塑性分区 a) 0．022mm~b)0．062mm~c)0．123mm d)0．243mm~e)0．444mm~f)2．230mm Fig．4 The elastic and plastic zones of ring during compression Tn IE SMoC Tc T玎 B 『 TI加【『 SMO12 Tc Tl l e f 图5 圆环在不同压下量的J。正负分区 a)0．022mm~b)0．062mm~c)0．183mm d)0．524mm~e)1．628mm~f)2．230mm Fig．5 The positive and negative zones of-『3 of ring during compression 4 塑性工程学报第 l3卷图6 压缩前后的圆环试件 a)压缩前 (内孔 15mm)；b)雎缩后 (内孔 14．15ram) Fig．6 The rings before and after compression 4．2 圆环壳体液压胀形圆环壳体胀形首先要拼焊一个截面为多边形的多棱环壳，然后在壳体内部充满液体并施加压强，壳体在内压的作用下产生塑性变形，其截面的多边形逐渐趋于圆形 ]。胀形前圆环壳体尺寸如图7所示，其截面形状为正六边形。壳体所用材料为不锈钢 SS304，厚度为 2ram。材料的屈服强度为 240MPa，弹性模量为 207 000MPa，泊松比为 0．3， K值为 1426MPa，值为 0．5。胀形最终内压为 12MPa，此时六边形截面趋于圆形。模拟选用具有大应变及大位移公式的壳单元，在壳单元的厚度方向上设置的高斯积分点为 5个。材料模型为多线性等向强化塑性材料。一 L 图7 圆环壳体胀形前模型简图 Fig．7 Geometric model of toroidal shell before hydrc~bulging 图8所示为通过偏应力张量第二不变量对不同内压下环壳所处的变形状态进行分区。由图可知，当压强为0．6MPa时，环壳处于弹性变形阶段，随着压力的增加环壳各拼焊组成部分的中部先发生塑性变形，当压强为 7．2MPa时，只有顶部两条焊缝周围还存在弹性变形，压强为12MPa时，壳体全部发生塑性变形且截面变圆。图9所示为不同内压下环壳中偏应力张量第三不变量的分布情况。由图可得，当内压较小圆环尚处于弹性状态时(如图9a)，环壳内侧锥带和顶部圆环带的中部及外侧锥带中靠近最大外圆焊缝附近部位处于 “拉伸类变形状态”，焊缝周围和外侧平板的大部分处于 “压缩类变形状态”。随着压力的增加环图 8 不I司内压下环壳的弹塑性分区 a)0．6MPa~b)3．23MPa；c)3．6MPa；d)7．2MPa~e)12MPa Fig．8 The elastic and plastic zones of toroidal shell during hydro-bulging 壳的变形状态发生变化，顶部圆环带的 “拉伸类变形状态”区域逐渐减小。最后环壳的内侧处于 “拉伸类变形状态”，即内侧的纬向应变增量及经向应变增量均为负值，仅板厚方向(径向)应变增量为正值，犹如沿板厚方向(径向)受 “拉伸”。而外侧处于 “压缩类变形状态”，即外侧的纬向应变增量及经向应变增量均为正值，仅沿板厚方向(径向)应变增量为负值，犹如沿板厚方向(径向)受 “压缩”。应当指出，板壳在双向受压应变情况下特别易起皱，此时板厚增加量很有限。图1O为当环壳内径和璧厚较小时，内侧起皱的六边形截面环壳件。当板壳在承受双拉应变时，如果板材的塑性较好，则可以达到 3O 的减薄量，若塑性较差，则外侧容易发生破裂。图 9 不同内压下环壳-，。的正负分区 a)0．6MPa；b)3MPa~c)4．8MPa；d)7．21MPa~e)12MPa Fig．9 The positive and negative zones of J 3 of toroidal shell during hydrc~bulging 第3期王仲仁等：偏应力张量第二及第三不变量在塑性加工中的作用图1O 内侧起皱的圆环壳件 Fig．1 0 Wrinkle on the inner side of toroidal shell 5 结论本文通过对偏应力张量不变量物理意义的讨论，说明了其在变形过程中所起的重要作用，并结合圆环压缩和环壳液压胀形工艺进行了分析，得到以下结论： 1)由偏应力张量第二不变量和材料的屈服强度可以判断出变形体中不同部位所处的弹性、初始屈服或硬化状态，并且经本文提出的系数很容易做出判断。 2)偏应力张量第三不变量J。的正负，可以定性的分析物体内一点的变形类型。当。为负值时，物体内一点属于 “压缩类变形”，J。为零时，为平面变形类型， s为正时，属于 “拉伸类变形”。 3)圆环压缩时最初发生塑性变形的部位在圆环上下表面的中部。随着压下量的增加，圆环的内侧由 “压缩类变形”转变为 “拉伸类变形”，因此经压缩后的圆环内径会减小。 4)环壳液压胀形时，在焊缝周围最后发生塑性变形。随着液压的增加，环壳的内侧处于 “拉伸类变形”，而外侧处于 “压缩类变形”，于是环壳的内侧容易发生起皱，而外侧容易发生破裂。参考文献 [1] W Johnson，P B Mellor．Engineering Plasticity[M]． New York：Van Nostrand Reinhold，1973 [2] 王仁，熊祝华，黄文彬．塑性力学基础 [M]_北京：科学出版社，1982 [3] 徐秉业．塑性力学[M]．北京：高等教育出版社，1989 [4] 王仲仁等．塑性加工力学基础[M]+北京：国防工业出版社，1989 [5] 陈惠发，A F萨里普．弹性与塑性力学 [M]．北京：中国建筑工业出版社，2004 [6] 王仲仁，李守栋，刘立君．论屈服轨迹上的应力分区及其与塑性成形时尺寸变化的对应关系+金属学报FJ]， 1982．18(4)：433~438 [7] Z B He，Weilong Hu，Z R Wang．Essential relationship between the metal forming and the invariants of stress and deviatoric stress tensors，Advanced Technology of Plasticity(Italy)[C]，2005 [8] K J Bathe．Finite Element Procedures[M]，Prentice Hal1．1996 [9] B G Teng，S J Yuan，Z R Wang．Effect of the initial structure on the hydro~forming of toroidal shells[J]．J． Mater．Proc．Techno1．．2002．123．18~ 21 Effects of the second and third invariants of the stress deviator on metal forming WANG Zhong ren ZHANG Qi (School of Materials Science and Engineering，Harbin Institute Of Technology，Harbin 150001 China) Abstract：In the deformation body，the components of stress tensor at a point are difference with the variation of the coordinate system，while the values of invariants of the stress tensor are same．Therefore，the invariants of the stress tensor can reflect the characteristics the state of deformation．This paper illustrates that the value of the second invariant of the stress deviator can be used to judge the plastic or elastic state of the body，and the sign of the third invariant of the stress deviator can be used tO judge the deform ation type of body．So，a deeper understanding of the significance and the role of the invariants of the stress deviator which are considered more abstractly has been given．Moreover，the invariants of the stress deviator were employed to analyze the metal deformation process of ring compression and hydro-bulging toroidal shell by numerical simulation，and also the simulated and experimented results have a good agreement． Key words：the invariants of the stress deviator；deformation type；ring compression；hydro-bulging toroidal shell

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