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e叉副载自 lEZ 雪路:￡52
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曹E 望E 掌 第一讲函数极限连续.t:也www.wendu.com
第一讲函数极限连续性
A. 重点知识结构图
函
l盟
系关的界无
义数定函句一弓性性性即EE
--
界号
大大
A阳
ι啊
'穷穷则则资
-B
无制限剧
。
灿
的极算耍'在要运重
重的的
限限
极
函数连续性的定义
r第一类间断点间断点的分类{L第二类间断点
|两数的连续性问连续函数的运算性质
初等函数的连续性
「最大最小值定理
|有界性定理在闭区间上连续函数的性质〈|介;值定理
飞最介值定理
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高等数学辅导讲义 ⑥!又割裂窝
B 基本内容
一、函数
1.函数的定义及定义域
(1)函数的定义及定义域的定义.
(2) 函数定义的两要素:定义域和对应法则.
(3) 两个函数相同的条件:定义域和对应法则都相同的两个函数是相同的函数.
Z 2 - x -2 如:①fCx) = 与 g(X) . . . x 十 1 不同，因为定义域不同.x - 2 ... '" ,-, ..,.
( f(x) = .j sin2 x 与 g(x) = sinx 不同，因为对应法则不同.
( f(x) = XZ + sinz x + cos? x 与 g(t) = t2 + 1 相同.
山 建: 二、号在中两个函数的定义域与对应法则都相同，虽然其自变量所用字母奋I，..，c;. I
飞阶J
同无关注" ... /. .
(4) 单值函数:若在函数的定义域内每一个 z 只对应一键挣号，则称其为单值函数
2. 函数的定义域的求法
(1)分式函数，分母不等于 O
(2) z:y石 ， u 二主 o Cη 为正整数〉
(3)lnu ,u> 0
(4)arcsinu ,arccosu I u Iζ1
(5) 多个函数的和、差的定义域是 义域的交集.
有定义，而 y = f(u) 在 uo = ψ(xo ) 处有定义，则
j[ψ(x)J 称为由 y = f(u) 和 u= 抖。复合而成的
y = [arctan(x !卡 sinx)芦 ，
设 u = arctan(x ~十 sinx) ， v = x+sinx ，则所给函数由 y -..: ut 、 u = arcta'nv、v=x+
Slnx 复合而成.
4. 反函数
(1)若由函数 y = f(x) 得到函数x >rly) ，则称 x= ψ(y) 是 y = f(x) 的反函数 ，y=
f(x).为直接函数.反函数也可记为 y = Jl(X).
(2) 结论:广l[f句)J = j[广I(X)J=X.
2
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www.wendu.com 阳ι ;需j仔宾楼吗蜘在，F;民 弊端离知
③有界'性:若存在M>O，对-tJ] x E 1 ，哉赴京工) 1ζM，则称 f(x) 在点集 I上有界.
④周期性:设 f(刻的定义域为 1， 若在6罚立:> 0 ，对任意 Z 仨 1，都使得 f(x 十T)=
东 T为其周期.通常周期是指最小的正数 T.
联系起来，离开了点集民这些概念是没有任何意义的-
U哪3 、
， 、
且也不能说是全体实数4日戈 的定义域为f子:今毛主告;二专}
=奇函数
鉴l数=奇函数
偶函数=偶函数
b. 偶函数十偶函数=偶函数
ι 奇函数·奇函数=偶函数
一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和的
主示式为:
②关于周期性
一 f(x) - f(-x) I f(工) +J(+i-- x) f(x) 一 2
T a. 若 f(x) 以 T 为最小正周期，则 f(wx) 以「可〈ω 芋 ;0) 为最小正周期.|α)1
b. 多个函数的和、差、积的最小正周期一般为各个函数的最小正周期的最小公倍数.如 y
=二 sin4x+ cos3x 的最小正周期为主，益的最小公倍数 2π. 不过也有例外，如 SI町、 cosx 的最
: ~tl ←，.. .>ι虫 1 、 岳 3
3
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y高等辩输拼辩 / ，~ 黯 自费又e一
小正周期均为 ，2n:，但 y =sinxcosx 的最小正周期为1π.
(3) 导函数的特性:若函数 f(x) 可导，则
①奇〈偶)函数的导函数是偶〈奇)函数.
②周期函数的导函数是和原来函数有相同周期的周期函数.
