第一章 有理数 一、 知识要点 本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。 基础知识： 1.正数（position number）：大于0的数叫做正数。 2.负数（negation number）：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 3.0既不是正数也不是负数。 4.有理数（rational number）：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 5.数轴（number axis）：通常，用一条直线上的点
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示数，这条直线叫做数轴。 数轴满足以下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度。 6.相反数（opposite number）：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。 7.绝对值（absolute value）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记做|a|。 由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 8.有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. （3）一个数同0相加，仍得这个数。 加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。表达式：a+b=b+a。 加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 表达式：（a+b）+c=a+（b+c） 9.有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数。表达式：a-b=a+（-b） 10.有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同0相乘，都得0. 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。表达式：ab=ba 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。表达式：（ab）c=a（bc） 乘法分配律：一般地，一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 表达式：a（b+c）=ab+ac 11.倒数 1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。 12.有理数除法法则：两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0. 13.有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 14.有理数的混合运算顺序 （1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 15、科学技术法：把一个大于10的数表示成a﹡10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数（即0
0 ⇔a>b; (4)做商法：a/b>1，b>0 ⇔a>b. 第二章 整式的加减总复习 【
知识点
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定义】 1.单项式 对数字和若干个字母施行有限次乘法运算，所得的代数式叫做单项式．单独一个数或一个字母也是单项式． 2.系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 3.单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 4.多项式 几个单项式的和叫做多项式． 5.多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． －6是常数项． 6.常数项 多项式中，不含字母的项叫做常数项． 7.多项式的次数 多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． 8.降幂排列 把一个多项式，按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列． 9.升幂排列 把一个多项式，按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 10.整式 单项式和多项式统称整式。 11.同类项 所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项．常数项都是同类项． 12.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 13.去括号法则 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号； 括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号． 例：a+(b-2c)-(e-2d)=a+b-2c-e+2d 14.添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号． 例：m+2x－y+z－5=m+(2x－y)－(－z+5) 15.整式的加减 整式加减的一般步骤： 1.如果遇到括号，按去括号法则先去括号； 2.合并同类项． 16.代数式的恒等变形一个代数式用另一个与它恒等的表达式去代换，叫做恒等变形． 第三章《一元一次方程》综合复习指导 【知识点归纳】 一、方程的有关概念 1.方程：含有未知数的等式就叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程. 3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论. 二、等式的性质 等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c (2)等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么= 三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． 四、去括号法则 1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． 2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变． 五、解方程的一般步骤 1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数) 2.去括号(按去括号法则和分配律) 3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号) 4.合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式) 5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=). 六、用方程思想解决实际问题的一般步骤 1.审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系． 2.设：设未知数(可分直接设法，间接设法) 3.列：根据题意列方程． 4.解：解出所列方程． 5.检：检验所求的解是否符合题意． 6.答：写出答案(有单位要注明答案) 七、有关常用应用类型题及各量之间的关系 1. 和、差、倍、分问题： （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现. （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现. 2.等积变形问题： “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为： ①形状面积变了，周长没变； ②原料体积＝成品体积. 3.劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： （1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变 4.