nullnull
要点梳理
1.基本不等式
(1)基本不等式成立的条件:____________.
(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.§7.4 基本不等式: a>0,b>0a=b基础知识 自主学习null2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥ _______(a,b∈R).
(2) ≥____(a,b同号).
(3) (a,b∈R).
(4) (a,b∈R).
3.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为 ,几何平均
数为______，基本不等式可叙述为：_____________
________________________________. 2ab2术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算null4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_____时，x+y
有最___值是______.（简记：积定和最小）
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当____时,xy有最
____值是______.（简记：和定积最大） x=y小x=y大null基础自测
1.下列结论中不正确的是 （ ）
A. B.
C.a2+b2≥2ab D.
解析 只有当a、b同号且不为零时
成立， Bnull2.已知向量a=(x-1,1),b= 则|a+b|的最小
值 是 （ ）
A.1 B. C. D.2
解析 a+b=
∴|a+b|= Bnull3.当x>1时，关于函数 下列叙述正确
的是 （ ）
A.函数f(x)有最小值2
B.函数f(x)有最大值2
C.函数f(x)有最小值3
D.函数f(x)有最大值3
解析 ∵x>1,∴x-1>0,Cnull4.已知a>0,b>0， 则a+2b的最小值为
（ ）
A. B. C. D.14
解析 据题意知Anull5.若0
0,
∴x(4-3x)= ·3x(4-3x)
当且仅当3x=4-3x,即x= 时取得等号. Dnull
题型一 利用基本不等式证明不等式
【例1】已知x>0,y>0,z>0.
求证：
由题意，先局部运用基本不等式，再利
用不等式的性质即可得证.思维启迪题型分类 深度剖析null证明 ∵x>0,y>0,z>0,
当且仅当x=y=z时等号成立.
null 利用基本不等式证明不等式是综合法证明
不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题
的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经
过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题. 探究提高null知能迁移1 （1）证明：a4+b4+c4+d4≥4abcd;
(2)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
证明 （1）a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2
=2(a2b2+c2d2)≥2·2abcd=4abcd.
原不等式得证.
（2）∵a>0,b>0,a+b=1，
所以原不等式成立. null题型二 利用基本不等式求最值
【例2】求下列各题的最值.
（1）已知x>0,y>0,lg x+lg y=1,求 的最
小值；
（2）x>0,求 的最小值；
（3）x<3，求 的最大值；
（4）x∈R，求 的最小值.null思维启迪 （1）由lg x+lg y=1得xy=10,故可用基本
不等式.
（2）由x>0, 是常数，故可直接利用基本
不等式.
（3）由于 不是常数，故需变形.
又x-3<0，故需变号.
（4）虽然 (常数),但利用基
本不等式时，等号取不到，所以利用函数的单调性. null解 （1）方法一 由x>0,y>0,lg x+lg y=1,
可得xy=10.
当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.
方法二 由x>0,y>0,lg x+lg y=1,可得
当且仅当 即x=2,y=5时等号成立. null(2)∵x>0,
等号成立的条件是 即x=2,
∴f(x)的最小值是12.
(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,
当且仅当 即x=1时，等号成立.
故f(x)的最大值为-1. null(4)令sin2x+1=t,则t∈[1，2]，故
任取t1,t2∈［1，2］且t10,∴g(t1)>g(t2),
∴g(t)在[1，2]上是减函数，
∴f(x)min= 等号成立的条件是sin2x+1=2.
∴sin x=±1,
故f(x)的最小值是
利用基本不等式求最值问题,基本方法
是借助条件化二元函数为一元函数,代换过程中应注
意元的范围,同时也要注意“拆项”、“凑项”的技
巧，特别要注意等号能否取到. 探究提高null知能迁移2 （1）已知x>0,y>0，且 求x+y
的最小值；
（2）已知x< 求函数 的最大值;
（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.null解（1）∵x>0,y>0,
当且仅当 时，上式等号成立，
∴x=4,y=12时，(x+y)min=16.
null(2)∵x< ∴5-4x>0,
≤-2+3=1,
当且仅当
即x=1时，上式等号成立，
故当x=1时，ymax=1.null(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,
当且仅当 即x=2y时取等号，
又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,
∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.
null题型三 利用基本不等式解应用题
【例3】(12分)某造纸厂拟建一座平
面图形为矩形且面积为162平方米的
三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),
如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔
墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,
水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，
并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16
米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求
出最低总造价. null思维启迪 设污水处理池的宽为x米,则长为 米,
由题意可建立总造价与x的函数关系,进而通过求函数
的最值确定x的取值.
解 （1）设污水处理池的宽为x米，
则长为 米. 1分
null当且仅当 (x>0),
即x=10时取等号. 5分
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造
价为38 880元. 6分
（2）由限制条件知
8分
null
g(x)有最小值， 10分
即f(x)有最小值为
∴当长为16米，宽为 米时，
总造价最低，为38 882元. 12分
（1）解应用题时，一定要注意变量的实
际意义，即变量的取值范围.