(4) 原函数的特性:若函数 f(x) 存在原函数，则
①奇函数的原函数是偶函数.
②偶函数的原函数中只有一个是奇函数.
注: 周期函数的原函数不一定是周期函数，如 f(对= 1 +cos.x是以 2π 为周期的民数
之- F(x) = x +sinx 就不是周期函数.
6. 初等函数
(1)基本初等函数:幕函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三
为基本初等函数.
(2) 初等函数:由常数和五类基本初等函数进行有限次m
个式子表示的函数称为初等函数.
-雨数
的一种或几种就可以，但一定只能
二、极限
1.极限的概念
(1)数列的极限的定义
于十U趋n#
叉
，
当到极阳刚
J
解
阳明问理立称②成则都否 Ixn-al
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
某一个时刻开始数列的一般项与常数 a 之差的绝对值小于任意小的
z 寸 α 之间的距离要任意小，即 x" 要无限趋近于a ，而不是越来越接近于 a.
限与其子数列的极限的关系:
x"气d(n→∞)的充分必要条件是其任一子数列以 a 为极限.
(2) 当 z→∞时函数的极限
①定义:Th>O ， 3X>O，使当 Ixl>X 时，对应的函数值都满足
I f(x)-A IX改为 x >
4
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www.wendu.com 锻耀 111 树林战拌机主壁江
x(或 x<-x) 即可.
(3) 当 z→xo 时函数极限的定义
①定义:Vξ> 0 , 3 0'> 0 ，使当 0<1 x-xo 1< δ 时
1 f(x) -A 1< ε
则称 z→Xo 时函数 f(x) 以常数 A 为极限，记为limf(x) == A
②理解定义应注意的问题
α. 定义的精髓与数列极限的定义相同.
b. 当 o
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
在 Xo 点此不等式
着 z→Xo 时 f(x) 以 A 为极限与 f(X) 在 Xo 点是否有定义及即使有定义函
关.
③z→Xo 时函数的左、右极限
如:设
、，
p冬 俨
n = 1 ， 2 ，'"时
当 n = 1 ， 2 ，…A一 1 时
(3) 极限与无穷小量的关系
, _;J ;.
f(x) • A 件 f(x) =A+α. 其中 α是在与f(x)→A 时自变量的同一变化趋势下的无
穷小量.
(4) 无穷小的比较
①定义:若lima = 0 , lirrψ=0 且卢手 0 ，则
当lim 音 =0 时，称 α 较卢高阶，记为 α= o(卢)
s
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知帧旁辅城戴晴雪 e又都赣南
当lim?= ∞时，称 α 较F 低阶
当lim?=叶 0 时，称 α 与卢同阶当α1 时，称 α 与卢等价，记为 σ ~ß.
道 a. 等价无穷小替换句用来求极限，但要注意的是，在使用时必须
或分母分项替换.
b. 常用的等价无穷小有 g 当 u→0 时
Z寻整体替换，不能分子
程中，如果 fCx) 是无穷大，则 1 为无穷小;如果 fCx) 是无穷fCx)
.... "" "..., ,. 为无穷大-<>、飞仄x)
生-~ .法?男函数元界的关系
3总理竞必)是z→xoC或 z→∞)时的无穷大量，则 fC工)必在 xo 点的某个去心邻域内(或
Ixl>刷才〉元界.
1 0 1 ②无界的变量不一定是无穷大量.如 fCx) = ~sin一在x ~' O 点的任J去心邻域内都
A‘ 、 x x J女Ïj --
无界，但 z→0 时它不是无穷大量.
4. 极限的四则运算法则
若 limfCx) = A
则 B
B
±-AA e
--=
「
l
」
-t
」
、，，，，
i!
BJui
=fbdr
-4
」·
、‘，
，，
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、
、
a，，
、、，，
/LZZ 内 νh
d
，，‘、
，，.、
muu lmm
6
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www.wendu.com 一问噩'第一讲函数极限连续性
im!Cx) 主 (B =F 0)
g(x) B
注: ①此处没有注明自变量的变化趋势，意味着等式成立的前提是在自变量的相同变化趋势下.
②使用极限的四则运算法则的前提是各自的极限存在.函数的和、差、积、商的极限存在不能保证各自
的极限存在.
