第七章修

nullnullnull一阶的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解； 重点一阶 电路 模拟电路李宁答案12数字电路仿真实验电路与电子学第1章单片机复位电路图组合逻辑电路课后答案 的阶跃响应和冲激响应。1.动态电路方程的建立及初始条件的确定； 7.1 动态电路的方程及其初始条件含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1. 动态电路 7.1 动态电路的方程及其初始条件 当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。null例过渡期为零电阻电路nulli = 0 , uC= Usi = 0 , uC = 0 k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：k未动作前，电路处于稳定状态：电容电路前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态?有一过渡期nulluL= 0, i=Us /Ri = 0 , uL = 0 k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：k未动作前，电路处于稳定状态：电感电路前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态?有一过渡期nullk未动作前，电路处于稳定状态：uL= 0, i=Us /Rk断开瞬间i = 0 , uL =  工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。null过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路null应用KVL和电容的VCR得：2. 动态电路的方程例RC电路一阶微分方程null应用KVL和电感的VCR得：RL电路一阶微分方程null一阶电路 含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。null二阶电路RLC电路应用KVL和元件的VCR得： 含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。null一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。null高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。动态电路的分析方法根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；null复频域分析法时域分析法求解微分方程本章采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。null稳态分析和动态分析的区别稳态动态直流时null t = 0＋与t = 0－的概念认为换路在t=0时刻进行0－ 换路前一瞬间 0＋ 换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值。0－0＋tnull图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。例解特征根方程：通解：代入初始条件得： 在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。nullt = 0+ 时刻电容的初始条件当i()为有限值时nullq (0+) = q (0－)uC (0+) = uC (0－) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。电荷守恒null电感的初始条件t = 0+时刻当u为有限值时nullL (0＋)= L (0－)iL(0＋)= iL(0－)磁链守恒 换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。null换路定律电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路定律反映了能量不能跃变。null电路初始值的确定(2)由换路定律 uC (0+) = uC (0－)=8V(1) 由0－时刻电路求 uC(0－)uC(0－)=8V(3) 由0+时刻电路求iC(0+)例1求 uC (0+) ，iC(0+)电容开路电容用电压源替代nulliL(0+)= iL(0－) =2A例 2t = 0时闭合开关k ,求 iL(0+)， uL(0+)先求应用换路定律:电感用电流源替代解电感短路由0+等效电路求 uL(0+)null求初始值的步骤:1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b. 电容用电压源替代，电感用电流源替代。a. 换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。nulliL(0+) = iL(0－) = iSuC(0+) = uC(0－) = RiSuL(0+)= - RiS求 iC(0+) , uL(0+)例3解由0－电路得：由0+电路得：null例4求k闭合瞬间各支路电流和电感电压解由0－电路得：由0+电路得：null求k闭合瞬间流过它的电流值解确定0－值给出0＋等效电路例5null7.2 一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。1.RC电路的零输入响应已知 uC (0－)=U0零输入响应null代入初始值 uC (0+)=uC(0－)=U0A=U0null或null令  =RC , 称为一阶电路的时间常数电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ；连续函数跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;null时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = RC 大→过渡过程时间长 小→过渡过程时间短电压初值一定：R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大物理含义nulla.  是电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为, 经过 3－5 , 过渡过程结束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 null ＝ t2－ t1 t1时刻曲线的斜率等于次切距的长度b. 时间常数 的几何意义：null能量关系电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕.设 uC(0+)=U0电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：null例1图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：null分流得：null2. RL电路的零输入响应特征方程 Lp+R=0代入初始值A= iL(0+)= I0null连续函数跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；null响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关;时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大 W=LiL2/2 起始能量大 R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小 大→过渡过程时间长 小→过渡过程时间短物理含义电流初值iL(0)一定：null能量关系电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕。设 iL(0+)=I0电感放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：nulliL (0+) = iL(0－) = 1 A例1t=0时,打开开关S，求uv。电压 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 量程：50V解null例2t=0时,开关S由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解nullnull一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。null一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 = R C = L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC 电路RL 电路null动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加激励作用所产生的响应。方程：7.3 一阶电路的零状态响应 解答形式为：1.RC电路的零状态响应零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解非齐次线性常微分方程null与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定null全解uC (0+)=A+US= 0 A= － US由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A从以上式子可以得出：null电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：连续函数跃变稳态分量（强制分量）瞬态分量（自由分量）+null响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定； 大，充电慢， 小充电就快。响应与外加激励成线性关系；能量关系 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。null例t=0时,开关S闭合，已知 uC(0－)=0，求(1)电容电压和电流,(2) uC＝80V时的充电时间t 。解(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：(2)设经过t1秒，uC＝80Vnull2. RL电路的零状态响应已知iL(0－)=0，电路方程为：nullnull例1t=0时,开关S打开，求t >0后iL、uL的变化规律。解null例2t=0开关k打开，求t >0后iL、uL及电流源的电压。解这是RL电路零状态响应问题7.4 一阶电路的全响应7.4 一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。以RC电路为例，电路微分方程：1. 全响应全响应解答为： uC(t) = uC' + uC" = RC+–nulluC (0－)=U0uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由初始值定A强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)null2. 全响应的两种分解方式全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰null全响应 = 零状态响应 + 零输入响应着眼于因果关系便于叠加计算零输入响应零状态响应nullnull例1t=0 时 ,开关k打开，求t >0后的iL、uL。解这是RL电路全响应问题， 有：null例2t=0时 ,开关K闭合，求t >0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是RC电路全响应问题，有：稳态分量：nullnull3. 三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：令 t = 0+其解答一般形式为：特解null 分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。用0+等效电路求解用t→的稳态电路求解null例1已知：t=0 时合开关，求换路后的uC(t)解null例2t=0时 ,开关闭合，求t >0后的iL、i1解三要素为：null三要素为：0＋等效电路null例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)解三要素为：null例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。解三要素为：nullnull已知：电感无初始储能t = 0 时合S1 , t =0.2s时合S2 ，求两次换路后的电感电流i(t)。0 < t < 0.2s解例5nullt > 0.2snull(0 < t  0.2s)( t  0.2s)null7.5 二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0 i(0+)=0已知：1. 二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：电路方程：以电感电流为变量：null特征方程：电路方程：以电容电压为变量时的初始条件：uC(0+)=U0i(0+)=0以电感电流为变量时的初始条件：i(0+)=0uC(0+)=U0null2. 零状态响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼特征根：nullnullU0设 |P2|>|P1|0电容电压nullt=0+ ic=0 , t= ic=0ic>0 t = tm 时ic 最大tmic0电容和电感电流nulltm2tmuLict0电感电压nulliC=i 为极值时，即 uL=0 时的 tm 计算如下:由 duL/dt 可确定 uL 为极小时的 t .null能量转换关系0 < t < tm uC 减小 ，i 增加。t > tm uC减小 ，i 减小.nulluc 的解答形式：经常写为：共轭复根nullω，ω０，δ的关系nullt=0 时 uc=U0uC =0：t = -，2- ... n- nulliC uL=0：t =  ，+，2+ ... n+ic=0：t =0，，2 ... n ，为 uc极值点， ic 的极值点为 uL 零点。null能量转换关系：0 < t <  < t < -- < t <  iCnull特例：R=0 时等幅振荡0null相等负实根nullnull可推广应用于一般二阶电路null电路如图，t=0 时打开开关。求 uC并画出其变化曲线。解（1） uC(0－)=25V iL(0－)=5A特征方程为： 50P2+2500P+106=0例1（2）开关打开为RLC串联电路，方程为：nullnull7.6 二阶电路的零状态响应和全响应uC(0－)=0 , iL(0－)=0微分方程为：通解特解特解: 特征方程为:例1. 二阶电路的零状态响应nulluC解答形式为：null求电流 i 的零状态响应。 