（2）在求函数最值时，除应用基本不等式外,有时会
出现基本不等式取不到“=”，此时要考虑函数的单
调性. 探究提高null知能迁移3 某学校拟建一块周长为400 m的操场如
图所示，操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学
生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操
区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？
解 设中间矩形区域的长，宽分别为x m,y m,
中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为
因为操场周长为400,所以 null
即把矩形的长和宽分别设计为100 m和 时，
矩形区域面积最大.null
1.恒等变形：为了利用基本不等式,有时对给定的代
数式要进行适当变形.比如：
方法与技巧思想方法 感悟提高null2.常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接.
(1) (a>0,且a∈R),当且仅当a=1时“=”
成立.
(2) (a>0,b>0,a,b∈R),当且仅当a=b时
“=”成立.
3.二次配方：a>0,a∈R,应用不等式 可解
决部分分式不等式的最值问题.比如：当x>2时，null
使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在
前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不
等式求最值，这三个条件缺一不可.失误与防范null(1)确保“一正”.对于负数，很多不等关系就不一定
成立.如：当x<0时， 显然不再成立.
事实上，此时
(2)要使 中“=”成立，必须使a=b成立.
如：
null
一、选择题
1.在下列各函数中,最小值等于2的函数是 ( )
A.
B.
C.
D. 定时检测null解析 选项A中，x>0时，y≥2,x<0时，y≤-2;
选项B中，cos x≠1,故最小值不等于2；
选项C中，
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
Dnull2.（2009·天津理，6）设a>0，b>0,若 是3a与3b的
等比中项，则 的最小值为 （ ）
A.8 B.4 C.1 D.
解析 由题意知3a·3b=3,即3a+b=3，所以a+b=1.
因为a>0,b>0,
当且仅当a=b时，等号成立. Bnull3.已知x>0，y>0，lg 2x+lg 8y=lg 2,则 的最
小值是 （ ）
A.2 B. C.4 D.
解析 由lg 2x+lg 8y=lg 2,得lg 2x+3y=lg 2,
∴x+3y=1,Cnull4.已知 （a>2), (x<0),则m、
n之间的大小关系是 （ ）
A.m>n B.m 则 的最小值为 ( )
A.-3 B.2 C.5 D.7
解析 Dnull6.函数 x∈(0,3)，则
（ ）
A.f(x)有最大值 B.f(x)有最小值-1
C.f(x)有最大值1 D.f(x)有最小值1
解析 ∵x∈(0,3),∴x-1∈(-1,2),
∴(x-1)2∈[0，4)，
当且仅当 且x∈(0,3),
即x=2时取等号，∴当x=2时，函数f(x)有最小值1. Dnull二、填空题
7.若正数a、b满足 则a+b的最小值为_____.
解析null8.函数y=ax-1 (a>0,且a≠1) 的图象恒过定点A,若点
A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m,n>0,则
的最小值为____.
解析 由题知A（1，1），∴m+n=1，m,n>0.4null9.若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1)，则(a+1)(b+2)
的最小值为_____.
解析 ∵ab-4a-b+1=0,∴ ab=4a+b-1,
∴(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1null ∵a>1,∴a-1>0.
当且仅当(a-1)2=1,即a=2时成立.
∴最小值为27.
答案 27null三、解答题
10.(1)求函数y=x(a-2x) (x>0，a为大于2x的常数)的
最大值；
(2)设x>-1,求函数 的最值.
解 （1）∵x>0,a>2x,
当且仅当 时取等号，故函数的最大值为 null（2）∵x>-1,∴x+1>0.
设x+1=z>0,则x=z-1
当且仅当z=2,即x=1时上式取等号.
∴x=1时,函数y有最小值9,无最大值. null11.(1)已知a>0,b>0,c>0且a+b+c=1.
求证:
（2）已知a>0,b>0,求证：
证明 （1）∵a+b+c=1,
=3+2+2+2=9.
等号成立的条件是a=b=c,故 null（2）方法一 null方法二 ∵a>0,b>0,
①
②
由不等式的性质①+②得：
null12.西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，
对生产的羊皮手套进行促销.在1年内,据测算年销售
量S（万双）与广告费x（万元）之间的函数关系为
(x>0),已知羊皮手套的固定投入为3万元,
每生产1万元羊皮手套仍需再投入16万元.（年销售
收入=年生产成本的150%+年广告费的50%）
(1)试将羊皮手套的年利润L（万元）表示为年广告
费x(万元)的函数；
(2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利
润最大,最大利润为多少？（年利润=年销售收入-
年广告费） null解 (1)由题意知,羊皮手套的年成本为(16S+3)万元,
年销售收入为（16S+3）×150%+x·50%，
年利润L=（16S+3）×150%+x·50%-（16S+3）-x，
当且仅当 即x=4时，L有最大值为21.5，
因此，当年广告费投入为4万元时，此公司的年利润
最大，最大利润为21.5万元. 返回 
浙公网安备 33021202002483