5. 复合函数极限的运算法则
9. 关于极限的几个重要结论
(1)坠q~(:
(2) lim :ra . 1
1 q 1> 1
1 q 1< 1
(α>0)
.1/食满1极限必是唯一的.
?
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f J番景衅辅妥协 ' ，' 1. @叉翻翻商
(3) lim :rn = 1
，俨呻00
r=
aox" +川.r-l 干… +a" 担。(4) lim .""0 ""_" I .... J .... I ...." , -< -;u
F∞ boxm+bjx11l-j + …十 b"j , '1 bo
10. 洛必达法则
(1)条件:
①z→xo (或 z→∞)
( f(x) ,g(x)
((x) ③ limι且三存在尸IO g' (x)
(2) 结论:
飞。
当 n>m 时
当 n=m 时 (其中 ao-:::/= O,bo -:::/= 0)
当 η
(1)连续函数的和、差、积、商(分母的函数值不等于 0) 是连续的.
(2) 复合函数的连续性:若函数 u= 料到在 Xo 点连续，函数y= 乒地
连续，则复合函数 y = fIipω] 在 Xo 点连续 ~~
(3) 反函数的连续性:若函数 y= f(x) 在区间 I 上单值理调望通 续，则其反函数 y=
Jl(X) 在相应区间上单值单调且连续.
4. 初等函数的连续性
(1) 一切基本初等函数在其定义域内连续.
(2) 一切初等函数在其定义区间内连续.
士 2，…)，它在定义域内任一点都不连续.初
5. 闭区间上连续函数的性质:
(1)定理l(最值定理) :若函
(2) 定理 2(有界性定
á，bJ 上连续，则它在[a ，bJ 上必有最小值和最大值.
加工)在[α ， bJ 上连续，则它在[α，的上必有界.
(3) 定理 3(介值定
①介值定理:若 ， bJ 上连续且只a)#f(的，是 是介于f(a) ， f(b) 之间的一个
常数，则必丑Eε r/i; f(~) = C.
C.
②零点 在[α ， bJ 上连续且 fCa) • f(的 <0，则必 3~ 芒 (a ，的 ，使得 f(~) = O.
x) 在[a ，础上连续 ， 1n 、M分别是它在[a ，的上的最小值和最大值 ，m~
[a ，吨，使 f(~) = C.
一、函数的特性. 二、极限的概念. 三、无穷小量. 四、极限的求法.
五、函数连续性的概念，间断点的分类及在闭区间上连续函数的性质.
D. 典型例题解析
一、选择题
【例 1】 在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ，把所选项前的字母填在题
后的括号内.
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此 高等数学辅导讲~扭亏g 咧 命又翻辅商
(1)设在区间(一∞.+∞)内函数 j('!r) ‘二三 0 ，且当 h 为大于β 的常数时有
fb+h)=-L ，则在区间(一∞，十∞)内函数 fω 是(C，f(x)
10
A.奇函数 B. 偶函数 C. 周期函数
(2) 设 o < xn < 1. n = 1.2. …，且有 Z叶1 =-X~ +2xn •则 (C)
A. limx" : oö B. limxn 不存在 C. Hmxll = 1
,,...00
6. 等价无穷小
7. 用极限字
8. 用重
n-=
法
立注:微分及积分中值定理
的定义
,,-00
E吨3有级V 数的有关概念:级数收敛的定义、必要条件等
13. 用定积分
【例 2】求 lim Csin 'J;丰1 - sin !X) .
.r--卡D
d丰T+Jx ♂丰T-!XE解】 原式 lim 2cos r叶∞ 2 2
d丰T+!X_,_ 1 lim 2cos V "'"' I ,
产+斗。 金 2 ~.二 ， :' ----2(5丰r+J~)
= O. (有界函数×无穷小〉
D. . 单调函数
D. . limx" = 2
黯亏.0。
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www.wendu.com 削弱豪夺谣: 谣都非俨至7圳、
注2 4ED，本倒使用的方法是利用无穷小的运算性质否有界函数与无穷小的乘积为无穷I!\;;当极限式费
为多t因子的乘积肘》只要其中有、弄个因子的极限不存在吃不是无穷无〉二则可考虑应用此法.
:② 此倒不能用函数极限的四则运算法则，因为它不满足各自的极限存在的条件.
【例 3】 求下列各极限:
z-+-u-dz )二十z-n l」ll-
、、，，
L一阳。一「
L
十一h
…
(2) lim--""':;巳
户∞ ln(.jn2 +a2 -n)
. ，、峨
4
1
4 .
