线性代数公式大全

1 线性代数公式大全 1、行列式 1. n nn n 行列式共有 2 n nn n 个元素，展开后有 !nnnn 项，可分解为 2nnnn 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、 ij ijij ij A AA A 和 ij ijij ij a aa a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 AAAA ； 3. 代数余子式和余子式的关系： ( 1) ( 1)i j i ji j i ji j i ji j i j ij ij ij ij ij ij ij ijij ij ij ij ij ij ij ij M A A M M A A MM A A M M A A M + += − = − 4. 设 n nn n 行列式 D DD D ： 将 DDDD上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 1DDDD ，则 ( 1) 2 1 ( 1) n n n nn n n n D D D DD D D D − = − ； 将 D DD D 顺时针或逆时针旋转 90o ，所得行列式为 2DDDD ，则 ( 1) 2 2 ( 1) n n n nn n n n D D D DD D D D − = − ； 将 DDDD主对角线翻转后（转置），所得行列式为 3DDDD ，则 3D DD DD DD D= ； 将 DDDD主副角线翻转后，所得行列式为 4DDDD ，则 4D DD DD DD D= ； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ( 1) 2( 1) n n n nn n n n− × − ； ③、上、下三角行列式（ = ◥ ◣ ）：主对角元素的乘积； ④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积 ( 1) 2( 1) n n n nn n n n− × − ； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A O A CA O A C A O A C A B A BA B A B C B O B C B O BC B O B C B O B = = 、 ( 1)m nm nm nm n C A O A C A O AC A O A C A O A A B A BA B A B B O B C B O B CB O B C B O B C = = − ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于 n nn n 阶行列式 A AA A ，恒有： 1 ( 1) n nn n n k n k n k n kn k n k n k n k k kk k k kk k E A S E A SE A S E A Sλ λ λ − = − = + −∑ ，其中 k kk k S SS S 为 k kk k 阶主子式； 7. 证明 0AAAA = 的方法： ①、 A A A AA A A A= − ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组 0AxAxAxAx = ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明 ( )r A nr A nr A nr A n< ； ⑤、证明 0 是其特征值； 2、矩阵 1. A AA A 是 n nn n 阶可逆矩阵： ⇔ 0AAAA ≠ （是非奇异矩阵）； ⇔ ( )r A nr A nr A nr A n= （是满秩矩阵） ⇔ AAAA的行（列）向量组线性无关； ⇔ 齐次方程组 0AxAxAxAx = 有非零解； ⇔ nnnnb Rb Rb Rb R∀ ∈ ， Ax bAx bAx bAx b= 总有唯一解； ⇔ AAAA与 EEEE等价； ⇔ AAAA可表示成若干个初等矩阵的乘积； 2 ⇔ AAAA的特征值全不为 0； ⇔ TTTTA AA AA AA A是正定矩阵； ⇔ AAAA的行（列）向量组是 nnnnRRRR 的一组基； ⇔ AAAA是 nnnnRRRR 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于 n nn n 阶矩阵 A AA A ： * *AA A A A EAA A A A EAA A A A EAA A A A E= = 无条件恒成立； 3. 1 * * 1 1 1 * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T TT T T TT T T TT T T TA A A A A AA A A A A AA A A A A AA A A A A A− − − −= = = * * * 1 1 1( ) ( ) ( )T T TT T TT T TT T TAB B A AB B A AB B AAB B A AB B A AB B AAB B A AB B A AB B AAB B A AB B A AB B A− − −= = = 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A AA A 、 B BB B 可逆： 若 1 2 s ss s A AA A A AA A A AA A A AA A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ O ，则： Ⅰ、 1 2 ssssA A A AA A A AA A A AA A A A= L ； Ⅱ、 1 1 1 1 2 1 s ss s A AA A A AA A A AA A A AA A − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ O ； ②、 1 1 1 A O A OA O A O A O A OA O A O O B O BO B O B O B O BO B O B − − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ；（主对角分块） ③、 