第六章6.1-6.2迭代法思想null第六章 解线性方程组的迭代法第六章 解线性方程组的迭代法第一节 引言迭代法的基本思想迭代法的基本思想 从某一个给定的初始值 出发，按照一个适当的计算法则逐次计算生成序列
，当序列收敛于 ，即极限 ,则 是方程组AX=b的解。 对于线性方程组AX=b,迭代法的基本思想是：迭代法需要解决的问题迭代法需要解决的问题选择一个初始近似向量 ...
null第六章 解线性方程组的迭代法第六章 解线性方程组的迭代法第一节 引言迭代法的基本思想迭代法的基本思想 从某一个给定的初始值 出发，按照一个适当的计算法则逐次计算生成序列
，当序列收敛于 ，即极限 ,则 是方程组AX=b的解。 对于线性方程组AX=b,迭代法的基本思想是：迭代法需要解决的问题迭代法需要解决的问题选择一个初始近似向量 ；
构造一种计算法则（迭代格式），由
计算 ；
证明所得向量序列 的收敛性；
若 收敛于 ，则 是原问题的近似解，该近似解的误差如何估计。初始近似向量的选择初始近似向量的选择 实际计算中，通常取 为元素全零或全1的向量。 初始向量的选取对迭代序列的收敛性没有影响。迭代格式迭代格式例：用迭代思想求解线性方程组迭代格式迭代格式 解：根据迭代的思想，建立迭代的计算规则。将AX=b改写为如下形式：X = B X + f迭代格式迭代格式 取初始向量为 ，代入迭代格式计算得到：迭代格式迭代格式 将方程组 AX=b ( |A|0 ) 转化为与其等价的方程组 X = BX+f 。X(k+1) = BX(k) + f （k=0,1,2,)取初始向量 X(0) ，依此类推一阶定常迭代。null第二节 基本迭代法第二节 基本迭代法雅克比(Jacobi)迭代法雅克比(Jacobi)迭代法雅克比(Jacobi)迭代法雅克比(Jacobi)迭代法其中 aii(i)0 ( i=1 , 2 , …, n)雅克比(Jacobi)迭代法雅克比(Jacobi)迭代法建立迭代格式：雅克比(Jacobi)迭代法雅克比(Jacobi)迭代法称为雅可比(Jacobi)迭代法，也称作简单迭代法。雅克比(Jacobi)迭代法雅克比(Jacobi)迭代法雅克比(Jacobi)迭代法雅克比(Jacobi)迭代法雅克比(Jacobi)迭代法雅克比(Jacobi)迭代法高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代 由Jacobi迭代可以看出，每次计算 新值时，用的都是 ，即 的旧值，但事实上，在计算 时，
已经计算得到了，所以可以将原来的迭代进行改善。高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代或简写为：称为高斯—塞德尔（Gauss — Seidel）迭代法。高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代例2 用Gauss—Seidel 迭代法解上题。高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代解： Gauss-Seidel迭代的迭代格式为：高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代取 x(0)=(0,0,0)T 计算如下：Jacobi法需要12次迭代。。。null迭代法的矩阵描述迭代法的矩阵描述迭代法基本思想的矩阵描述：分裂矩阵；
是A的某种近似。迭代法的矩阵描述迭代法的矩阵描述与一阶定常迭代对照得：选择不同的分裂矩阵M可以得到不同的迭代法。Jacobi迭代法的矩阵描述Jacobi迭代法的矩阵描述如果将矩阵A改写成形式：A=D-L-U-L-UDJacobi迭代法的矩阵描述Jacobi迭代法的矩阵描述 当选分裂矩阵为D时，对应得到的即为Jacobi迭代法。
A=D-(L+U)=M-N; M=D, N=L+U雅可比迭代法可写为矩阵形式Jacobi迭代法的矩阵描述Jacobi迭代法的矩阵描述G-S迭代法的矩阵描述G-S迭代法的矩阵描述 当选分裂阵为A的下三角阵部分，即M=D-L时，对应得到即为Gauss-Seidel迭代法。记为G，称作G-S迭代的迭代阵。迭代法的矩阵描述迭代法的矩阵描述 例：用矩阵形式的Jacobi迭代和G-S迭代形式求解线性方程组：迭代法的矩阵描述迭代法的矩阵描述Jacobi迭代：迭代法的矩阵描述迭代法的矩阵描述取 x(0)=(0,0)T 经过三步迭代后得到下面的结果：迭代法的矩阵描述迭代法的矩阵描述G-S迭代：或：迭代法的矩阵描述迭代法的矩阵描述或：迭代法的矩阵描述迭代法的矩阵描述取 x(0)=(0,0)T 经过两步迭代后得到下面的结果：
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