注: 分出法"，即把极限式子中的无穷小量分离出来，再求其极限.此法
式不能用洛必达法则或用洛必达法则求极限太繁琐时用.
;二叩一-m
产←一
一+〉
uv-Z
AM
俨一
、
04V
一寸阳叫叩仆
hp
tx
」到
+原
ln(sin2 x 十 e)-x(2) lim .."",.. I '- / 户。 ln(x2 十 e2r ) 一缸'
(4) lim ~。s(sinx) 一∞sx
2斗。、 Z
会
..... r-:oìm;r _ 1
limé= .lim 三一二土
..--0 ",....0 X - Slnx
= 1 • lim 王二旦旦= 1;
.r--O X - Slnx
〈此例周到当 Z→ 0 时，C叫 一 1 ,-..J x .-;.., sinx)
ln/1 +乓王} 旦;王 ,
‘'、严 甲(2) 原式=lim-' 气 fzlirni步一== lim旦乌兰. limex
户。 ln{ 1 十 ZL} 刊主导 ",....0 X- ",....0
飞 e-- I e一
=l(等价元，穷小替换法) ;
r ， .去iL亏，马
11
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高等数学辅导讲义 电 噩，擅 @又翻翻商
12
(3) 原式= lim tanx- Slnx
产o x{1-:- co、口) (./1 + tanx 十八十 sin.r)
tanx • slnx 1
:lT T· 主1 ·iE J1+tanz十八 +sinx
由 2
2 z Slnx • 一
2 " 1 , 1" sinx
= lim-一一「一 .lim 一一 =τlim 一一 .1=τ;
".....0 X. .r-+O COSX E, ...-o x t,
(4)【解法 1】 原式= lim
Slnx 寸-x ， Slnx-x
-t，sm 一丁二sm --~2~- 一
4
【解法 2】
.
.
z
1" sinx十 x x-sinx 1
= -:::- 11m 叫 一τ「一一 -
t,,,.....0 x x. t:,
+ 1). lim匕与豆
'x ~ , / r--O :5x"
换、重要极限、洛必达法则)
(sinx) = 1 一旦2X ‘
2!
,, 12 , 1 r , x 3 . , ," 1 民 -; +o(x~) I +士Ix一一'十 o(xJ ) I 十 o(x4 )I 乙4 L - 3!' - ,- , J
x2 一 2 • ~: + O(~4) 1+ }. [x4 + O(x4) J+ o(x4') 3! ' - .-, J' 24
':sinx < e< x(或 x
E解】 原式= lim 豆旦豆户∞ 2+ 在:
当 n →∞时，
而 I sin~n Iζ1
原式 =0.
自→∞
(如本题中
小的项合
2ζε1~3
注: 本例的定积分由于其
用定积分的中值定理处理(第1岛
、函数不是初等函数.不能先求出定积分再求其极限，此时可
极限.
E例 6】
1∞ 未定式，故可考虑用重要极限lim(1 +ω~ = e 求解，亦可用洛必达法则求解.
11. r , I ( l+x)士 -el (J-t...如工·监号与原式:;::: liml1 十 : - " J lim且←J斗e,,-.Q
~.. . :Inil:t.cl ￥ '
lim i 1-x)I/.r -e 1 "e I 一 e 1 "eτ一-， -1 1m --'-------一= l1m 一一一-一·一= l1m
..-0 x e X-O x e..-o x
原在= p-t
= lim
r-+。
lnO +到，
x "nO +x)-x
-一一---一 11口x ..-0 x-
1 唱
_1:一 l+x _1 :一 -1 1
一"…一一一一一。 二:0 2x 二叫ô 20+x) 2
13
@又翻到自
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.t.高等数学辅。川号号
原式=叫出叫乓二王i二r}
=叫时ln鸟鸣=. ex也士lnf1:川?
= exp{~!叮) -X}=叫出主主}
【解法 2】
=… J lirn 一主_1_\ "'~ 古
~~t' \:二:0 2(1 +x) J
有变限的定积分，故应首先用洛必达法则求解.
挝、斗 型未定式，但由T它是数列的极限，故东能直接，用洛必这法则求解均以将
母君主司iF时哈特别形式转化成函学唱龟壁，从吨用洛必达法则求解.
