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首页 矩阵方程的双侧正交与P-交换Procrustes问题研究

矩阵方程的双侧正交与P-交换Procrustes问题研究.pdf

矩阵方程的双侧正交与P-交换Procrustes问题研究

哈天下啊
2011-10-20 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《矩阵方程的双侧正交与P-交换Procrustes问题研究pdf》,可适用于高等教育领域

矩阵方程的双侧正交与P一交换Procrustes问题研究学位申请人姓名:赵素芳ResearchonProcrustesProblemsforTwo..sidedorthogonalandPexchangeofMatrixEquationsZHAOSufangB.S.(ShandongUniversityofTechnology)AthesissubmittedinpartialsatisfactionoftheRequirementsforthedegreeofMasterofSciencelnComputationalMathematicsintheGraduateSchoolofHunanUniversitySupervisorProfessorLIAOAnping:April本人郑重成果。除了文已经发表或撰文中以明确方作者签名本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于、保密口在年解密后适用本授权书。、不保密战(请在以上相应方框内打“/”)作者签名:赵隶甍导师躲房轰争日期:一Dfl年多月/日日期:幼f年名月/日动态及S阵集其中问题IV给定矩阵AB∈舻黼P∈s形黼求X∈s害’使得IlAXBIl=min~其中.$’={xIxP=PxX∈SORn×n).。我们称问题I和问题II为双侧正交Procrustes问题问题llli问题IV为P.交换Procrustes问题.本文主要研究成果如下:.针对问题I和问题II我们通过可行集上梯度的投影能够用矩阵表示给出了计算投影Hessian的一种方法.利用梯度投影和Hessian投影得到了问题I和问题II的第一阶和第二阶最优条件同时利用梯度投影的微分方程我们给出了得到全局(局部)最优解的一种数值方法..关于问题III和问题IV即P一交换正交Procrustes问题和P一交换对称正交Procrustes问题利用矩阵的奇异值分解和矩阵乘积的迹的性质给出了它们的一般解的表达式当解集非空时得到了最佳逼近解的通解表达式并分别通过数值例子验证了结论的有效性.关键词:正交投影梯度法P.交换Procrustes问题奇异值分解II/硕士学位论文bstractProcrustesproblemsisoneofimportantissuesinthefieldofnumericalalgebra.Actually,itiswidelyusedinmanyfieldssuchascontroltheory,dynamicprogrammingstatisticstransportationtheoryandengineeringcomputationfield.WedenoterespectivelyDRm×n.Sfp×nandS月×nasm×佗orthogonalmatrix.m×nsymmetricmatrixandn×nsymmetricorthogonalmatrixwhere”IlstandsfortheFrobeniusnorm.Thisthesisismainlyconcernedwiththeproblemsabouttwokindsofprocrustesproblems.thatProblemIGiventwomatricesA∈Rm×mB∈Rm×mfindX∈O冗m×msuchXTAXBII=min.ProblemIIGiventwomatricesA∈Rm×mB∈衍×nfindX∈Rm×nm>礼.suchthatlIXTAX一例=min.ProblemIIIGiventwomatricesAB∈月:仇×nP∈S/iT×’lfindX∈s譬’suchthatAXstl=minwhere蹄’={XIXP=PXX∈ORn×n).ProblemIVGiventwomatricesAB∈Rm×nP∈s舻×nfindX∈号罟’suchthatIIAxBII=minwhere$’={XIXP=PXX∈SOR似n).WecallproblemIandproblemIIfortwosidedorthogonalProcrustesproblemsproblemIIIandproblemIVforPexchangeProcrustesproblems.Thispapermainlyresearchworksareasfollows:.AbouttwosidedorthogonalprocrustesproblemsonthefeasiblesetAstheprojectedgradientmatricescannaturallybeformulatedbymatriceswepresentsawaytotheprojectedHessian.UsingthiscalculationwegetrespectivelythecompletecharacterizationofthefirstorderandthesecondorderoptimalityconditionforTwosidedorthogonalprocrustesproblem.InviewoftheprojectedgradientforformulationIII硕士学位论文itcanserveasagloballyconvergentnumericalmethod.Theproposedapproachisillustratedbynumericalexamples..AboutPexchangeprocrustesproblemsgeneralsolutionofPexchangeorthogonalprocrustesproblemandPexchangesymmetricalorthogonalprocrustesproblemcannaturallybesolvedbythesingularvaluedecompositionofmatrixandthematrixofthenatureoftrace.WhilesetofSolutionisnotemptywealsoobtainedthenearness.Finally,weillustratedthemaintheoriesandalgorithmwithnumericalexamples.KeyWords:OrthogonalProjectiongradientmethodPexchangeProcrustesproblemThesingularvaluedecompositionIV目录学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..I摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯IIAbstract........................................................................III第章绪论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.课题研究的意义与发展概况⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...本文研究的问题及主要工作⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...本文所用的记号⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..第章矩阵方程X丁AX=B的正交Procrustes问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...XTAX=B的正交均衡Procrustes问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..XTAX=B的正交非均衡Procrustes问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.第章矩阵方程AX=B的P一交换Procrustes问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..AX=B的P一交换正交Procrustes问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..AX=B的P一交换对称正交Procrustes问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.附录(攻读学位期问所发表的学术论文目录)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯V硕士学位论义第章绪论.课题研究的意义与发展概况约束矩阵方程问题是矩阵论的重要数学分支在数学本身及其自然科学中有着广泛的应用.约束矩阵方程问题就是在满足一定约束条件下的矩阵集合中求矩阵方程的解问题不同的约束条件不同类型的矩阵方程都有不同的约束矩阵方程问题.