谱方法解微分方程的超几何收敛现象

湖南师范大学 硕士学位 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 谱方法解微分方程的超几何收敛现象 姓名：谭芳芳 申请 关于撤销行政处分的申请关于工程延期监理费的申请报告关于减免管理费的申请关于减租申请书的范文关于解除警告处分的申请 学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：张智民 20100501 摘 要 有限差分法、有限元方法、谱方法为求微分方程的三大数值方 法，其中谱方法又分为谱Galerkin方法、Tau方法和配点法。谱方 法具有“无穷阶静收敛性，即如果原方程的解无穷光滑，那么用适 当的谱方法所求得的近似解将以P_1的任意次幂收敛于精确解，即 0让一upf|<∞～，谱方法对应的P一般都远远小于有限差分、有限元 法对应的P．现国内外关于谱方法误差分析已经有大量的研究成果， 例如Z．Zhang在文f31】中证明了Legendre配点法具有超几何收敛的谱 精度形式e-。rOogp一所． 本文着重于从数值例子上观察应用配点法求解微分方程时的超 几何收敛现象。首先，我们采用Fourier配点法、Chebyshev配点法、Lege- ndre配点法解微分方程，其中有二阶常微分问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，一维、二维特征值 问题。然后针对我们解方程所得到的数值解，分析它们的误差及其 一阶导数的误差．最后通过观察分析，我们发现上述三种方法对问 题数值的逼近都具有超几何收敛性，而且，我们所得到的误差估计 也具有超几何的谱精度形式． 关键词： 超几何收敛，Fourier配点法，Legendre配点法，Chebyshev 配点法 ABSTRACT Therearemailllythreenumericalmethods，whicharefinitedifference method，finiteelementmethodandspectralmethod，forsolvingdifferential equations．Specially,spectralmethodisdividedintothreemethodsonceagain， whichareGalerkinspectralmethods．Taumethodandcollocationmethod． Aboutspectralmethod，ithasconvergenceof”infiniteorder'’．Ontheother word，ifthesolutionoftheoriginalequationisinfinitesmooth，thentheap- proximatesolutionwhichisobtainedbyspectralmethodwillconvergetothe exactsolutionwithP～havingarbitraryexponent，thatis IIu一％lI<唧～， ThePcorrespondingtospectralmethodisgenerallyfarsmallerthanthe Pcorrespondingtofinitedifferenceorfiniteelementmethod．UptonOW， athomeandaborad，therealreadyhavemanystudiesontheerroranalysis ofspectralmethod．Forexample，thatLegendrecollocationmethodhaving super-geometricconvergenceofthespectrumwiththeultra-precisionformof e-a申(109p—a)[311wasprovedintheory． Inthisthesis，wefocusesonobservingthesuper-geometricconvergence phenomenonfromsomeexamples，whenapplyingthecollocationmethodto solvedifferentialequations．Firstly,weapplyFouriercollocationmethod， ChebyshevcollocationmethodandLegendrecollocationmethodtosolvesome differentialequations，e．g．second-orderordinarydifferentialproblem，one- dimensionalandtwo-dimensionaleigenvalueproblem．Secondly,weanalyze theerrorofthenumericalsolutionsanditsfirstderivative．