(ei - 兰)(-主)士 +e-士一 2 = lim
: limx2(e~ +e-~ -2) = lim 嘈 P叫d
.r--斗~斗吧ó 1
x 2
E解】
SEA --
1-t
一
打了
-t
-e
一
十ir e
1r d-e-士 1 ,.
111
…
11 Tr1
2 二二二。 1 2 二二二。
z
原式=1.
·•
. .
14
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www.wendu.com 毒 害苦萄街路通路盘摇捕擒队
【例 8] 已知 ψ(x) 在x=O点的某个邻域内连续，在x=O点处可导，且 ψ(0) = 0 ， ψ'(0)
I tl I c,o (u)du Idt
= 16 ，求1im!!o L.J t \A 」
r节。 sm'x
E解】
z t[fso(u)d个. .
原式=liEo f Lz • O 时，sin4 x ~ .r4 )
tzJ:so(卢)du 一J:ψ〈训u
11男 4x3 = 巳~ 4x2
= lim 工豆豆=三l1im~x) - <,0(0)
.r-O 8x 8 ~O x
=-tdω=一 2 (洛必达法则、等价无穷小替
师才求导简单.注: ①本例求解第一步使用了等价元穷小替换法以便使用洛必7
②在解答中的第 4步， 由于伊ω 仅仅是在+. :=i 0 处可导，不也 翻 法则的条件(2) 、 (3)，放不能用
洛必达法则，转而用导数的定义求极限.
【例 9】
E解】
求lim
X3 Co"S 主+J:半dt
.:r2
tcos-L
原式= 1im-一τ二二 + 1t
r--O X.
sinx2
=limeosJL+limJ一
~O x........o t,x
注: (.ll r ∞s 去)， = 3rc勺+2sin主当工→0时极限不存在(也不
是无穷大) ，故不能对
个极限用洛必达
使用洛必达法则.而要由极限的运算性质拆成两个极限之和，再将后一
②求解k
'1、气有时i
的前一个极限式子用到了无穷小的运算性质"有界函数与无穷小的乘积为无穷
他求极限的方法不可代替的.
。
rx+ !
设 f(x) 在x=O处连续，且只0) =号，又设抖。 =i 1 . '"工
.-.....…-
rZx
z f(x) (l +x)一'7 +ψ(x) 1_ cost2 dt
求1im ~-------; 、 J
产o xso~x
E解】
.
. .
I . 1 1 \ 1 1im c,o(x) = lim (x+ ~ 1= • FFYFF飞 2 ) 2
出￠ω=÷
~~山.. 2
z
sm 言 1JB仰)=!!Eτ一=言
工、<0
x>O
15
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@对自费自
.
. .
rz.r
N 、 I cost2 dt (x)" I ,_tl.r '" Jo 原式=lim L出(1十 x)--; 十 lim~一一产ö cp(x) ,- , - - ..--0 X
= lim f~x? • lim(l + x)士[-th〉]+lim cOS(2X)2 .2= 主!(0)+2 = 3.
;:'ô cp(x) 户。 ‘ 户。 1
(f:l iω
注: ①由于极限式子中出现了分段函数 rp(x) ，放要用求左、有极限的方法判断li男伊(川是否存在，是
能对
亏了 一半)=4-i=3
ex
.
. .
注: 年的lim丛旦~)和在某点处左、有极限不相等的函数
r喻。 x
4 z
=lJ十号叫) 占
E督IJ 13> 试确定常数 A 和μ 使下面等式成立
Jirdτx3 -).x 一 μ) = O.
un .::p弓声 1+ ~ (一生)叫去)Cx-∞)
♂ JJWFLu-户」叫一汪王一λ-~J
'民
宁、
ka
j n
J
16
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L 静':~棒!再怪:呈现Z!/'连;蟆队
式.将 z
故 -l-À=O ，μ=0
0)
原式=÷
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【解】
则
而
"n 1 1 rl dx . 1
、一·一十二←一'二-(ñ+ i) 2 严∞但 f. l -L~\~ n Jo 0+X)2 2 ~ H+~l
飞 η/
.
. .
(2) 原式= li
一旦一〉;2t.iz二 X" ζ n一 >:2士 .i
n +1纣 γ n 飞，、 1 ~ n+一卢l
n
limy ， zf· 一~ I 2X dx = 土，r-=纣】 n )Q - ' :--~ ln2 = -1-n
η一+-n m
…
一-n-川m卢. . .