1 1 1 O A O AO A O A O B O BO B O B B O B OB O B O A O A OA O A O − − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ；（副对角分块） ④、 1 1 1 1 1 A C A CA C A C A A CB A A CBA A CB A A CB O B O BO B O B O B O BO B O B − − − − − ⎛ ⎞−⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ；（拉普拉斯） ⑤、 1 1 1 1 1 A O A OA O A O A O A OA O A O C B C BC B C B B CA B B CA BB CA B B CA B − − − − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个 m n m nm n m n× 矩阵 AAAA，总可经过初等变换化为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形，其标准形是唯一确定的： rrrr m n m nm n m n E O E OE O E O F FF F O O O OO O O O × ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； 等价类：所有与 AAAA等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 A AA A 、 B BB B ，若 ( ) ( )r A r B A Br A r B A Br A r B A Br A r B A B= ⇔ ； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非 0 元素必须为 1； ③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） 1 、若 ( , ) ( , ) r rr r A E E X A E E XA E E X A E E X ，则 AAAA可逆，且 1X AX AX AX A−= ； ②、对矩阵 ( , )A BA BA BA B 做初等行变化，当 AAAA变为 EEEE时， BBBB就变成 1A BA BA BA B− ，即： 1( , ) ( , ) c cc c A B E A B A B E A BA B E A B A B E A B − ∼ ； ③、求解线形方程组：对于 n nn n 个未知数 n nn n 个方程 Ax b Ax bAx b Ax b= ，如果 ( , ) ( , ) r rr r A b E x A b E xA b E x A b E x ，则 AAAA可逆，且 1x A bx A bx A bx A b−= ； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 3 ②、 1 2 n nn n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Λ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ O λ λ λ ，左乘矩阵 A AA A ， i ii i λ 乘 A AA A 的各行元素；右乘， i ii i λ 乘 A AA A 的各列元素； ③、对调两行或两列，符号 ( , )E i jE i jE i jE i j ，且 1( , ) ( , )E i j E i jE i j E i jE i j E i jE i j E i j− = ，例如： 1 1 1 1 1 1 1 − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； ④、倍乘某行或某列，符号 ( ( ))E i kE i kE i kE i k ，且 1 1( ( )) ( ( ))E i k E iE i k E iE i k E iE i k E i k kk k − = ，例如： 1 1 1 1 ( 0) 1 1 k k k kk k k k k kk k − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； ⑤、倍加某行或某列，符号 ( ( ))E ij kE ij kE ij kE ij k ,且 1( ( )) ( ( ))E ij k E ij kE ij k E ij kE ij k E ij kE ij k E ij k− = − ，如： 1 1 1 1 1 ( 0) 1 1 k k k kk k k k k kk k − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； 5. 矩阵秩的基本性质： ①、 0 ( ) min( , ) m n m nm n m n r A m n r A m nr A m n r A m n×≤ ≤ ； ②、 ( ) ( )TTTTr A r Ar A r Ar A r Ar A r A= ； ③、若 A BA BA BA B ，则 ( ) ( )r A r Br A r Br A r Br A r B= ； ④、若 PPPP、QQQQ可逆，则 ( ) ( ) ( ) ( )r A r PA r AQ r PAQr A r PA r AQ r PAQr A r PA r AQ r PAQr A r PA r AQ r PAQ= = = ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、 max( ( ), ( )) ( , ) ( ) ( )r A r B r A B r A r Br A r B r A B r A r Br A r B r A B r A r Br A r B r A B r A r B≤ ≤ + ；（※） ⑥、 ( ) ( ) ( )r A B r A r Br A B r A r Br A B r A r Br A B r A r B+ ≤ + ；（※） ⑦、 ( ) min( ( ), ( ))r AB r A r Br AB r A r Br AB r A r Br AB r A r B≤ ；（※） ⑧、如果 A AA A 是 m n m nm n m n× 矩阵， BBBB是 n sn sn sn s× 矩阵，且 0ABABABAB = ，则：（※） Ⅰ、 B BB B 的列向量全部是齐次方程组 0AXAXAXAX = 解（转置运算后的结论）； Ⅱ、 ( ) ( )r A r B nr A r B nr A r B nr A r B n+ ≤ ⑨、若 AAAA、 BBBB均为 nnnn阶方阵，则 ( ) ( ) ( )r AB r A r B nr AB r A r B nr AB r A r B nr AB r A r B n≥ + − ； 6. 