Byobservingthe figureabouterror，wefindthatabove-methionedthreemethodswhichareused fornumericalsolution’SapproximationCanreachsupergeometrieconvergence， andtheerrorestimatesobtainedintheproble】[11salsohavetheformofultra- precisiongeometryofthespectrum． Keywords：Supergeometricconvergence，Fouriercollocationmethod，Leg- endrecollocation，Chebyshevcollocationmethod． II 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果．除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 或撰写过的作品成果．对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明． 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担． 学位论文作者签名：7穷芳穆 砂Co年<只各}B 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅．本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文． 本学位论文属于 1、保密口，在 年解密后适用本授权书． 2、不保密口． (请在以上相应方框内打”~／”) 作者签名：释荔豸 加勿年厂月亏／日 导师签名：孑长够民 加卜年(／月孑／El 47 湖南师范大学硕士学位论文 1．引言 现代科学计算已是一个庞大的体系，它包含微分方程数值解(差 分法、有限元法、谱方法等)，函数逼近(c％插值、样条、正交逼近、 小波等)，数值代数(Cholesky分解、迭代法、共轭梯度法等)及最优 化等方向，但是大规模科学计算与 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 设计计算的主线仍是围绕着 微分方程数值求解，因为大自然现象，如流体力学、弹性力学、热传 导、半导体、电磁波、现代光学等，主要是用各种复杂的偏微分方程 来描述的． 谱方法从产生至今已有很长的历史，早在1820年，Navier就运用 双重三角级数求解弹性薄板问题。但是，长期以来，一直没有被广 泛应用，其原因是：1、它的计算量太大；2、满足边界条件的基函数 构造起来困难．一直到1965年出现了计算离散Fourier变换的有效算 法一一快速Fourier变换(FFT)，它给谱方法的使用带来了转机，70 年代初，出现了不少研究谱方法计算、应用及算法稳定性方面的工 作，如Kreiss、Oliger[19]、Orszag[22】等人的结果．这一时期的工作由 Gottieb和Orszag总结在他们所写的专著【14】中，这以后，尤其到了 80年代，Quarteroni、Canuto、Pasciak、Funaro、郭本瑜、Maday等人对谱 方法从理论上作了系统研究，对各类投影算子，插值算子等导出了 在各种范数意义下的误差估计，并把这些理论运用于一系列重要的 线性和非线性偏微分方程上，取得了令人满意的结果，与此同时，大 量的实际计算也证明了谱方法确实是一种十分有效的数值方法．现 在这一方法也像差分法、有限元方法一样，已被广泛的应用到流体 力学、气象、计算物理等领域． 谱方法最大的优点就是高精度，误差逼近具有几何、指数幂的收 敛速度．在文【2，6，10，16，20，23，25，26，29】中都有研究，文[27】 中，J．Shen还在数值试验中发现使用谱配点法具有超几何的收敛速 度． 本文着重于从数值例子上观察应用配点法求解微分方程时的超 几何收敛现象，采用Fourier配点法、Chebyshev配点法、Legendre配 湖南师范大学2010届硕士学位论文 点法求解微分方程，如二阶常微分问题，一维、二维特征值问题。分 析它们的数值解及其一阶导数的误差．观察发现，上述三种方法对 问题数值的逼近都达到超几何收敛，得到的误差估计都具有超几何 的谱精度形式． 本文的结构如下： 第一章简单介绍了谱方法． 第二章介绍了论文中需要用到的一些定义和定理． 第三章介绍超几何收敛的一些理论基础． 第四章重点介绍了用Fourier配点法、Legendre配点法、Chebyshev 配点法求解微分方程，列出数值结果，并且对数值结果进行了理论 分析，画出了误差图和逼近误差图。算例表明，这些方法具有超几 何收敛现象． 第五章进行总结． 2 湖南师范大学硕士学位论文 2．预备知识 2．1误差的定义 定义2．1在空间￡∞(Q，∥)上规定 ⋯IL。=e88．supIⅡ(z)I． 其中e85．sup是指本质上界，即除了某些点和线(称为零测度集)之 外，能达到的上界． 误差可表示为 ff牡一坳|fL。=e85．supI(乱一up)(x)1． 如果区间为【一1，1】则 ll乱一upllL。=supI(“一脚)p)I． 本文考虑谱配点法在k意义下的误差，即 Jl让一坳眩。=1m2M2时， 我们有 ，缈max叫(乱刊(训≤c(参)舛2， 均max扩I(一划渤)|0，取插值节点为 奶=孚，J乩1，2⋯矿1． 定义它的插值多项式为坳(z)=∑奶易(z)．