原式=土ln2' . . .
注: 求多个具有相似结构的数列的和的极限常用的方活有.1.用夹逼定理(如题。)) ;2. 化为定积分(如题
(2)). 首选:央逼走理，只有在不能用夹逼定理时才考虑用定积分求解.题(3) 是综合此两种方法求极限.
17
@又翻载自
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品矗d高等在电建拮恙穰蜘
设 X，，= (1 +专)(1+ 去)… (1+去) ，证明!主nxn 存在
>
1→俨+ 一一仙一ι
【例 15】
X" 单调增加
(1 一 ~)(1+~)...(1 十七)1 一÷ A z2(l-2去了 )<2
.
. . 【证明】
limx" 存在.
又
.
. .
【例 16】
求 limxn.
=丘+豆〉土12 ' 8 --- -J
显然 Xk >0
则也1 -Xk = (寻+王~)一(丘+生)= ~ (X矗+x..盯飞 2 ' 2 J 飞 2 ' 2 J 2 ,-.
. .
.
Xk >Xk一1
【解】
假设
Xn 单调增加
而 Xl <1
H一2+ a一2一一A
假设 Xk < 1 ，则 Xk.H = 丘+垂<~2 ' 2 ---- 2
limx" . . .
设limx" = A
解方程，得 A = 1 土
X n < 1
Xn 有上界. . .
盯 1 ↓ γ 】户Xn+l 一一一 ~n/Cn=. 1 ， 2 ， …) ，证明 limx" 存在，并求limx3 +x
n
/., I'-Ll--/~;;":'∞户∞
1:11'1 .... 、烈，斗" ___ 3 (3 + X" )一【证明p他每3二+-1<一一一一一 =3·叩飞~"""lJ-n.n ---- 3 + x"
二、、1一 6 (Xn '- 'Xn-l)
(3 十 Xn ) (3 + X n-l )
limXn 存在
I!Plimxn = 1- ';1 a. 取 A = 1- v'l-a
Xn 有界
Xn 单调
.
. .
.
. .
舍去 A=. . .
Z
G-3(l +a)
一一3+a
3(1 +Xn) 因 limxn+l 二 lim 一一一一-一F∞ m- J "....∞ 3+x"
.
. .
解得α=士.13. . . 设limx" α
..-c自
a = .13 I!P 1imxn = .13.
设 fCx) 有一阶连续导数，且0ζfb)r-i一数列 Xo= a ， x唱= f( ;Xn-l) ' ~ 1 +r!~7'J "<'0--: u ,-<,,, - J ' r
n = 1 ， 2 ，….证明 limx;; 存在且是方程 f(-x) ==: X 的唯一实根.
18
.
. . 由保号性舍去 α =-.13
【例 18]
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【证明】 工叶1 7T.Xn 二 f(.xn)- f( 'x"l) = f (~) ('xn - 'xn-l)
O 〈 f(z〉〈」」
J ，~， --...:: 1 个.x2
f' (~) > 0
X. 是单调的
工叶l-Xn 与 Xn -Xn-l 同号
又 问 I = If(x~l 对二 If(xo叫:1 FO)dt|
运 I f(xo) , I+ Ilxd Í(训tlζI f(a
IJ
"U"
= I fCæo) I 十 π
Xn 有界 limxn 存在
设1imxn = A 则 A = f(A) :. A 是方程
又设抖。 =X一 f(x) ，则 p' (x) = 1- Í (x)>:O
p(x) 单调增加
A 臼→?孚口一 _ .cí_ , Mn仕 啡，归 4
注: ①例 15-倒 18都是用极限存在的准则 II"单调在拼盘.~.必存在极限"证明数列的极限存在.证
明数列单调性的方法有 z若川一鸟，注 O(~O) ，则 { X.};lj词茹(喊少〉浩如注 1 (ζ 口，则 {Xn} 单调
X.
增加(减少).
②若只知数列单调而不知单调增加或
17) ，或证明 I x,. IζM(如例 18).