三种特殊矩阵的方幂： ①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）× 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ②、型如 1 0 1 0 0 1 a c a ca c a c b bb b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式： 0 1 1 1 1 1 1 0 ( ) n nn n n n n m n m m n n n n m m n m n n n m n m m n n n n m m n mn n n m n m m n n n n m m n m n n n m n m m n n n n m m n m n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n m mm m a b C a C a b C a b C a b C b C a b a b C a C a b C a b C a b C b C a ba b C a C a b C a b C a b C b C a b a b C a C a b C a b C a b C b C a b − − − − − = + = + + + + + + = ∑L L ； 注：Ⅰ、 ( )nnnna ba ba ba b+ 展开后有 1nnnn+ 项； Ⅱ、 0( 1) ( 1) ! 1 1 2 3 !( )! − − + = = = = − LL L m n n n n n n n m n C C C m m n m Ⅲ、组合的性质： 1 11 1 0 2− − −+ − = = = + = =∑ n m n m m m m r n r r n n n n n n n n r C C C C C C rC nC ； ③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩： * ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 ( ) 1 n r A n n r A nn r A n n r A n r A r A n r A r A nr A r A n r A r A n r A n r A nr A n r A n = ⎧ ⎪ = = −⎨ ⎪ < −⎩ ； 4 ②、伴随矩阵的特征值： * 1 *( , ) A A A AA A A A AX X A A A A X X AX X A A A A X XAX X A A A A X X AX X A A A A X Xλ λ λ − = = ⇒ = ； ③、 * 1A A AA A AA A AA A A−= 、 1* nnnnA AA AA AA A −= 8. 关于 A AA A 矩阵秩的描述： ①、 ( )r A nr A nr A nr A n= ， AAAA中有 n nn n 阶子式不为 0， 1nnnn+ 阶子式全部为 0；（两句话） ②、 ( )r A nr A nr A nr A n< ， AAAA中有 n nn n 阶子式全部为 0； ③、 ( )r A nr A nr A nr A n≥ ， AAAA中有 nnnn阶子式不为 0； 9. 线性方程组： Ax b Ax bAx b Ax b= ，其中 AAAA为m nm nm nm n× 矩阵，则： ①、 m mm m 与方程的个数相同，即方程组 Ax b Ax bAx b Ax b= 有mmmm个方程； ②、 n nn n 与方程组得未知数个数相同，方程组 Ax b Ax bAx b Ax b= 为 nnnn元方程； 10. 线性方程组 Ax b Ax bAx b Ax b= 的求解： ①、对增广矩阵 B BB B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由 n nn n 个未知数 m mm m 个方程的方程组构成 n nn n 元线性方程： ①、 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n nn n n n n n n nn n n n m m nm n n m m nm n nm m nm n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x ba x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x ba x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x ba x a x a x b a x a x a x b + + + = ⎧ ⎪ + + + = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ + + + =⎩ L L LLLLLLLLLLL L ； ②、 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 n nn n n nn n m m mn m m m m mn m mm m mn m m m m mn m m a a a x b a a a x ba a a x b a a a x b a a a x b a a a x ba a a x b a a a x b Ax b Ax