使得它在点zAJ=0，1，2⋯．， P一1)处满足关系 让p(巧)=u(xj)，J=0，1，2⋯．，P一1． 其中毋(z)为次数≤P且满足缈(甄)=西的三角多项式，多项式劣(z) 有如下形式，当P为偶数时 gj(z)=；1 sin 2(x--奶)cot互1(z一巧)， 当P为奇数时 缈(z)=；1sinP(x-zj)csc互1(z一吼 插值多项式 ‰(z)=∑吗劬(z)． 式中的奶就是我们将要确定的离散Fourier系数．那么 丢吻(戤)=善p-1奶丢缈(∞． 湖南师范大学2010届硕士学位论文 记 (D戊J=刍咖a 则 丽dl邯(鳓=曼j=o奶丽dI毋(觑)=(。z动t． 其中云=(锄⋯．，砧一。)r， 通过推导和计算，得到Fourier导数矩阵，当P只取偶数时，0≤ z，J≤P一1，矩阵D的元素 ％=0(舻喊学篙 同样的，当P只取奇数时，0≤i，歹≤p—l，矩阵元素 。泸∞0玎瓠学霭 当P即取整数时，矩阵D元素为 D旷三((-1)渺㈨i叫p从p捌---1((．1)妒呐)=． D为Fourier一阶导数矩阵，为了计算需要，由Fourier一阶导数矩阵 来近似算出Fourier二阶导数矩阵， D2=(D)2． 有时为了计算方便，只取P为偶数或奇数． 下面主要是用Fourier配点法求解几个微分方程，观察超几何收 敛现象． 例1． t‘=esi们， 饥【一7r，7rJ． 用Fourier配点法逼近函数的一阶导数． “’=eSinzcosx，《=Du(x)． 12 谱方法解微分方程的超几何收敛现象 表 p llu7一乱圳艺。。p 憎～畔lIZ。 8 4．3179e-320 4．9879e．10 11 5．0257e_423 2．3998e-11 12 3．8249争525 1．0030e_12 15 3．0156争626 5．5839争13 16 1．7619争727 4．0856争14 19 1．0524争828 6．2172争15 差 从表垂1可以看到当P=28时，误差达到双精度的机器零，收敛很 快。接下来我们从图形上看误差憎一《ll乞。与error=e-a事(109p一卢’的 关系． 图4-1, 图4-2z 图垂1中，带O的曲线为在各点误差的连线，光滑曲线则是其逼 近，这里对憎一缸Iplit。取e一时1)慨p—l094＆)10-4届作为逼近，与P取奇 数时的值的连线大致吻合．与超几何收敛定义的形式一样，从而用 Fourier配点法逼近该函数一阶导数具有超几何收敛性。 可微函数u(z)满足：懈七’ll工。≤CM(¨．取M的估计值为9．8且P 为偶数时，图垂2，横坐标是P，纵坐标是llu7一u川乞。与(警)p+1的比 值，从图中看出该比值在一常数附近波动，从而有 u'-u；llt。蚓芋P． 13 例2． u：击，协[--71"，7r]．u2再面再’ m ‘ 用Fourier配点法逼近函数的一阶导数，表4-2列出了函数u=砸1 一阶导数的离散k误差，数值结果显示当P=40时，误差达到双精 度的机器零． p 憎一嵋Il羔。 p U7一嵋眩。 10 3．7156e_427 6．2429争10 12 7．4981e．530 2．4640e-ll 16 2．9988争633 3．8532争12 19 5．0697争736 L4860争13 21 9．6139e．838 2．8588e-14 24 3．8912e．940 5．9397e-15． 下面从图形上看离散L∞误差¨一嵋|12。与error=e一印(蛾p一芦)的关 系． 图4_3。对t‘。再矗1焉一阶导数的逼近 图4．4：e一舛1’‘蛔p一炫11c’：lI《一∥ff2。 14 谱方法解微分方程的超几何收敛现象 图4-5：一阶导数的逼近 图4．3对函数让=再磊1辱的|l∥一吒112。取10—2e一∽-1)(忱p_崦11。) 作为逼近，具有超几何谱精度形式，图垂4横坐标为P，纵坐标为 e一∽1)Clogp-l0911。)与W一嵋I|2。的比，其比值在一常数上下波动．图 4-5横坐标为e-G纠-1)Oogp—l09118)纵坐标为憎一缸川羔，．D是P取奇数的值，奉 是P取偶数的值．由图垂3，垂4，垂5可得到导数的误差估计为 憎一钏乞。≤c(半)舛1． 其中C和P无关． 例3．特征值问题 一乱Ⅳ+X2U=Au，z∈【一7，7】． 其特征值真解为 ～=1，3，5，7，9⋯．． 其对应的特征函数为钍产e-等甄(z)．其中鼠(z)为Hermite多项式．用 Fourier配点法解方程，求得的特征值只有前几个比较可靠，因而我 们只对前5个特征值的误差作图分析，我们发现对每一个九的逼近 随着P增大到一定的数值其误差很快达到双精度的机器零，表4-3中 我们列出了前5个特征值碍一九的相对误差，数值结果显示随着P 的增大，误差显著减小． 15 湖南师范大学2010届硕士学位论文 九 p 碍 必丸 140．9996330190113．6698e-4 20 O．99999998236l 1．7639争8 A1=123 1．0000000000313．1308e-11 25 1．0000000000002．7622e．13 26 1．0000000000001．6764e-14 15 2．9979041506146．9861e-4 2l 2．9999998922933．5902e_8 A2=325 2．9999999999835．