nullnull第五章 测量误差的基本知识 §5.1 测量误差概述
§5.2 衡量精度的
标准
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§5.3 误差传播定律
§5.4 算术平均值及其中误差null 测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：
1、对同一量多次观测，其观测值不相同。
钢尺量距 l1 ≠ l2
2、观测值之和不等于理论值：
三角形 α+β+γ≠180°
闭合水准 ∑h≠0
误差：观测值与其客观真实值之差。§5.1 测量误差概述一、什么是误差null二、测量误差的来源（产生原因）研究测量误差的根本目的：
1、研究测量误差产生的原因和变化规律
2、找出减弱误差的对策、保证测量成果达到必需的精度1. 仪器误差测量仪器的精密度
2. 观测误差观测者感觉器官的鉴别能力
3. 外界条件温度、湿度、大气折光观测条件 等精度观测
不等精度观测null三、测量误差的分类与处理原则粗差(gross error)——剔除
系统误差(Systematic errors)——改正
偶然误差(random errors)——多余观测
1、粗差
特别大的误差（错误，如读错、记错、算错)
处理原则: 细心观测、粗差探测，消除或削弱
null2、系统误差 — 误差的大小、符号相同或按
一定的规律变化。 例 ：钢尺—尺长、温度、倾斜改正
水准仪 — i角
经纬仪 — c角、i角
在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下性质（一定）：
（1）误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；
（2）误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；
注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。 null处理原则：
（1）校正仪器；
（2）观测值加改正数；
（3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。
如：往返测、对向观测、盘左盘右 null 在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向， 即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。 2、偶然误差null例： 2、偶然误差的性质（不定）误差概率分布曲线null①有界性：在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度;
②密集性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；
③绝对值：相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；
④抵偿性：同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即： 处理原则:采用合理的数据处理方法削弱其影响null精度：又称精密度，在对某量进行多次观 测中，各观测值之间的离散程度。§5.2 衡量精度的指标一、 中误差一、 中误差 定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1， l2，……，ln，偶然误差（真误差）Δ1，Δ2，……，Δn，则中误差m的定义为：式中:说明：中误差越小，观测精度越高null式中：
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。null解：第一组观测值的中误差：
第二组观测值的中误差：
，第一组的精度高于第二组的精度null 定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。二、容许误差（极限误差） 2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即Δ容=2m 或Δ容=3m 。极限误差的作用：区别误差和错误的界限。null 相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相
应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式
来表示，称其为相对（中）误差。即:三、 相对误差 一般情况 :角度、高差的误差用m表示，
量距误差用K表示。null[例]已知：D1=100m, m1=±0.01m，D2=200m, m2=±0.01m，求K1, K2
解：null 概念
阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律 函数形式倍数函数
和差函数
线性函数
一般函数§5.3 误差传播定律null一、 线性函数设线性函数为：式中 为独立的直接观测值，
为常数， 相应的
观测中误差为 。 null设非线性函数的一般式为：
式中： 为独立观测值；
为独立观测值的中误差。二、 非线性函数null式中： 是函数f对x的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数。此时上式变为线性函数，可得其中误差（误差传播定律一般形式）：求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得null 1.列出观测值函数的表达式
2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式
3.根据误差传播律计算观测值函数中误差
注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。 三、 运用误差传播定律的步骤null[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距离D的中误差？
解：1.函数式
2.全微分
3.求中误差
null误差传播定的几个主要公式：null 设在相同的观测条件下对未知量观测了n
次，观测值为l1、l2……ln，中误差为m1、
m2 …mn，则其算术平均值（最或然值、似真
值）L 为：一、 求最或是值§5.4 算术平均值及其中误差null 设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为（i=1，2，…，n）
将上式相加得
或
故
说明，n趋近无穷大时，L即为真值推导过程：null 因为
式中，1／n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。
设平均值的中误差为mL，则有
二、 算术平均值中误差mLnull 由此可知，算术平均值的中误差为观
测值的中误差的 倍。
故null三、精度评定 第一公式第二公式
（白塞尔公式）条件：观测值真值x已知条件：观测值真值x未知 算术平均值L已知其中 ， 为观测值真误差
为观测值改正数null例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于
表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值L中误差是：
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