例如:已知矩阵AB求满足某种约束条件的x使得IlxTAxSlI=min这就是最佳逼近问题也可以说是最优化问题约束矩阵方程问题广泛出现在结构动力学、固体力学、物理、地质分了光谱学、参数识别、自动控制、非线性规划与动态分析、有限元、线性最优控制、图的分块问题及教育实验问题等领域都有重要的应用.例如:在结构动力学中对系统中质量矩阵和刚度矩阵的校正导致谱约束下矩阵方程最佳逼近解问题.在电学、光学或自动化控制的线性系统进行测试或复原时由于原有资料不全或者要求对已有资料进行检核等原因也导致了谱约束下的矩阵最佳逼近解问题.此外在有限元模型的修正、线性最优控制、线性模型中方差及协方差的估计、电力系统的慢负荷分析和断电路研究等问题中也导致了类似地问题.正是在这些领域中提出的许多不同类型的问题刺激了约束矩阵方程问题理论的快速发展使得约束矩阵方程问题成为当今计算数学领域中最热门最活跃的研究课题之一.一般来说约束矩阵方程问题主要涉及两个方面:一个是理论上的可解性(即从理论上寻求问题的有解条件包括充分条件和必要条件)另一个则是问题求解的实际算法(即从算法上实现问题的解)其中问题的求解算法研究又可分为两类一是直接解法即利用特殊矩阵的结构分析以及矩阵分解等方法来给出问题解的直接解法:另一类则是迭代算法即根据所要求解的约束矩阵方程的类型建立迭代格式让迭代格式收敛到问题的解.到目前为止国内外专家、学者的不断探讨约束矩阵方程问题的研究己取得了一系列丰硕的成果.所研究的矩阵方程问题涉及的约束集合有对称矩阵、反对称矩阵、中心对称矩阵、自反矩阵、双对称矩阵、对称正交对称矩阵、正交矩阵.、对称正交矩阵等(见文献)都有了比较成熟的结论.所用的方法包括奇异值"Jr)"f辫(SVD)'】、Cholesly分解【’l、广义奇异值分解(GSVD)l、标准奇异值分解(CCD)】、商奇异值分解(QSVD)l、Schur分解等.当然当一个约束矩阵方程不相容也就是此矩阵方程在规定的约束矩阵集合中无解时就要考虑求约束矩阵方程的最小二乘解.约束矩阵方程的最tJ、乘问题也叫Procrustes问题.。事实上Procrustes问题就是求一个矩阵Q使得AQ尽可能的接近B其中矩一一\一类正交Procrustes问题和一类P.交换约束问题阵A和B是给定的即是lIAQB怯=min.SchSnemannl利用偏微分和拉格朗日乘积研究了该矩阵方程AQ=B的正交Procrustes问题给出了解的表达式并用数值例子验证了结论年张振跃在文献中提出了正交非平衡Procrustes问题(Schnemann研究是n×n正交矩阵也就是均衡问题非均衡就是n≠m)的持续投影算法并用数值例子验证了此算法优越于其他方法杜克勤⋯在其硕士论文中给出了该矩阵方程的正交均衡Procrustes问题的解的结构与性质分析了正交非均衡Procrustes问题的解的性质以及满足的条件MooDYT.Chu,】分别讨论了AQ=B和AQC=B的均衡和非均衡Procrustes问题的最优条件以及全局收敛性数值方法.由此我们考虑双侧Procrustes问题就是求一个矩阵X使得XrAX尽可能的接近B其中矩阵A和B是给定的即是求解下列问题:/(x)=minIIXlAxBIIF(.)^其中lI.怙为Frobenius范数.若矩阵x满足于正交约束条件那么问题(.)就成了正交约束下的Procrustes问题即为本文第二章研究的内容.当m=n时我们称(.)为均衡Procrustes问题当m>儿时我们称(.)为非均衡Procrustes问题.年Sjerhammarl利用广义逆得到了矩阵AX=B有一般解的充要条件和通解表达式.自此以后国内外很多学者:张磊【,】、张磊和唐隆基【、HenkDoniS、戴华【l、廖安平⋯、谢冬秀【、Allwright、Woodgate】、孙继广【】、胡锡炎和张磊fJ、胡锡炎、张磊和谢冬秀f一J、张忠志f】以及他和胡锡炎和张磊【】等都在都在相应的文献中对矩阵方程AX=B进行了大量的研究做了很多工作解决了关于求此方程的一些约束解和最小二乘解的问题此外在文】和】中张磊和谢冬秀利用奇异值分解和迹的性质得到了正交矩阵约束下此方程的解存在的充要条件和通解的表达式以及该方程不相容时最小二乘解的表达式和算法年孟纯军在文f中利用k阶对称主子阵的n阶正交矩阵的C.S分解得到了矩阵方程AX=B有对称正交解的充要条件和通解的一般形式.本文第三章在此正交约束和对称正交约束基础上进一步研究矩阵方程AY=B的P一交换约束Procrustes问题对于任意给定的对称阵P若X和P可交换的即是XP=PX我们就称X满足P一交换约束..本文研究的问题及主要工作我们用∥煳、S形加、D舻跏、SD印×n来分别表示m×n阶实矩阵、n×n阶对称矩阵、mxTt阶正交矩阵、礼×礼阶对称正交矩阵对于给定的对称矩阵P∈S形跏令$’={XIXP=PXX∈o册×n)和$’={XIXP=PXX∈sD酽×n).本硕士论文主要考虑以下两类矩阵方程的Procrustes问题:一一硕士学他论义问题I给定A∈RTM~B∈舻~求X∈∥~且满足X丁X=k使得IIx丁AxBII=min.