数字问题 （1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c. （2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示. 5.工程问题： 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间 6.行程问题： （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间. （2）基本类型有 ① 相遇问题； ② 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题. 7.商品销售问题 有关关系式： 商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价×折扣率 8.储蓄问题 ⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税 ⑵ 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率（20%） 第四章 图形认识初步 【知识点归纳】 1、 多姿多彩的图形 1. 从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。 2. 点、线、面、体 A． 点：线和线相交的地方。 B． 线：面和面相交的地方，线可分为直线、射线、线段 C． 体：正方体、长方体、圆柱、球等都是几何体，几何体简称体。 D． 面：包围着体的是面，面可分为平的面、曲的面。 2、 直线、射线、线段 1.两点确定一条直线 2.当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交， 这个公共点叫做它们的交点。 3. 两点之间，线段最短。 4. 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 3、 角 1.有且只有一个角 2.把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记做1°﹔把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′﹔把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。 3.角的运算：1周角=360°，1平角=180°,1°=60′,1′=60″ 4.角的平分线：A. 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 B.角平分线上的一点到角的两边距离相等。 四、线段、射线和直线的联系与区别 联系：线段、射线、直线是部分与整体的关系.线段向一方无限延长形成了射线,向两个方向无限延长得到了直线.直线上的两点和它们之间的部分组成线段,直线上的一点及其一旁的部分是射线,射线反向延长得直线. 区别： 名称 延伸情况有无长短 图示 表示法 端点个数 作图描述 备注 线段 不可延伸,有长短 线段a或线段AB（BA） 2个 连结AB A、B两点无序 射线 向一个方向延伸,无长短 射线AB 1个 以A为端点作射线AB A、B两点有序,端点在前,射线上一点在后 直线 向两个方向延伸 直线l或直线AB（BA） 无端点 过A、B两点作直线AB A、B两点无序 第一章 基础训练 选择题 1.下列运算中正确的是（ ）. A. |-2|=－2 B. -32=-27 C. |（3-π）|=－π－3 D. 32=-9 2.下列各判断句中错误的是（ ） A.数轴上原点的位置可以任意选定 B.数轴上与原点的距离等于 个单位的点有两个 C.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示 D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间，一定还存在着表示有理数的点。 3. 、 是有理数，若 ＞ 且 ，下列说法正确的是（ ） A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 一定是正数 D. 一定是负数 4. 两数相加，如果比每个加数都小，那么这两个数是（ ） A.同为正数 B.同为负数 C.一个正数，一个负数 D.0和一个负数 5. 两个非零有理数的和为零，则它们的商是（） A.0 B.-1 C.+1 D.不能确定 6 一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ） A.1 B.-1 C. ±1 D. ±1和0 7. 如果|a|=-a，下列成立的是（ ） A.a>0 B.a<0 C.a>0或a=0 D.a<0或a=0 8. （-2）11+（-2）10的值是（ ） A.-2 B.（-2）21 C.0 D.-210 9.已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ） A. 3瓶 B. 4瓶 C. 5瓶 D. 6瓶 10.在下列说法中，正确的个数是（ ） ⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数 ⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数 ⑷每个有理数都有相反数 A、1 B、2 C、3 D、4 11.如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（ ） A、正数 B、负数 C、整数 D、不等于零的有理数 12.下列说法正确的是（ ） A、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； B、几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； C、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； D、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个； 13.如果零上３℃记作＋３℃，那么零下３℃记作（ ） Ａ、—３ Ｂ、－６ Ｃ、－３℃ Ｄ、－６℃ 14、若ａ与２互为相反数，则∣ａ＋２∣等于（ ） Ａ、０ Ｂ、－２ Ｃ、２ Ｄ、４ 第二章 整式的加减 一、选择题（小题3分，共30分） 1．下列各式中是多项式的是 （ ） A. B. C. D. 2．下列说法中正确的是（ ） A. 的次数是0 B. 是单项式 C. 是单项式 D. 的系数是5 3．如图1，为做一个试管架，在 cm长的木条上钻了4个圆孔，每个孔直径2cm，则 等于 （ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 4． ( ) A. B. C. D. 5．只含有 的三次多项式中，不可能含有的项是 （ ） A. B. C. D. 6．化简 的结果是 （ ） A. B. C. D. 7．一台电视机成本价为 元，销售价比成本价增加了 ，因库存积压，所以就按销售价的 出售，那么每台实际售价为 （ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8.下面是小芳做的一道多项式的加减运算题,但她不小心把一滴墨水滴在了上面. ,阴影部分即为被墨迹弄污的部分.那么被墨汁遮住的一项应是 ( ) A . B. C. D . 9.把(x－3)2－2(x－3)－5(x－3)2+(x－3)中的(x－3)看成一个因式合并同类项，结果应（ ） A. －4(x－3)2+(x－3) B. 4(x－3)2－x (x－3) C. 4(x－3)2－(x－3) D . －4(x－3)2－(x－3) 二、填空题（每小题3分，共30分） 11.单项式 的系数是 ,次数是 . 12.一个两位数，个位数字是a，十位数字比个位数字大2，则这个两位数是_____. 13.当 时，代数式 的值是 ； 14.计算： ； 16.规定一种新运算: ,如 ,请比较大小: (填“>”、“=”或“>”). 17.根据生活经验，对代数式 作出解释： ； 18.某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分每立方米按1.2元收费.已知某户用煤气x立方米（x>60），则该户应交煤气费 元. 20.观察下列单项式：0，3x2，8x3，15x4，24x5，……，按此规律写出第13个单项式是______。 三、解答题（共60分） 21. (12分)化简: （1） ； （2） ； （3） ； 22．