7285争12 27 3．0000000000003．4935e114 28 3．0000000000004．1448争15 14 4．9476081951291．0478e-2 17 5．0013214482582．6429e-4 A3=519 5．0000658214031．3164e．5 23 5．0000000392887．8576争9 27 5．0000000000047．7236争13 28 5．0000000000005．9153争14 20 7．0001337891361．9113e-5 23 6．9999993418559．4021争8 入4=726 7．0000000009081．2966争10 28 7．0000000000079．7344争13 30 7。0000000000001。5226争15 21 9．0002284329352．5381争5 24 8．9999990323291．0752e．7 入5=927 9．0000000014101．5670e-10 29 9．0000000000101．1084争12 30 8．9999999999997．5199争14 下面我们从图形上看相对误差孚与e一卸(崦p卅的关系． 谱方法解微分方程的超几何收敛现象 图4-6：对A1的逼近． 图垂7：对入2的逼近 图垂8：对入3的逼近 图垂9：对入4的逼近 图4-10-对沁的逼近 图4．6至4-10中带0的曲线为在各点的相对误差的连线，带卑的曲 线则是其逼近．这里对入1的误差取10-9e一(耕2)Oogp川瑚)作为逼近， 对A2的误差取1旷9e一(针2)(Iosp_3·12)作为逼近，对b的误差取 10-9．5e一(聃2)(tosp-3．2)作为逼近，对A4的误差取10—9．6e一(聃2)(109p-3．2t)作 为逼近，对A5的误差取10—8·9e一(2p+2)Oogp一3·26)作为逼近．两条曲线的 17 吻合程度都很好． 表垂4． 九，坛 p Ce一(2p+2)Oogp一崦(竿))：碍一九 19 1．0060 23 0．9378 入1，M1=15．724 0．9843 27 1．2808 28 0．8505 19 1．2038 23 0．9860 入2，M2=16．725 1．0132 27 1．2808 28 0．8505 19 1．4345 23 0．9403 A3，M3=1824 0．9285 27 0．9830 28 1。0737 24 1．2128 26 0．7527 入4，M4=1727 0．9785 29 0．8716 30 1．4250 24 1．1464 26 0．9613 久5，M5=19．227 0．9080 29 0．9842 30 1．1481 表乒4是墨蓑：荨的比值，其中尬我们取得是估计值，我们只列出 有效范围内的一些数据，从数据结果观察，X-值在1附近摆动，则 18 谱方法解微分方程的超几何收敛现象 我们得到超几何收敛估计 Ap—A≤c(瓦eM)聃2 4．2Chebyshev配点法 Chebyshev配点法是基于ChebyrshevGauss-Lobatto点的拟谱方法，令 Tk(x)是k阶Chebyshev多项式，ChebyshevGauss-Lobatto点的定义如 飞 。 盈= 兰，江0，1⋯．，PCOS U1 P．盈2 一，0=，，⋯，． p 我们再定义Chebyshev插值多项式为嘶，多项式嘶是一个阶数不大 于P的多项式，使得它在点戤0=0，1⋯．，P)处满足关系 wp(xi)=缸(戤)，i=0，1，⋯，P． 我们可以将Chebyshev插值多项式％通过Chebyshev多项式展开成 如下形式 嘶(z)=∑仳七珏(z)=∑‰死(c。s等)， 式中的t‘七就是我们将要确定的离散Chebyshev系数． 为了能将Chebyshev配点法写成矩阵的形式，我们需要Chebyshev导 数矩阵．由计算得到Chebyshev导数矩阵． (D)∽1'卅1)=(如)，i，J=0，1⋯．，P． 这里矩阵D的元素 f2_eL6C．t，i=j『=0， 妒{蠡，‘嚣二,p-f1⋯m【一学，i=歹=p． 其中常系数Q的取法为 f2，i=0或者P， 铲11，江其他． 湖南师范大学2010届硕士学位论文 上面是Chebyshev一阶导数矩阵，为了计算需要，由Chebyshev一阶 导数矩阵来近似算出Chebyshev二阶导数矩阵， D2：D×D。 现在我们用Chebyshev配点法来解决一些问题，分析数值结果，观 察超几何收敛现象． 例4．微分方程 ∥=e缸， -111L。≤CM南得到 前5个特征函数对应的尬=害，江1，2，3，4，5．图4-15至4-19中带D 的为误差曲线，带木号的为逼近曲线，对A。的误差取10．7(笔)聃2作 为逼近，对A2的误差取10_7与(篆)聃2作为逼近，对入3的误差取 10_8．s(鲁)聃2作为逼近，对入4的误差取10_9(警)计2作为逼近，对k 27 湖南师范大学2010届硕士学位论文 的误差取10一、(e4pS’r)计2作为逼近，两条线的吻合程度很好．图4-20至 4-24都是横坐标为P纵坐标为c(曼2丝p)聃2：碍一九的比值，从图中我 们可以看到，其值都是在某一常数上下波动，因此我们得到超几何 收敛估计 胪一A≤c(瓦eM)棚． 例8．二维特征值问题 一△t正=入t‘，-1