问题II给定A∈RTM×仇B∈舒加求X∈胛×n且满足XTX=厶使得lIxrAxBII=min.问题III给定矩阵AB∈驴她求X∈$’使得lIAXBI|=min.问题IV给定矩阵AB∈∥黼求X∈$’使得IIAXBII=min.以上II.I|为Frobenius范数.本文就以上问题主要进行了以下工作:第章主要研究问题I和问题II即是矩阵X丁AX=B的正交Procrustes问题通过可行集上的一些性质推导出了梯度函数在切空间上的投影的矩阵表达式给出了问题I和问题II的局部最优解的第一阶必要条件又通过对Hessian投影在切向量上的作用给出了问题I和问题II的局部最优解的第二阶充分条件给出了一种计算最优解的数值方法.第章研究了问题III并fl问题IV即使矩阵方程Ax=B在约束条件s譬’={XIXP=PxX∈o毋姗)和s譬’={XIXP=PxX∈SOR似n)下Procrustes问题利用矩阵的奇异值分解和迹的性质推出了解一般表达式及最佳逼近解并分别用数值例子验证了结论的可行性..本文所用的记号Rm×nS彤×竹AS留×n∥xmRm×nSD形×竹厶”怯tr(A)全体佗×n实矩阵的集合全体佗x礼阶实对称矩阵的集合全体n×n阶反对称矩阵的集合全体mxm阶正交矩阵的集合全体n×n阶列正交矩阵的集合全体n×礼阶对称正交矩阵的集合n阶单位矩阵矩阵的Frobenius范数矩阵A的迹一一一类正交Procrustes问题和一类p交换约束问题A矩阵A的转置dX(t)函数X(t)的微分X讹)函数x(亡)的导数vx(t)函数X(t)的梯度Mt矩阵M的MoorePenrose广义逆A上矩阵A的正交补还有一些特殊的记号将在具体用到时再做具体的说明.一一第章矩阵.引言实数域上双侧矩阵方程若只求它在实矩阵类Rm煳中的解X和y则称此问题为非约束条件下双侧矩阵方程问题.若限定解X和y在舻黼的一个子类S中则称此问题为约束矩阵方程问题.比如限定S为对称矩阵方程集合、正交矩阵集合等.当这些问题的相容性条件不满足时我们就考虑求约束矩阵方程的最小二乘解问题该问题也称为约束Procrustes问题.约束Procrustes问题在统计学和数量经济学上有重要意义由于正交矩阵的良好的稳定性质及计算工作量小使得对正交约束的Procrustes问题得到广泛研究.年Schnemann在文利用偏微分得到了正交矩阵x和Y使得IXAYTBlI=min并用相应地数值例子验证了结论的有效性随后魏木纠】又利用矩阵的奇异值分解和Neumann不等式得到了该矩阵方程Procrustes问题的正交解X和y的一般表达式和最佳逼近解.Moody.T.CHU在文中利用最速下降法得到了矩阵方程AX=B和AXB=C在正交约束下的Procrustes问题的第一阶和第二阶最优条件还推导出了得到最优解的数值方法.本章我们也将利用梯度投影法的思想来解决矩阵方程XTAX:B在正交矩阵约束下的Procrustes问题.其中A∈Rm×mB∈/P肌是预先给定矩阵X∈舻加为待求矩阵.当m=n时我们称该问题为双侧正交均衡Procrustes问题(简记为TOPP)m>几时我们称该问题为双侧正交非均衡Procrustes问题(简记为非均衡TOPP).下面我们先给出本章要用的一个引理:引理.若矩阵的标量函数f(X)在m×n矩阵点x可微分则下列关系成立:df(X)=A如营V肛)=掣=以dr(X)=打(Ad∞)兮V(x)=百Of(FX)=AT.式中A有可能与变元矩阵X有关.一一一类正交Procrustes问题和一类P.交换约束问题.矩阵方程XTAX=B的双侧正交均衡Procrustes问题..问题引入最近矩阵计算领域把某些微分方程的动力系统和一些离散的数值算法联系了起来.关于这种联系我们可以参考文献【】更详细的信息可参阅文献【】.首先我们把利用微分方程得到一个问题的解的过程叫做持续法这种方法更多的是实现基础问题的内在信息.本节我们要讨论的就是利用持续实现方法来解决TOPP即未知量X是方正交阵约束.问题..给定A∈舻×mB∈Rm×m求X∈ORm×仇使得IIxrAxBIl=min.(..)本节将采用Chu并IDriessel在【】的梯度的投影能够显式表示的思想当然该思想也可适用于更一般的情况当T是长方形的正交矩阵(即列正交)时这个问题我们将在下节给予详细的讨论.本节我们主要讨论的是X是方正交矩阵时的一些结论得到了该问题存在局部解的最优条件...投影梯度法投影梯度法是梯度动态系统中经典最优化法的一种特殊形式其具体形式如下:dTF(t):一vF(丁(吼(..)一=一Vr.£IElI.IZ.Z.Zl出’一、。川’、⋯其中目标函数F满足约束条件以及F的梯度VF在可行集上能够明确表示.式(..)表示的是标准梯度法中以负梯度VF方向为函数F的最快下降的搜索方向简单地说即是运动的速度指向F的最速下降方向.注意到(..)是独立存在的即是等式的右端明显不依靠变量t.如果采用负方向那么(..)