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有趣的图形数 (一) 古希腊数学家毕达哥拉斯和他的学派,对数学的发展做出过巨大的贡献。 毕达哥拉斯认为“数是万物之源”。1
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示点,2表示线,3表示面,4表示体(如图): 世间万物无一不是由点、线、面、体所组成,而1+2+3+4=10,因此,10就可以表示宇宙。 毕达哥拉斯把自然数看成是点的集合,尤其看重能够排成三角形、正方形、长方形等图形的数,把它们称为“三角形数”“正方形数”“长方形数”等。 所谓三角形数,就是: …… 1 3 6 10 正方形数,就是: …… 1 4 9 16 长方形数,就要根据长和宽的不同情况来描绘。 下面我们就用这三种数推出一些重要而常用的
公式
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。 公式一:两个三角形数可以组成一个长方形数: 所以,(1+2+3+4+5)×2=5×6,即, 1+2+3+4+5= 推而广之,如果三角形数有n层,长方形数就有n层,每层有n+1个点,于是得到求连续自然数之和的公式: 1+2+3+…+n= 从图上还可以看出,三角形数也能用 表示。换句话说,从1开始到n的连续自然数的和,就等于第n个三角形数。 公式二:正方形数可以这样划分: 所以,1+3+5+7+9=52。推而广之,如果正方形数有n层,第n层就有2n-1个点,于是得到求连续奇数和的公式:1+3+5+…+(2n-1)=n2 公式三:长方形数可以这样划分: 所以,2+4+6+8+10=5×(5+1)。推而广之,如果长方形数有n层,第n层就有2n个点,于是得到求连续偶数和的公式:2+4+6+…+2n=n(n+1) 公式四:正方形数还可以这样划分: 先按横行从1加到5,再按竖列从4加到1,即,1+2+3+4+5+4+3+2+1=52。推而广之,如果正方形数有n层,于是得到求从1到n再到1的连续自然数之和的公式:1+2+3+…+n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=n2 图形数把抽象的数,与直观的图形巧妙地联系起来,这种数形结合的
方法
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,是一种常用的数学思想方法。下面我们用这种方法再推出两个重要的公式。 公式五:把12、22、32、42、52这5个连续的正方形数稍加变形,排成左下方的“摩天楼形”: 如果在它的两侧各加上同样的5个连续的正方形数,就会得到一个像右上方的那样的长方形数。摩天楼形数等于 12+22+32+42+52 长方形数是它的3倍,等于 3×(12+22+32+42+52) 而这个长方数有 1+2+3+4+5= 层,每层有2×5+1个点,所以, 3×(12+22+32+42+52)= ×(2×5+1) 即, 12+22+32+42+52= 推而广之,就得到求连续平方数的和的公式: 12+22+32+…+n2= 真是妙不可言! 公式六:下面的大正方形是由一些边长分别是1、2、3、4、5的小正方形拼成的。 观察发现,虽然有两处重叠,不过这两个重叠部分与各自右下方的空白部分大小相等,正好可以用重叠的那一层补上空白部分。于是可以说,这个大正方形是由1个边长为1的正方形、2个边长为2的正方形、3个边长为3的正方形、4个边长为4的正方形和5个边长为5的正方形拼成的,它的面积等于 1×12+2×22+3×32+4×42+5×52=13+23+33+43+53 因为大正方形的边长等于1+2+3+4+5,所以 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2 而 1+2+3+4+5= 于是 13+23+33+43+53=[ ]2 推而广之,就得到求连续立方数之和的公式: 13+23+33+…+n3=[ ]2 于是,连续立方数的和,等于连续自然数之和的平方。因为连续自然数之和就等于相应的那个三角形数,换句话说,连续立方数的和等于相应的三角形数的平方,真是不可思议! 上面我们用数形结合与合情推理的方法,轻而易举地得到六个非常重要而常用的公式,使我们不能不又一次为数学内在的奥秘所陶醉,为她那无与伦比的美所倾倒。这,就是数学的魅力! (二) 从前面的叙述可以知道: 三角形数,实际上就是从1开始的一些连续自然数的和: 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,… 正方形数,实际上就是从1开始的一些连续自然数的平方: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,… 那么,有没有这样的自然数,既是三角形数又是正方形数呢?有,并且有无限多个。它们是: 1,36,1225,41616,1413721,48024900,… 这类数是两个自然数的平方的积,也就是说,是两个正方形数的积。 1=12×12; 36=32×22; 1225=72×52; 41616=172×122; 1413721=412×292; 48024900=992×702; …… 三角形数、正方形数,既然可以看成点的集合,那么,如果把三角形数: 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,… “一层一层摞起来”,就可以形成“四面体数”:(四面体—底面是三角形的锥体。图略) 1,4,10,20,35,56,84,120,… 同样,如果把正方形数: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,… “一层一层摞起来”,就可以形成“金字塔数”:(金字塔—底面是正方形的锥体。图略) 1,5,14,30,55,91,140,204,… 那么,有没有这样的数,既是正方形数又是金字塔数呢?有,但是只有一个,就是4900,实在有点意外。 关于三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数,还有一些意想不到的性质。 1、自然数的立方和,等于相应的三角形数的平方。如, 从1开始的前3个自然数的立方和,13+23+33=1+8+27=36,而第3个三角形数是6,62等于36。从1开始的前5个自然数的立方和,13+23+33+43+53=1+8+27+64+125=225,而第5个三角形数是15,152等于225。 这一条,在前面已经谈到过。 2、任意两个相邻的三角形数的和,都是正方形数。如, 三角形数1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,…中,3+6=9,21+28=49,45+55=100,而9、49、100都是正方形数。 这一条,一画出来就会明白。 而下面这条新的性质就很难想像: 3、任意两个相邻的四面体数的和,都是金字塔数。如, 四面体数1,4,10,20,35,56,84,120,…中,1+4=5,4+10=14,10+20=30,20+35=55,35+56=91,56+84=140,84+120=204,而5、14、30、55、91、140、204都是金字塔数。 对有趣的图形数,已经谈得够多了,就此打住。 三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数,都是自然数的化身。自然数就是这样,既朴实无华又奥妙无穷。难怪毕达哥拉斯学派对自然数顶礼膜拜奉为神明。自然,是世间万物的本源,自然,又是世间万物的归宿。在数学中,自然数又何尝不是这样!