Ch2_离散型随机变量及分布

nullnullCh2 离散型随机变量null随机变量的概念 一维离散型随机变量的分布律 二维离散型随机变量 离散型随机变量 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的分布律 null第一节 随机变量的概念引例： 做试验抛一枚匀质硬币，其样本空间 ＝{}＝{H,T} 可规定随机变量 X＝X()＝ null定义 设随机试验E的样本空间是，若对每个，有定义在上的一个实数X()与之对应，称这样一个定义在上的单值实函数X＝X( )为随机变量（Random Variable），简记为 r.v. X。 随机变量一般用英文大写字母X、Y、Z等 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 ，也可用希腊字母、等表示。null随机变量的分类： null第二节 一维离散型随机变量的分布律一、离散r.v.及分布律的概念定义 全部可能取值为有限个或可列无限个的随机变量为离散型随机变量。即全部可能取值至多为可列无限个的随机变量为离散型随机变量。null若X为离散型随机变量，其取值为x1, x2, …, xn, …，X取每个可能值的概率为null也可表示为X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )，“概率分布表”形式或(1) pk  0, k＝1, 2, … ;分布律的性质例 1例 1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令： X：取出的5个数字中的最大值．试求 X 的分布律．例 2设随机变量 X 的分布律为null二、几个常见的离散型分布1. 退化分布(单点分布)X～P{X＝a}＝1，其中a为常数。即例如：抛一枚全是正面的硬币null2. (0－1)分布(两点分布)或 X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0< p <1) k＝0，1X 0 1P 1-p p例如：抛正常的硬币null3. 几何分布( G(p) ) 以X表示A首次发生所需的试验次数，则其分布率为：X～P{X＝k}＝ (1－p)k－1 p, (0< p <1) k＝1, 2, …称X服从 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 为p的几何分布。null图形如下所示： null4. 二项分布 ( B(n, p) ) 以X记n重贝努里试验中A发生的次数，则其分布率为：称X服从参数为(n，p)的二项分布，记为X~B(n，p)null图形如下所示： 例3例3 一张考卷上有5道选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？null5. 泊松(Poisson)分布 ( P() ) 若随机变量X的所有取值为一切非负整数，且其分布律为：其中 > 0为常数，称X服从参数为的泊松(Poisson)分布，记为X~P()。null图形如下所示： null 若X(t)表示在时间区间[0，t ]中某服务台到达的顾客数。若X(t) 满足：（1）在不重叠的时间区间内到达的顾客数相互独立（无后效性）；（2）在时间区间[a，a+t]内到达的顾客数只与时间长度有关，而与区间起点a无关（平稳性）；（3）当t充分小时，在区间（a，a+t）内到达两个或两个以上的顾客是不可能的（普通性）；（4）在有限区间中只到达有限个顾客且不可能始终没有顾客到达（非平凡性）。null定理 在上述条件下，在长度为t的时间区间上到达的顾客数X(t)服从参数为t的Poisson分布，其中0是一个常数。Note:此分布常用在某一事件间隔内收到的呼叫次 数，放射性放射物在某一时间间隔内发射的粒子数， 容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间 隔内来到某服务台要求服务的人数，等等null6. 负二项分布（ NB(r,p) ） 以X记可列重贝努里试验中A恰好发生r次所需的试验次数，则其分布率为：称X服从参数为(r，p)的负二项分布，记为X~NB(r，p)负二项分布又叫帕斯卡(Pascal)分布null图形如下所示： null7. 超几何分布（ h(N,M,n) ） 设N个元素分为两类，其中M个属于第一类，NM个属于第二类。现从中按不重复抽样取n个，以X记这n个中属于第一类元素的个数。则X的分布律为：称X服从参数为(N，M，n)的超几何分布。null三、常见分布律之间的关系1. (0－1)分布和二项分布的关系(0－1)分布是二项分布B(n, p)中n＝1时的特例。2. 几何分布和负二项分布的关系几何分布是负二项分布NB(r, p)中r＝1时的特例。null3. 超几何分布和二项分布的关系k＝0, 1, 2, …, n即 当N充分大时，超几何分布趋向于二项分布。事实上：超几何分布用来描述不放回抽样的情况；当N充分大时，两种抽样方式的差别很小。而二项分布则用来描述放回抽样的情况；null4. 二项分布和泊松分布的关系k＝ 0, 1, 2, …该定理也称为泊松定理。null 泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是泊松分布，即其中＝np. 一般的，当n  10 ， p  0.1时就可用泊松分布近似代替二项分布。null例 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。解设X表示400次独立射击中命中的次数，则X～B(400, 0.02)，故P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)＝0.997165另解(用泊松分布)由于 =np＝(400)(0.02)＝8,故近似有P{X  2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981null 为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？ 