中的T(t)是下降的凶为函数F的导数总是是负方向:掣却即(t))掣)|lV即㈣).(..)相应地如果采用正方向T(t)的方向就是上升的即能够到达F的极大点.从(..)我们可以看出若任意T(t)的方向和VF的夹角是锐角搜索将沿着下降方向.注意到标准梯度法(..)中对T(t)是没有任何限制的.但若我们将T(t)严格满足于一个固定可行集则梯度VF的方向是不能确定的未必就是下降方向.原因是梯度本身可能使T(t)落在可行集外边由于我们仅仅定义了函数F故它并不适一一硕士学位论文用于所有的约束.投影梯度法的核心思想就是保持T(t)在可行集中的方向是我们需要的、可控制的.j艮自然地我们选择梯度VF在可行集上的切空间的投影夕(T).当梯度的投影已知时我们对(..)进行修改得到投影梯度表达式的微分方程:dT矿(t):一夕(T(吼出叭一r川。确保了投影夕(丁(亡))和梯度VF的夹角是锐角此外由于T(t)的运动方向是一(T(t))就保证了它一定在可行集上运动也即是在可行集的切空间上.如上面的分析一夕(T(t))就是函数F在可行集上的最速下降的方向.当可行集合是一个子空间时约束法和非约束法是一致的因为梯度的投影就是它本身.为了在本文应用投影梯度法我们假设X是变量t的函数并且对于所有的t≥矩阵x(t)是正交的即x(t)Tx(t)=k成立.为了方便起见下文简单记为X.首先我们引入一个拓扑集合o(m):={x∈Rm×mIX丁X=k)表示所有的m×m正交矩阵的集合.目标函数F在x(t)的梯度VF指向F的最速下降方向但是在运动过程中VF的变量很可能会溢出可行集p(m).然而梯度VF在切空间O(m)上的投影g(X)能够保证X在运动过程中的方向就是下降方向又不会溢出可行集o(m).梯度投影思想的关键就是切空间O(m)上的投影能够显式表达.易知O(m)是舻×m中m·(m一)/维的光滑流形x的切方向日(即路径)就是x(t)∈o(m)的速度方向.为了使切空间O(m)上的投影能够显式表达我们得到(对X丁X=k微分)任意正交矩阵X在其切空间上的一般形式"gxO(m)={日∈Rm×仇日TxxTH=Om)={日∈Rm×mIIXTH∈ASRm×m).其中om是一个mXm阶零矩阵.事实上X∈O(m)上的任意切向量的必要形式是XrH=K或H=XK其中K∈ASRm×m即有及。(m)=‘兰~旧=xKKK∈As舻~).(..)=X跪fml上·为了方便记瓣(m):=胛×m中的所有对称矩阵)引入两个矩阵x和y的Frobenious内积:一。·一’(xY):=tr(XYT).(..)一一一类正交Procrustes问题和一类P.交换约束问题已知任意的对称矩阵S∈S胛×m反对称矩阵K∈ASRm×m则有tr(SK)=于是从(..)可知任意X∈o(m)在正交矩阵集合o(m)上的切空间TxO(m)和正规空间./V'xO(m)分别是:TxO(m)=xo(m)上A/'xO(m=xo(.o.因p(m)上是对应于Frobenious内积的p(m)的正交补故包含胪×m中所有的反对称矩阵.已知矩阵A∈∥×mB∈Rm×m考虑下面的函数:F(Q)=去(Q丁AQBQ丁AQB).(..)Q是任意的舻×m.显然双侧正交均衡问题等价于在可行集(m)上求F(Q)的极小点问题这是标准的约束优化问题.首先利用矩阵微分和标量函数的偏导(即梯度)的关系(引理.)得到目标函数F(Q)的梯度VF(Q)是:VF(Q)=A丁Q(QTAQB)AQ(Q丁A丁QBT).(..)假如任一点X∈p(仇)的梯度VF(x)在切空间xO上的投影能够显式表达.那么微分方程是:d万X:一(x).(..)班J、一厂、这样就于是定义了可行集流形o(m)上的x(t).相对于其他方向来说函数值F(X(£))指向x(t)的方向的下降速度是最快的.事实上我们得到掣=(V跗∽){舭㈤))一IIg(X(啪.由于夕(x(t))是VF(X(t))在x(t)o上fi勺iF交投影.从而知道VF(X(t))的值是严格地从(X(亡))下降直到零即得到了目标函数F的局部极小值.这种下降的趋势是普遍存在的与夕(x(t))的初始值无关于是我们可以得到(x(芒))是全局收敛的.我们来求梯度的投影(x)任意的m阶实矩阵集合都可分解为Rm×m=TxO(m)eNxO(m)=x盼(m)上oxR(m).故对任意矩阵Y∈舻×m有惟一的正交分解:y=x(xTQQ丁x)】x三(xrQQTx)】.一一硕士学位论文等式右端是"I'xO(m)和ArxO(m)中元素的直和因此我们得到VF(x)在切空间及o(m)上的投影有以下形式:g(x)=吾{.x丁Arx(xA.xB)AX(X丁ArXB丁)】一【(.xTA丁XB丁)TCrA(XTAxB)X丁ArIX}(..):X(BTXTAXBXTATXXTArXBXTAXBr).由式(..)我们得到微分方程:等=享(砌T姗xT以BTBxTATJEMXAX).(..)从O(m)中任一点开始令x(o)=I我们由(..)