(8分)化简求值 （1） 其中 . （2） 其中 . 23．(6分)已知 ， ，求 . 24．(6分)如图所示，一扇窗户的上部是由4个扇形组成的半圆形，下部是边长相同的4个小正方形，请计算这扇窗户的面积和窗框的总长. 26. (6分)某商店有两个进价不同的计算器都卖了 元,其中一个盈利60%,另一个亏本20%,在这次买卖中,这家商店是赚了,还是赔了?赚了或赔了多少? 27. (7分)试至少写两个只含有字母 、 的多项式,且满足下列条件:(1)六次三项式;(2)每一项的系数均为1或-1;(3)不含常数项;(4)每一项必须同时含字母 、 ,但不能含有其他字母. 28. (9分)某农户2007年承包荒山若干亩，投资7800元改造后，种果树2000棵.今年水果总产量为18000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（b＜a）.该农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需8人帮忙，每人每天付工资25元，农用车运费及其他各项税费平均每天100元. （1）分别用a，b表示两种方式出售水果的收入？ （2）若a＝1.3元，b＝1.1元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好. （3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到15000元，那么纯收入增长率是多少（纯收入＝总收入－总支出），该农户采用了（2）中较好的出售方式出售）？ 第三章 一元一次方程 填空题 1.在有理数-7， ，-（-1.43）， ，0， ，-1.7321中，是整数的有_____________是负分数的有_______________。 2.一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度；表示数-a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度。 3.如果一个数是6位整数，用科学记数法表示它时，10的指数是_____；用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是___________. 4.实数a、b、c在数轴上的位置如图：化简|a－b|+|b－c|-|c－a|. 5.绝对值大于1而小于4的整数有_____________________________________，其和为___________. 6.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则（a+b）3-3（cd）4=________. 7.1-2+3-4+5-6+……+2001-2002的值是____________. 8.若（a-1）2+|b+2|=0，那么a+b=_____________________. 9.平方等于它本身的有理数是___________,立方等于它本身的有理数是_____________. 10.用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是 ，用科学记数法表示302400，应记为 ,近似数3.0× 精确到 位。 11.正数–a的绝对值为__________；负数–b的绝对值为________ 12.甲乙两数的和为-23.4，乙数为-8.1，甲比乙大 13.在数轴上表示两个数， 的数总比 的大。（用“左边”“右边”填空） 14.数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________。 15.温度由－５℃下降３℃后，结果可记为＿＿＿＿＿． 16.－1/3的相反数是_______，绝对值是_______,倒数是_______. 三、强化训练 1.计算：1+2+3+…+2002+2003=__________. 2.已知： 若 （a,b均为整数）则a+b= 3.观察下列等式，你会发现什么规律： ， ， ，。。。请将你发现的规律用只含一个字母n（n为正整数）的等式表示出来 4.已知 ，则 ___________ 5.已知 是整数， 是一个偶数，则a是 （奇，偶） 6.已知1+2+3+…+31+32+33==17×33，求1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32-96+33-99的值。 7.在数1，2，3，…，50前添“+”或“－”，并求它们的和，所得结果的最小非负数是多少？请列出算式解答。 8.如果规定符号“*”的意义是a*b=ab/（a+b），求2*（-3）*4的值。 9.已知|x+1|=4，（y+2）2=4，求x+y的值。 10.投资股票是一种很重要的投资方式，但股市的风云变化又牵动了股民的心。 例：某股民在上星期五买进某种股票500股，每股60元，下表是本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6 （1）星期三收盘时，每股是多少元？ （2）本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ （3）已知买进股票是付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易费，如果在星期五收盘前将全部股票一次性地卖出，他的收益情况如何？ （4） 以买进的股价为0点，用折线统计图表示本周该股的股价情况。 【典型例题】 一、一元一次方程的有关概念 例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 . 二、一元一次方程的解 例2.若关于 的一元一次方程 的解是 ,则 的值是（ ） A． B．1 C． D．0 三、一元一次方程的解法 例3.如果 ,那么 等于（ ） (A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45 例4. {[(x-1)-3]-3}=3 四、一元一次方程的实际应用 例5.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐． （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由． 例6.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ 例7.（2006·益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话： 李小波：阿姨，您好！ 售货员：同学，你好，想买点什么？ 李小波：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本. 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见. 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 第四章 认识几何图形 【典型例题】 1.下列说法中，错误的有（ ） ①射线是直线的一部分 ②画一条射线，使它的长度为3 cm ③线段AB和线段BA是同一条线段 ④射线AB和射线BA是同一条射线 ⑤直线AB和直线BA是同一条直线 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】B 线段与直线用两个大写字母表示时，两个字母的先后顺序可前可后，而射线必须是端点字母在前. 2.在同一平面内有A，B，C，D，E五点，任三点不在同一直线上，能画________条直线. 【答案】10 3.（1）田径运动中百米比赛的跑道是线段，起点与终点是它的两个端点. （2）我们在晴朗的夜空中，有时能发现流星，它的运行轨迹可以近似看成直线. 【解析】（1）线段有两个端点. （2）直线没有端点. 【典型习题】 4.下列说法中,错误的有（ ） ①射线是直线的一部分②画一条射线,使它的长度为3 cm③线段AB和线段BA是同一条线段④射线AB和射线BA是同一条射线⑤直线AB和直线BA是同一条直线 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.平面内三点，可确定的直线的条数为（ ） A.3 B.0或1 C.1或3 D.0 6.两点之间，____________最短.经过____________点有且只有一条直线.两点间的距离是指连接两点的____________. 7.作下面线段： （1）有不在同一直线上的三点，每两点连一条线段，问可以连几条线段； （2）有四个点，且每三点都不在同一直线上，每两点连一条线段，问可以连几条线段； （3）用这个图形中的原理解决一个实际问题.
浙公网安备 33021202002483