1既要证明有上界又要证明有下界才算有界〈如例
③只有证明了极限存在才能在、 极限，否则将会导致错误.
ep
+2xn) 得 a ，= 1 十缸， 即 a=- l，
由题设，当 Z ε 口，十∞)时，ψ'(X) >0
(X) 在[1 ， +∞)内单调增加
Z ε (1，+∞)时，科工Y> ψ( 1) , 1
p'(X) 二 21 〈-LX2+p2(X)i 1 十r j:4(t)dt < ffF
ψ(X) - p(1 ) ζ arctant 1; <可ctaM|?=?
vb) < 1+? 从而抖。单调增加有上界
limψ(X) 存在，且 lim 抖。 ζ1十子
一 -
19
@又翻翻宵飞 每季曼先擎辅牵班警如辛苦 稳
注倒四也是用极限存在的准则 E 证明函数的极限存在，在证明单调性肘用到导数这~主其.有
时证明数列的单调性、也可以化成函数求导来判定其单调性.
设 UIl = 乌且，则级数忌"是正项级数
2叶I.(n+ l)!
(n+ 1)叶l
2"n'
n
2"n! 求lim ←
W噜∞ n"
E侣。 20】
E解】
<
2-e
=
2日h
…
一一
、nu--
N.7
m
[
一一u h
…
MLH
。.。
6ZNH.
惨惨惨
态数列的极限，其相关理论有级数收敛的必要条件和级数收敛的定义注:
E悟IJ 21>
.
. .
【解】
故
1 一~ [i 一(- ~门1 一(一~ r-
1
， 1，古 ÷=1+(~-1).
出去 =JjE(1-t[1 一(一~ )~lJ};=l ，-~ = ~
(初等变形法〉lima" 去
η t.
.
. .
.
. .
20
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www.wendu.com ~ 第一讲函数极限连续性也
n. 有关函数连续性的问题
【例 22】 若对任意町、X2 ,g;( Xl X2) = 伊(Xl)+ ψ(X2) ，且当 x=l 时 cp(x) 连续，证明:
对-tJJ x ε(0 ，十∞) ，以x) 连续.
r 1 , I ~、 l ' ~ I 1 , I~\ E证明 g;(x+~) = 钊 x(l+ 一) 1=ψ(xr+ ψ(1+一 )
l 飞 X I~ 飞/
.
. .
又
注:
:!?(z ， t)=e击
x=O ，x=l 时函数无定义
. .
.
limf(x) = lim
产j+ ,- -1+ ' 1 -
x=l 是 f(x) 的
函数的连续区幅
又
户c1--'.:..ßri
川中的跳跃间断点.函数在其他点上连续
.
. .
【例 24】
x<2
x = 2.
x>2
g(Z)=(1-z
lx 卡 1
l-x+1
x+l+1
rg (.z;)+l
E解】j[g(x)J =斗 O
19(x) 一 1
g(x) < 2
g(x) = 2
g(x) >2
O
O
，，;， tq 兰?飞ï: r l~x 一 1
+ Z
x~O
z 二>0
x~，ü
x>ü
x::::三 O
x>O
X~' Ü
x>ü
21
命又翻翻南
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d L高撵数髦靠在:甏讲各 .~ ~
x<-l
nu /电
1
lz
<
a
一〈
z1
=l<= z-o
e
z
-x
O
数在千点处的连续性，反过来求抽象函数的极限的问题.解题关键在利用递推式
G带头于饨的表达式，再通过求其在山时的极限得仰的机 川叫 G
"".~ 设 ψ(x) 、 g(x) 在[a ， bJ 上连续，且 ψ(a) g(b). 证明:必 3eε
(a ， b) 愣在e) = g(~) .
【证明】 设 f(x) = ψ(x) - g(川，则 f(。在[a.bJ 上连续
且 f(α) = cp(α) - g(a) < 0 f(b) = 抖的 -g(的 >0
由零点定理知，必 3~ε(α，的，使 fC~) = 0
即 ψ(草) - g(草) = 0ψ(~) = g(~)
【侣。 27】 设 f(x) 是以 2π为周期的连续函数，证明:必 3~ε[0.π] 使f(~+π) = f(~).
E证明】 设 cp(x) = f(x + π) - f(x).
则 ψ(x) 在[0.π] 上连续且以0) = f(π) - f(O) ，斜对 = f(2π) - f(π)
22
且 f(O) = 2
.
. .