中定义的x(t)就可以得到任意的初值问题的数值解.x(t)最终将收敛到TOPP的局部最优解于是我们得到了TOPP局部最优解的数值方法.计算机实现的最佳选择是MATLABODESUITE(ShampineandReichelt】)中常微分初值问题的数值解函数:odel和odel.当然其他的ODE方法也可替代.最后很容易知道如果x(t)满足(..)那么有t≥X(£)丁x(t)=k.注意到等式(..)对反对称矩阵有性质面dX=XK由此计算得到:TdxTx=(警)TXXT警=KTxTxXTXK=XTxKKxTX.和初值条件x(o)丁x(o)=k.壬VBellman】解决了这个初值微分方程问题得到解x(亡)Tx(t)=k.反之我们有:譬=(警)xTx警(..):XKXTXKTX:.、由ODE理论【l基本存在和惟一性定理可以m(..)推导出对所有的t≥有X(亡)Tx(t)=x(o)丁x(o)=厶...最优化条件由梯度投影(..)的显式公式我们就可以得到TOPP的第一阶优化条件:定理..X∈O(m)是TOPP的一个稳定点的必要条件是矩阵B丁XTAxBXTATX是对称的.证明显然x是的稳定点则有g(x)=由(..)就可以得到.·为了进一步确定稳定点我们推导出第二阶优化条件.我们借鉴Chu和Driessel在文【】中提出的计算Hessian投影的方法来解决这个问题这种方法的~一一类正交Procrustes问题和一类P.交换约束问题应用的前提是投影g(x)能够显式表达.下面我们应用这种方法来计算函数F的Hessian投影.定理..(..)中的函数F在稳定点X∈c(m)处切向量XK(K∈AS舻×m)上的Hessian投影作用是:(gl(X)XKXK)=一<BKX丁A丁XBTKXTAXK)一(BXTA丁XBrXTAXK).证明从等式(..)中观察到g在x点关于一般的日的FRchet导数是:gt(x)日:=iH(B丁X丁AxBX丁A丁Xx丁A丁XBXrAXBT)X(BHTATXBXTATHB丁HTAXBTXTAH一(BX丁A丁日)T一(BHTA丁.x)T一(BTH丁AX)T一(B丁XTAH)T).根据定理..上面等式右边的第一个括号里是那么在切向量H=XK上的Hessian投影作用计算如下:(gl(X)XKxK)=((BK丁X丁A丁XBXTAXKB丁KTX丁AxBTX丁AXK一(BXTA丁XK)丁一(BK丁X丁ATX)T一(B丁ⅣTX丁AX)T一(B丁X丁AXK)丁K)=一(BKXrA丁XB丁KXTAxK)一(BXTATXBTXTAXK).这个论断是在内积的性质(x×Z)=(XZYT)和KT=一K的事实的基础上得到的.一I下面的论断是优化理论的标准结果.推论..X∈O(m)上的稳定点是TOPP的局部最优解的第二阶充分(必要)条件是:(BKTX丁A丁XK)(BX丁ATxB丁X丁AxK)(B丁K丁.xTAxK)<(≤)o...数值算例下面我们用数值算例来表示双侧正交均衡Procrustes问题的全局解和局部解算法是用MATLAB语言编制并在MATLAB..环境下运行操作系统是WindowsXP计算机处理器频率是.GHZ.我们选择MATLABODESUITE中的odell和odels作为初始值的积分仪具体的代码可以参考Shampine和Reichelt.当然ODE的其它数值解也可以替代.在本例中绝对误差和相对误差为t输出值是以的倍数为区间当F(X)在两个连续输出点的相对误差小于时积分仪自动的停止当然这个终上卜准则可以修改.为了计算过程中的精确性对于其中的执行细节我们进一步的进行修改注意到理论中(..)定义的X(t)必须保证在流一】一/.....、Ill.....IlIA=lo.o.o.o.o.IlIl.....I\...../%⋯叫最后定义B:=AXo可知TOPP有一个全局最优解%.当然实践中A和B之间的关系肯定不是简单的置换矩阵变换下面的例子仅仅说明了函数F在可行.一O....、.....lX()=Io.一o.一o.一o..I.··‘l...‘..I\..一O。一O../一类正交Procrustes问题和一类P.交换约束问题图..反映了目标函数值F(X(t))=IIX(t)丁AX(t)一BIl的变化情况其中x(t)是通过对微分方程(..)使用MATLAB中的DE函数得到的.图中目标函数值的变化情况可知我们在这种情况下得到了函数的全局最优解同时图..也刻画了函数Q(x(£)):=Ilkx(亡)丁x(t)的变化情况也即判断x(t)在可行集o(m)上的偏差易知x(t)的偏差在容许范围内.图..全局极小点的F(x(t))和Q(x(t))的半对数图.例..但是由于TOPP的非线性特点初始值的选定决定了函数收敛局解还是局部解.假设初始值是下面的正交矩阵:x。{):厂享妻萎兰兰、硕士学位论文o×∞a’oEo旦图..局部极小点的F(x(t))和Q(x(t))的半对数图.取给定的矩阵A和B为A=B=.....、l.....Il.....ll.....I.....l、.....