解：设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台数为 X ，则 X~ b(300，0.01），近似X~ P(3)， 需要确定最小的 N 的取值，使得：例null查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配备 8 个工人。null5. 负二项分布和二项分布的关系定理 设 r.v. X ~B(n, p)，Y~NB(r, p)，则有null第三节 二维离散型随机变量引例null一. 二维离散随机变量联合分布律 若二维随机变量(X, Y )只能取至多可列个值(xi , yj ), (i , j＝1, 2, … )，则称(X, Y )为二维离散型随机变量。 若二维离散型随机变量(X, Y ) 取 (xi , yj )的概率为pij ,即 P{X＝xi , Y＝ yj}＝ pij ，(i , j＝1, 2, … )则称 pij 为二维离散型随机变量(X, Y )的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律。可记为 (X, Y )～ P{X＝xi , Y＝ yj }＝ pij ，(i , j＝1, 2, … )null 二维离散型随机变量的联合分布律也可列表表示如下：null联合分布律的性质( 1 ) pij  0 , i, j＝1, 2, … ；null例 nullnullnull二、边缘分布律若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y )～ P{X＝xi , Y＝ yj }＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )则称 P{X＝xi }＝pi .＝ ，i＝1, 2, …为(X, Y )关于X的边缘分布律；同理 P{Y＝ yj }＝p.j＝ ，j＝1, 2, …称为(X, Y )关于Y的边缘分布律。null边缘分布律自然也满足分布律的性质：null 二维离散型随机变量的边缘分布律也可列表表示如下：pi .p.jp1 .p2 .pi .......p.1p.2p.j......1null例 设(X，Y )的联合分布律为：试求X和Y的边缘分布律。null1/31/31/31/21/61/31pi .p.j解null三、 条件分布律设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y )～ P{X＝xi , Y＝ yj }＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )X和Y的边缘分布律分别为 P{X＝xi}＝pi . ，i＝1, 2, … 和 P{Y＝ yj }＝p.j ，j＝1, 2, … null若对固定的 j, p. j >0,则称i= 1, 2, …为Y＝ yj 的条件下，X的条件分布律。记为 pi | j＝null同理，若对固定的 i , pi . >0, 则称Pj | i＝j= 1, 2, …为X＝ xi的条件下，Y的条件分布律。条件分布律也满足分布律的性质。null例 一射手进行射击，命中目标的概率为p (0< p <1)，射击进行到命中目标两次为止，现用X 表示首次命中目标所进行的射击次数，用Y 表示总共进行的射击次数。试求X 和Y 的联合分布律及条件分布律。解由题意知（X，Y）的分布律为P{X=m , Y=n }＝p 2 (1－p) n －2n=2, 3, …，m=1, 2, …, n－1；X服从参数为p的几何分布，其分布律为P{X=m }＝p (1－p) m －1， m=1, 2, …nullY服从参数为 (2, p)的负二项分布，其分布律为P{Y=n}＝(n－1)p2(1－p)n－2， n=2, 3, …(X和Y的边缘分布律也可由联合分布律求得)于是当n=2, 3, … 时Pm |n＝P{X=m|Y=n }＝m＝1, 2, … ,n－1null当m=1, 2, … 时Pn | m＝P{Y=n|X=m }＝n＝m+1, m+2, …null四、离散型随机变量的相互独立性设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y )～ P{X＝xi , Y＝ yj }＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )若对任意的 i、j，有pij ＝ pi . ·p. j，即 P{X＝xi , Y＝ yj }＝ P{X＝xi }P{Y＝ yj }则称随机变量X与Y相互独立。null例nullnull 上述独立的概念不难推广到n维离散型随机变量的情形。设X1，X2，… , Xn 为一个n维离散型随机变量，若对任意的 x1，x2，… , xn 有:P{X1= x1 , X2= x2 , … , Xn = xn } = P{X1= x1}P{X2= x2 } … P{Xn = xn }则称随机变量X1，X2，… , Xn相互独立。null第四节 离散型随机变量函数的分布律1. 一维离散型随机变量函数的分布律定理 设X一个随机变量，若 y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X )也是一个随机变量。若 X～P{X＝xk }＝pk , k＝1, 2, … 则Y＝g(X)～P{Y＝g(xk )}＝pk ， k＝1, 2, …其中g(xk )有相同的，其对应概率合并。显然，Y的分布律也满足分布律的性质。nullnull2. 多维离散型随机变量函数的分布律定理 设X1，X2，… , Xn 一个 n 维随机变量，若y＝g(x1, x2, … , xn )是一个 n 元实值函数，则Y＝g(X1，X2，…, Xn )也是一个随机变量。nullnull例 设 X～P( 1), Y～P( 2)，且 X 与Y 相互独立，求 Z＝X＋Y 的分布律。