大一上学期高数期末考试 一、单项选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. . (A) (B) (C) (D) 不可导. 1. . (A) 是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B) 是等价无穷小; (C) 是比 高阶的无穷小; (D) 是比 高阶的无穷小. 1. 若 ,其中 在区间上 二阶可导且 ,则( ). (A)函数 必在 处取得极大值; (B)函数 必在 处取得极小值; (C)函数 在 处没有极值,但点 为曲线 的拐点; (D)函数 在 处没有极值,点 也不是曲线 的拐点。 1. (A) (B) (C) (D) . 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1. . 1. . 1. . 1. . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 1. 设函数 由方程 确定,求 以及 . 1. 1. 1. 设函数 连续, ,且 , 为常数. 求 并讨论 在 处的连续性. 1. 求微分方程 满足 的解. 四、 解答题(本大题10分) 1. 已知上半平面内一曲线 ,过点 ,且曲线上任一点 处切线斜率数值上等于此曲线与 轴、 轴、直线 所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分) 1. 过坐标原点作曲线 的切线,该切线与曲线 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分) 1. 设函数 在 上连续且单调递减,证明对任意的 , . 1. 设函数 在 上连续,且 , .证明:在 内至少存在两个不同的点 ,使 (提示:设 ) 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. . 6. .7. . 8. . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导 , 9. 解: 9. 解: 9. 解:由 ,知 。 , 在 处连续。 9. 解: , 四、 解答题(本大题10分) 9. 解:由已知且 , 将此方程关于 求导得 特征方程: 解出特征根: 其通解为 代入初始条件 ,得 故所求曲线方程为: 五、解答题(本大题10分) 9. 解:(1)根据题意,先设切点为 ,切线方程: 由于切线过原点,解出 ,从而切线方程为: 则平面图形面积 (2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则 曲线 与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分) 9. 证明: 故有: 证毕。 9. 证:构造辅助函数: 。其满足在 上连续,在 上可导。 ,且 由题设,有 , 有 ,由积分中值定理,存在 ,使 即 综上可知 .在区间 上分别应用罗尔定理,知存在 和 ,使 及 ,即 .