、l.....l...........l.....}置:厂攀薰篓.薰一一一一一一类正交Procrustes问题和一类P一交换约束问题/.....、l.....l=I......I.....I\...../.矩阵方程XTAX=B双侧正交非均衡Procrustes问题..问题引入数值矩阵之间的正交变换问题在很多学科都有广泛的应用.上节我们利用持续实现法研究了双侧正交均衡问题然而更有挑战性的就是所谓的非均衡情况即是m>n时的Procrustes问题.问题..给定A∈Rm×mB∈Rn跏求X∈Rm黼使得忧丁AxBII=min.(.。)其中厶表示n×n单位矩阵.年魏木生【】给出了该问题(已知矩阵A和B)满足一定条件下的数值解更一般的情况还未涉及所以对其进一步研究很有必要的.我们仍然采用持续实现法的思想来解决因这个连续公式解决关于基础问题的解的性质方面有着优势一些看似我们不能处理的常规的离散问题却能通过持续连续过程合理地解决.本节我们通过Stiefel流形上的一些性质得到非均衡TOPP的第一阶和第二阶最优条件...Stiefel流’形集合毋(mn)表示所有的m×n列正交的实矩阵它形成了一个光滑流形Stiefel在文献【】研究了该集合的一些性质故简称为Stiefel流形.便于后面的讨论我们写出它的一些重要的结论.一】一JV'r#(mn)=X跄(n).有必要提起下面关于空间舻肌的下列直和分解.引理..空间胛跏能够被写成个子空间的直和∥黼=x跪(n)ox盼(n)上oⅣ(x丁)其中Ⅳ(xT):={x∈胛加IxTX=o).因此我们能够定义下面的投影引理引理..令Z∈舻黼.那么T丁(z)::x兰竿(J一.x.x丁)z定义了Z在切空间:rx毋(mn)上的投影.类似地.。.飘(z)XxTzJrzTx.定义了Z在正规空间AfxO(mn)上的投影.一一类正交Procrustes问题和一类P.交换约束问题..最优化条件已知A∈彤×pB∈Rm黼.考虑雨数F:舻黼一兄定义如下F(X):=去(x丁AxB.x丁AxB).(..)厶显然非均衡TOPP等价于求函数F(X)在可行集毋(mn)上的极小值问题.目标函数F(X)的梯度VF(x)如(..)由引理..(..)中梯度在切向量上的投影g(x)可以表示成g(x)V会(x丁VF(X)一(VF(x))Tx)(一XXT)VF(x)鲁xT(A丁x(xTAxB)AX(X丁TXB))一(ATx(x丁AXB)AX(XTA丁XB))TX】(一XX丁)【A丁x(xTAXB)AX(X丁ATXB丁)】=A.eTX丁A.xBX丁A丁X一(B丁X丁AxBX丁ATx)T】(一XX丁)ATx(xTAXB)AX(X丁ATXB丁)】.(..)因此得到微分方程dX出引X(B丁xTAxBxTA丁x)丁一(BTxTAxBx丁A丁x)】f..)一(一XXr)Arx(x丁AXB)AX(X丁A’XBr)】.、。定义了(..)中目标函数在流形o(m礼)上的最速下降方向上的变量若给出初始值坤)=㈨(..)我们可以用g(x)来近似求解非均衡TOPP的最优解利用投影(x)我们得到了非均衡TOPP的稳定点的第一阶优化条件.定理..T∈秽(mn)是非均衡TOPP的稳定点的必要条件是下面的两个条件必须同时成立:(a)B丁XTATBXTATT是对称的且(b)(IXX丁)【ArX(TTAXB)AX(XTATXB丁)】=.证明因为T是稳定点则g(x)=.(..)中的两项是互相垂直的每个单独的元素必须等于.条件(a)是(..)zP的第一项左乘于xT即可得到.II为了进一步确定稳定点我们也推导出Hessian投影的作用.我们的首先任务是把函数由流形毋(mn)上g(x)扩展到全体实数空间舻加上的G(Z):C(Z):={JR丁ZTAZBZTA丁Z一(B丁Z丁AZBZ丁Az)丁)】(一ZZT)A丁z(zTAZB)AZ(ZTATZBT)】.一硕士学位论文Q在Z点关于一般的H的FRchet的导数是:G(z)H:=iHB丁ZrAzBZTA丁Z一(B了’Z丁zBZ丁A丁z)r】ZBTHTAZBTZTAHBHTATZBZTATHHTATZBz丁ATHBIfrAZB丁一zTAHBT】一(HZTZHT)【ATZ(ZTAZ~B)AZ(ZTA丁ZB)】(一ZZT)fArH(Z丁AZB)十ATZ(HTAZZ丁A日)A日(z丁ATZB丁)AZ(HTATZZTATH)I.我们考虑G在稳定点Z=X∈o(m礼)处的切空间H=XK(I~xxr)w上的作用其中K∈ASR"煳W∈RTM黼.根据文【】这个作用和作用于TOPP上的Hessian投影是相同的为了方便我们将这个作用分成部分:首先我们计算(G(叉)义KXK)=(擎BXTAXBXTATx一(BTXTAXBXTATX)T吾『BTKTXTAXBTXTAXKBKTXTATXBXTATXKK丁XrATXBXTATXKBKTXTAXBTXTAXKBTl一(xK.YTXK丁XT)【ATx(xTAXB)AX(XTArXBT)】(一XXT)【ATXK(XAXB)ATX(KTXTAXXTAXK)A.xK(x丁ArxB)AX(KTXTATXXTATXK)XK)=(xBrKTxTAXBTKTXTATKBKTXTATxBX丁丁XK。