(f9IJ 25>
2"':""x
2 才..， x
O 气
Xl ' x>l
lim j[g(x )J = lim (- x ) = 1
x=一 1 是 j[g(x)J 的第一类间断点
又 li哇fEg(z)]=liF(2+z)=2
lim j[g(x)J = lim(2-x) = 2
x=O是 j[g(x)J 的连续点
lim j[g(x)J = limC2+x) = 3
x =.1 是 j[g(x)J 的第一类间断点.
言=… = f(多 )COS 丢cos "2罢了…COS 号
【证明】
fω = f(号)∞S ~ = f(丢
λlEf(zl=!!Ef(去 」
z
l-" SIMSIU 1m -.!::..一·一一 = f(O) ""OJ.. •
...... ∞ x x x
sm 2"
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www.wendu.com 笼 弘 飞隶之争辉 F 函巍 扭瓜、J 连耕性、
f(O) = f(2别人 ψ(0) • tp(π) ~ O.
若 ψ(0) .ψ〈 π) = 0 ，可取 ~=o 或~ . . π，使科~)马 O
若抖的 ·ψ(π) < 0，由零点定理即得 eε(0 ，训，使伊(~) " 0
即 f(~+ π) = f(~)
E例 28】 设 f(X) 在[O ， nJ 上连续，且 f(O) = f(n)(η 为正整数).证明:必 3~ε [O ， n)
使 f(~+ 1) = f(~).
以0) +… +w(n- 1) 使伊(草)=v n v
也就是 f(~+ 1) = f(~).
【例 29】 设函数 f(x) 在[0 ， 1J 上可微，
# f(x). 证明:在(0 ，1)内存在唯一-I~'
【证明】 设 tp(x) = f(x) 一
则伊(x) 在[0 ， 1J 上连
J' . ;
d
.
' 町!"'<1 时恒有0<1(1) o, j'(x) < 0 ,
则在(一∞ ， 0) 内 (A)
A. j' (x) > o, j'(x) > 0 B. Í(x) >O ， j气。 <0
c. f' ( x ) < o,j'(x) > 0 o. Í (x) < 0 ，卢(x) < 0
27
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4高等数学辅导讲弟? 刊事 e又翻赣南
注:
j二 (0) 一
•
E证明】 由题意知 f(1) = 0 ，故
fl x( 1 十但 J 1-:- fCx) f fb+AZ)-fb)-L 飞 x JJ (x) = 1im 一」飞， .J
ò.r-+O !:u: l>r• o !:u:
1 , I !:u: 飞 1 ， I ò'x 飞
, f (1+';) 1 " f(1十~:'-)- f (1 ) 1 川 1 1 lim 、 ~ lim 、 飞 '---:-_- • ~= r(n . ~ =一ò.r-+O!:u: ò.r-+O !:u: . x x x
'x
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www.wendu.com mf都均ft 寄放第{~~~
【例 5】 设函数 fCx) 在[-l， lJ 上有定义，且满足 xO 时有
.
. .
1ζ fCx) - f(O) ζ 豆土主 =L+x
x x
lim i(x) • r(O l =1'+ (0) =1
x--O l 品
lim fi. x) - /(0) - ~ =f一 (0) = 1
x--O- X
((0) = 1 同理
注: 当函数的关系式不具体时般不能用求导法则求导.此时要用导数的定义J
3. 当不满足求导法则的条件时
导用能只J人
?
代a
'
b一-z
E例。 设 f(x} = (x -:- a) q>(x) ，其中斜对在平 =α 处连续，
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
I 因为科学于无可导的条件，战不能用乘积的抑制拙，:在二，
数的定义求 J:l/Z). 时 : 公乱叫〈 VG TI导
【解】 fu)4irf〈仁fu) 飞:
石、。'
= lim Cr-a>ψ(x) → 0= lim
x-a x-a
4. 当用求导法则求导太繁琐时
(x 1) (x-2)' :.p.( E例 7】 f(z)-4JM(x + 1) (x + 2YT\
创基 … (x -1) (x - 2)"'(x -100)
'飞一(x+ 1) (x 十 2)… (x 十 100)
二~i x~ 1 、 J
?于'''(x-100_)_=i- 1)(- 2)… (-9.9) 一二L
【x+2)… (x 十 100) 2 X 3 X … X 101 10100
cp(α 〉
【解】
注: 来导函数，要用到商和乘积的求导法则，非常繁琐.用导数的定义求导则
r 1~/2 倒时也 咂
(2)斜对 =j; 1+arcc侃出，求伊
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