i1= i － 0.5 u1= i － 0.5(2－ i)2 = 2i －2由KVL：整理得：首先写微分方程解例二阶非齐次常微分方程null特征根为： P1= －2 ，P2 = －6解答形式为：第三步求特解 i'由稳态模型有：i' = 0.5 u1u1=2(2－0.5u1)i'=1Anull第四步定常数由0+电路模型：null2. 二阶电路的全响应(1) 列微分方程(2)求特解解例应用结点法：null(3)求通解特征根为： P= -100 j100(4)定常数特征方程为：null(5)求iR或设解答形式为：定常数nullnull二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。null求二阶电路全响应的步骤(a)列写t >0+电路的微分方程(b)求通解(c)求特解(d)全响应=强制分量+自由分量null7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应1. 单位阶跃函数 定义 单位阶跃函数的延迟null在电路中模拟开关的动作 单位阶跃函数的作用null起始一个函数延迟一个函数null 用单位阶跃函数表示复杂的信号例 1例 2null例 4例 3null例 5已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电压的波形。null2. 一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。阶跃响应nullnull激励在 t = t0 时加入， 则响应从t =t0开始。不要写为：null求图示电路中电流 iC(t）例null应用叠加定理阶跃响应为：null由齐次性和叠加性得实际响应为：null分段表示为：null分段表示为：null2. 二阶电路的阶跃响应对电路应用KCL列结点电流方程有已知图示电路中uC(0-)=0, iL(0-)=0，求单位阶跃响应 iL(t）例解iSnull代入已知参数并整理得： 这是一个关于的二阶线性非齐次方程，其解为特解特征方程通解解得特征根null代初始条件阶跃响应电路的动态过程是过阻尼性质的。null7.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应1. 单位冲激函数 定义单位脉冲函数的极限null 单位冲激函数的延迟 单位冲激函数的性质冲激函数对时间的积分等于阶跃函数null冲激函数的‘筛分性’ 同理例 f(t)在 t0 处连续nulluc不是冲激函数 , 否则KCL不成立分二个时间段考虑冲激响应电容充电，方程为例12. 一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。冲激响应求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应。解null电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。(2) t > 0+ 为零输入响应（RC放电）nullnull例2求单位冲激电压激励下的RL电路的零状态响应。分二个时间段考虑冲激响应解iL不是冲激函数 , 否则KVL不成立。null电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。(2) t > 0+ RL放电nullnull3. 单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激 (t)单位阶跃 (t)激励响应null先求单位阶跃响应：求:is (t)为单位冲激时电路响应uC(t)和iC (t).例解uC(0+)=0 uC()=R  = RC iC(0+)=1 iC()=0 再求单位冲激响应,令：令nullnull冲激响应阶跃响应null有限值有限值KVL方程为例4. 二阶电路的冲激响应求单位冲激电压激励下的RLC电路的零状态响应。解t 在0－至0＋间nullt>0+为零输入响应nullnull7.9* 卷积积分1.卷积积分定义设函数 f1(t) , f2(t) t < 0 均为零 性质null令  = t -  d = - d  ：0 t  : t 0证明2.卷积积分的应用null 将激励 e( t )近似看成一系列具有相同宽度的矩形脉冲的叠加，若冲激响应则null null若单位脉冲函数 p ( t ) 的零状态响应为 h Δ ( t )第1个矩形脉冲第k个矩形脉冲null 根据叠加定理，t 时刻观察到的响应应为 0 ~ t 时间内所有激励产生的响应的和null例1先求电路的冲激响应 h(t)解uC()=0null例2解null由图解过程确定积分上下限null移卷积null1.网络的状态与状态变量 网络状态 指能和激励一道唯一确定网络现时和未来行为的最少量的一组信息。 状态变量 电路的一组独立的动态变量X， X=[x1, x2…… xn]T ， 它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态，如独立的电容电压（或电荷），电感电流（或磁通链）就是电路的状态变量。7.10* 状态方程null 状态变量法 借助于状态变量，建立一组联系状态变量和激励函数的一阶微分方程组，称为状态方程。只要知道状态变量在某一时刻值X(t0),再知道输入激励e(t)，就可以确定t>t0后电路的全部性状(响应)。这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。null已知:解e(0)=10V例null同理可推广至任一时刻t1 (1)状态变量和储能元件有关 (2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量 (3)状态变量的选择不唯一。null设 uc、iL 为状态变量整理得 每一个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数。对简单电路采用直观编写法。状态方程2. 状态方程的列写null矩阵形式 联立的一阶微分方程组 左端为状态变量的一阶导数 右端含状态变量和输入量null一般形式null电路的输出方程代数方程 用状态变量和输入量表示输出量一般形式[Y]=[C][X]+[D][V]电路中某些感兴趣的量与状态变量和输入量之间的关系 null例列出电路的状态方程解对结点①列出KCL方程null对回路1和回路2列出KVL方程把以上方程整理成矩阵形式有null若以结点①、②的电压作为输出，则有 整理并写成矩阵形式有 null1.动态电路微分方程的阶数与电路结构的关系 动态电路微分方程的阶数与电路中所含的独立动态元件的个数相等。7.11* 动态电路时域分析中的几个问题当一个网络中存在纯电容回路，由KVL可知其中必有一个电容电压可由回路中其它元件的电压求出，此电容电压为非独立的电容电压。例null当网络中存在纯电感结点，由KCL可知其中必有一个电感电流可由其它元件的电流求出，此电感电流时非独立的。网络中与独立电压源并联的电容元件，其电压uC由uS决定。网络中与独立电流源串联的电感元件，其iL由iS决定。null 以上四种请况中非独立的uC和iL不能作为状态变量，不含以上四种情况的网络称为常态网络。状态变量数等于C、L元件总数。含有以上四种情况的网络称为非常态网络，网络的状态变量数小于网络中C、L元件总数，下面着重讨论常态网络。null2.动态电路中初始值的计算对于通常电路，初始值由下面关系确定 在下面情况下 换路后的电路有纯电容构成的回路，或有由电容和独立电压源构成的回路，且回路中各个电容上电压值uC(0-)的代数和不等于该回路中各个电压源初始值的代数和。null换路后的电路有纯电感构成的结点（或割集）或有由电感和独立电流源构成的结点（或割集），且结点上各电感的电流值iL(0-)与电流源电流的初始值的代数和不等于零， 在上述两种情况下，求初始值，必须遵循换路前后电路中电荷守恒和磁通链守恒的约束关系，即或 或