一KTXTATXBXTATXKBKTXTAXBTXTAXKBTl(一.xx丁)【ATXK(XTAXB)A丁X(KTXTAXXTAXK)AxK(xTArXBr)AX(KTXTATXXTATXK)XK)=(百xBTKrX丁AXBTKTXTAXKBKTXTATxBXTATXKKrXTATXBXTATXKBKTXTAXBTXTAXKBTXK)=(BxKTXTAXBTKTXTAXKBKTXTATXBXTATXKK).上面的等式中第二个等式是因为定理..中条件(a)和K∈AS舻×竹.第三个等式利用了伴随性质(MⅣP)=(N丁MP)对于任意的个方阵MⅣ和P和以下的事实xT(一XXr)=.一一(..)B丁)】XTA(IxxT)W)A(IXX丁)w(.x丁A丁XB丁)AX(W丁(jXX丁)A丁XxrA丁(JXX丁)Ⅳ)】(IXX丁)Ⅳ):(一wXTATX(XTATB)AX(XTATXB)】、十Ar(JXXT)w(.xTAxB)ATx(wT(一XXr)AXXTA(JXXT)W)A(IXX丁)w(xTATTB)一一‘AX(WT(IXXT)ATXXTAT(一XXr)w)】(一XXr)w).一最后有(G(x)(一XXl。)彬XK):((*xxr)wBTXTAXBXTATX一(BTX丁AXBX丁A丁x)T】善【B丁Ⅳ丁(jXX丁)AXB丁X丁A(IXXT)wBWT(IxXT)ATXBXTAT(一XX丁)wWV(IxXT)ATXBXTAT(一XX丁)wBwr(IxXT)AXBTXTA(IXXT)WBT】一((一xxT)wx丁XWr(IXXT))【A丁x(xrAXB)AX(XTATXBT)(JXX丁)Ar(一XXT)Ⅳ(xTAxB)ATX(WT(IxXT)AXX:rA(IXX丁)Ⅳ)A(IXXT)Ⅳ(xrArXB)AX(WT(IXX丁)A丁xX丁AT(一XX丁)w)】XK):(BTwT(IXXT)AXBⅣT(JXXT)A丁xwT(IXXT)fATXXTAXAXXTATXK):(BTwT(IxxT)AXBwT(IXX丁)A丁xK)(ATXTTAXAXXTATXK(IXX丁)彤).类似于定理..我们把这些部分放在一起有(G(x)(xK(一XXr)W)XK(一Xx丁)w)表示了目标函数F在切向量上的Hessian投影的作用因此我们可得到下面的定理:定理..满足于定理..的一个稳定点X∈椤(mn)则x是非均衡TOPP的局部最优解的一个必要条件是下面不等式(BxK丁XrAXB丁K丁X丁AXKBK丁xrA丁XBX丁ATXKK)BTWT(IXXT)AXBW丁(JXXT)ATX(』一XXT)w)((ATXXTAXKA丁XKBAXXrATXKAXKBr)(一XXr)Ⅳ)≥对K∈ASRm×m任意W∈Rmxn成立.如果上式是严格不等式则它就是非均衡TOPP的局部解的一个充分条件.对于该式若W=式中的必要条件变成了(BxKrXTAXB丁Krx丁AXKBK丁XTA丁XBXrATXKK)≥.这就是我们上节的定理.....数值算例。一.....本节的标准和.节的例子的标准相似在此省略.一一类正交Procrustes问题和一类P.交换约束问题/.....、l.....lA=.....Il.....l\...../最后定义B:=XTAXo可知非均衡TOPP有一个全局最优解‰.当然实践中A和B之间的关系肯定不是简单的置换矩阵变换下面的例子仅仅说明了函数F在可行集上的最速下降方向的收敛情况.tlIJ..我ilion道初始值决定了可行下降方向的收敛情况对于(..)任意取一初始正交矩阵/....、....Ix(o)=Io.一o.o..lIo..o..l\....//.....、l.....lA=l...o.o.l.....l\.....//....\....lB=II·l....I⋯\..../图..全局极小点的F(x(£))和Q(x(£))的半对数图.HistoryofObjectiveValue图..局部极小点的F(x(t))和Q(x(t))的半对数图.一一()×一∞Eo一I一一()×)邕口ol一一一)×一毋西∞£o一西oI=耋正銮£::!::!三:塑壁塑二鲞!:銮垫丝塞囹壁显然这个矩阵不是‰的非平凡置换阵.图..反映了目标函数值F(X(t))=IIX(t)丁AX(t)一Bll的变化情况其中x(t)是通过对微分方程(..)使用MATLAB中的ODE函数得到的.图中目标函数值的变化情况可知我们在这种情况下得到了函数的全局最优解同时图..也刻画了函数Q(x(亡)):=}Ikx(芒)丁x(t)粘L(要.要.薰.瑟.、一硕士学位论文第章矩阵方程AXB的P一交换.引言Procrustes问题在矩阵方程AX=B中

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