bAx b Ax b a a a x b a a a x ba a a x b a a a x b ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⇔ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ L L M M O M M M L （向量方程， A AA A 为 m n m nm n m n× 矩阵，mmmm个方程， nnnn个未知数） ③、 ( ) 1 2 1 2 nnnn n nn n x xx x x xx x a a a a a aa a a a a a x xx x β ββ β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ L M （全部按列分块，其中 1 2 n nn n b bb b b bb b b bb b β ββ β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ M ）； ④、 1 1 2 2 n nn nn nn na x a x a xa x a x a xa x a x a xa x a x a x ββββ+ + + =L （线性表出） ⑤、有解的充要条件： ( ) ( , )r A r A nr A r A nr A r A nr A r A nββββ= ≤ （ nnnn为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性 1. m mm m 个 n nn n 维列向量所组成的向量组 A AA A ： 1 2, , , mmmmα α αα α αα α αα α αL 构成 n mn mn mn m× 矩阵 1 2( , , , )mmmmAAAA = Lα α αα α αα α αα α α ； m mm m 个 n nn n 维行向量所组成的向量组 BBBB： 1 2, , ,T T TT T TT T TT T Tmmmmβ β ββ β ββ β ββ β βL 构成m nm nm nm n× 矩阵 1 2 T TT T T TT T T TT T m mm m B BB B β ββ β β ββ β β ββ β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ M ； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关 0AxAxAxAx⇔ = 有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 Ax b Ax bAx b Ax b⇔ = 是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B AX BAX B AX B⇔ = 是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵 m n m nm n m n A AA A × 与 l nl nl nl nBBBB × 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 0AxAxAxAx = 和 0BxBxBxBx = 同解；( 101PPPP 例 14) 4. ( ) ( )TTTTr A A r Ar A A r Ar A A r Ar A A r A= ；( 101PPPP 例 15) 5. n nn n 维向量线性相关的几何意义： ①、 α αα α 线性相关 ⇔ 0αααα = ； ②、 ,α βα βα βα β 线性相关 ⇔ ,α βα βα βα β 坐标成比例或共线（平行）； 5 ③、 , ,α β γα β γα β γα β γ 线性相关 ⇔ , ,α β γα β γα β γα β γ 共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若 1 2, , , ssssα α αα α αα α αα α αL 线性相关，则 1 2 1, , , ,s ss ss ss sα α α αα α α αα α α αα α α α +L 必线性相关； 若 1 2, , , ssssα α αα α αα α αα α αL 线性无关，则 1 2 1, , , ssssα α αα α αα α αα α α −L 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 rrrr维向量组 A AA A 的每个向量上添上 n r n rn r n r− 个分量，构成 nnnn维向量组 BBBB： 若 AAAA线性无关，则 BBBB也线性无关；反之若 BBBB线性相关，则 AAAA也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组 A AA A （个数为 r rr r ）能由向量组 B BB B （个数为 s ss s ）线性表示，且 A AA A 线性无关，则 r s r sr s r s≤ (二版 74PPPP 定理 7)； 向量组 A AA A 能由向量组 B BB B 线性表示，则 ( ) ( )r A r Br A r Br A r Br A r B≤ ；（ 86PPPP 定理 3） 向量组 A AA A 能由向量组 B BB B 线性表示 AX B AX BAX B AX B⇔ = 有解； ( ) ( , )r A r A Br A r A Br A r A Br A r A B⇔ = （ 85PPPP 定理 2） 向量组 A AA A 能由向量组 B BB B 等价 ( ) ( ) ( , )r A r B r A Br A r B r A Br A r B r A Br A r B r A B⇔ = = （ 85PPPP 定理 2 推论） 8. 方阵 A AA A 可逆 ⇔ 存在有限个初等矩阵 1 2, , , llllP P PP P PP P PP P PL ，使 1 2 llllA PP PA PP PA PP PA PP P= L ； ①、矩阵行等价： ~ r rr r A B PA B A B PA BA B PA B A B PA B⇔ = （左乘， PPPP可逆） 0AxAxAxAx⇔ = 与 0BxBxBxBx = 同解 ②、矩阵列等价： ~ c cc c A B AQ B A B AQ BA B AQ B A B AQ B⇔ = （右乘，QQQQ可逆）； ③、矩阵等价： ~A B PAQ BA B PAQ BA B PAQ BA B PAQ B⇔ = （ PPPP、QQQQ可逆）； 9. 对于矩阵 m n m nm n m n A AA A × 与 l nl nl nl nBBBB × ： ①、若 AAAA与 BBBB行等价，则 AAAA与 BBBB的行秩相等； ②、若 A AA A 与 B BB B 行等价，则 0AxAxAxAx = 与 0BxBxBxBx = 同解，且 AAAA与 BBBB的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵 A AA A 的行秩等于列秩； 10. 若 m s s n m n m s s n m nm s s n m n m s s n m n A B C A B CA B C A B C× × ×= ，则： ①、CCCC的列向量组能由 AAAA的列向量组线性表示， BBBB为系数矩阵； ②、 C CC C 的行向量组能由 BBBB的行向量组线性表示， TTTTAAAA 为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组 0BxBxBxBx = 的解一定是 0ABxABxABxABx = 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、 0ABxABxABxABx = 只有零解 0BxBxBxBx⇒ = 只有零解； ②、 0BxBxBxBx = 有非零解 0ABxABxABxABx⇒ = 一定存在非零解； 12. 设向量组 1 2: , , ,n r rn r rn r rn r rB b b bB b b bB b b bB b b b× L 可由向量组 1 2: , , ,n s sn s sn s sn s sA a a aA a a aA a a aA a a a× L 线性表示为：（ 110PPPP 题 19 结论） 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )r sr sr sr sb b b a a a Kb b b a a a Kb b b a a a Kb b b a a a K=L L （ B AKB AKB AKB AK= ） 其中 KKKK为 s rs rs rs r× ，且 AAAA线性无关，则 BBBB组线性无关 ( )r K rr K rr K rr K r⇔ = ；（ BBBB与 KKKK的列向量组具有相同线性相关性） （必要性： ( ) ( ) ( ), ( ) , ( )r r B r AK r K r K r r K rr r B r AK r K r K r r K rr r B r AK r K r K r r K rr r B r AK r K r K r r K r= = ≤ ≤ ∴ =Q ；充分性：反证法） 注：当 r s r sr s r s= 时， KKKK为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵 m n m nm n m n A AA A × ，存在 n mn mn mn mQQQQ × ， mmmmAQ EAQ EAQ EAQ E= ( )r A mr A mr A mr A m⇔ = 、QQQQ的列向量线性无关；（ 87PPPP ） ②、对矩阵 m n m nm n m n A AA A × ，存在 n mn mn mn mPPPP × ， nnnnPA EPA EPA EPA E= ( )r A nr A nr A nr A n⇔ = 、 PPPP的行向量线性无关； 14. 1 2, , , ssssα α αα α αα α αα α αL 线性相关 ⇔ 存在一组不全为 0 的数 1 2, , , ssssk k kk k kk k kk k kL ，使得 1 1 2 2 0s ss ss ss sk k kk k kk k kk k kα α αα α αα α αα α α+ + + =L 成立；（定义） ⇔ 1 2 1 2( , , , ) 0ssss s ss s x xx x x xx x x xx x α α α α α αα α α α α α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ L M 有非零解，即 0AxAxAxAx = 有非零解； ⇔ 1 2( , , , )ssssr sr sr sr sα α αα α αα α αα α α 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 ⇔ =TTTTC AC BC AC BC AC BC AC B，其中可逆； ⇔ TTTTx Axx Axx Axx Ax与 TTTTx Bxx Bxx Bxx Bx有相同的正、负惯性指数； ③、 AAAA与 BBBB相似 1−⇔ =P AP BP AP BP AP BP AP B； 5. 相似一定合同、合同未必相似； 若 C CC C 为正交矩阵，则 TTTT C AC B C AC BC AC B C AC B= ⇒ A BA BA BA B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A AA A 为对称阵，则 A AA A 为二次型矩阵； 7. n nn n 元二次型 TTTT x Ax x Axx Ax x Ax 为正定： A AA A⇔ 的正惯性指数为 nnnn； A AA A⇔ 与 EEEE合同，即存在可逆矩阵CCCC，使 TTTTC AC EC AC EC AC EC AC E= ； A AA A⇔ 的所有特征值均为正数； A AA A⇔ 的各阶顺序主子式均大于 0； 0, 0 ii iiii ii a A a Aa A a A⇒ > > ；(必要条件) 线性代数公式大全 1、行列式 2、矩阵 3、矩阵的初等变换与线性方程组 4、向量组的线性相关性 5、相似矩阵和二次型