求二次函数关系式的技巧 求二次函数的关系式，是初中数学的重要
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之一.学会求二次函数的关系式，可使许多问题迎刃而解，怎样求二次函数的关系式呢?有什么技巧呢?现举例说明如下. 一、用二次函数的性质求 例1 已知某二次函数的图像关于y轴对称，且过点(0，8)，其形状和y=2x2+3x+5的图像形状相同，位置不同，开口方向相反.求此二次函数的关系式? 分析与解：此题必须熟知二次函数关系式中的系数和图像的关系.二次项的系数的绝对值决定它的形状，只要其绝对值相等，其形状就形同，二次项系数的正负决定它的开口方向，二次项的系数是正数，则图像开口向上，是负数则开口向下.一次项的系数决定图像的左右位置：开口向上时，一次项的系数增大，图像向左平移，一次项的系数减小，图像向右平移;开口向下时，一次项的系数增大，图像向右平移，一次项的系数减小，图像向左平移;一次项的系数为零时，图像关于y轴对称.常数项就是图像与y轴的交点纵坐标.知道了如上知识，不难知道，本题中的二次函数的二次项系数为负2，一次项系数为0，常数项为8，所以此二次函数的关系式为y=-2x2+8.此题的技巧在于弄清并利用系数与图像的关系. 二、用一般式求 例2 已知某二次函数的图像过点(0，0)，(1，-6)和(2，-8).求此二次函数的关系式. 分析与解：此函数的图像过点(0，0)，说明其常数项为0，所以，可设其函数关系式为：y=ax2+bx，把点(1，-6)和点(2，-8)代入得方程-6=a+b和-8=4a+2b，这二个方程组成方程组，解之可得：a=2，b=-8.所以此函数的表达式为y=2x2-8x.此方法的技巧是利用坐标与图像的关系，推出常数项为0，使列的方程组较简便. 三、用顶点式或两根式求 例3 已知某二次函数过点(1，0)，(5，0)和(3，8).求此二次函数的关系式. 1.用顶点式求 分析与解：仔细观察，不难发现，给出的三个点的横坐标分别是1，3，5.其中3恰好在1和5的中间，根据二次函数图像的对称性可知，3就是它的顶点横坐标，那么(3，8)就是它的顶点坐标，所以此题也可用顶点式来求，设它的关系式为：y=a(x-3)2+8.把点(1，0)代入得0=a(1-3)2+8解此方程可得a=-2，所以此二次函数的关系式为y=-2(x-3)2+8，化为一般形式为y=-2x2+12x-10.此方法的技巧在于：利用二次函数的对称性，发现(3，8)是顶点坐标，利用顶点式求解，又快又对. 2.用两根式求 分析与解：仔细观察还可发现，点(1，0)，(5，0)都在x轴上，所以还可用两根式求解，设y=a(x-1)(x-5)，把点(3，8)代入此关系式得8=a(3-1)(3-5)，解得a=-2，所以此二次函数关系式为y=-2(x-1)(x-5).化为一般形式为y=-2x2+12x-10此方法的技巧是：仔细观察，发现两根，再用两根式求解. 四、用实际问题中的数量关系求 有些问题无法用上面的方法求函数关系式，但是可利用题中的数量关系求出其函数关系式，再进一步用二次函数的有关知识求解.常见的有以下两种情况. 1.有关商品销售的问题 例4 已知某商场销售某商品，该商品的进价是每件90元，调查发现，若定价为每件100元，每天可售出500件，在此基础上，价格每上涨1元，每天就少售出20件，求定价为多少元时，每天获得的利润最多?为多少元? 分析：本题无法用上面的关系求关系式，但可根据题中的数量关系求出二次函数关系式，本题中的数量关系是：日利润=每件的利润×日销售的件数. 解：设定价为每件x元时，日获利为y元，由题意得： y=(x-90)[500-20(x-100)] =-20x2+4300x-225000 =-20(x-107.5)2+6125 所以当x=107.5时，y有最大值6125，即每件定价为107.5元时，日获利润最多，为6125元. 2.有关面积的问题 例5 用100米长的篱笆，围一个矩形鸡舍，求长和宽各为多少时，鸡舍的面积最大，最大面积为多少平方米? 分析：此题根据长×宽=面积.即可求出二次函数关系式. 解：设长为x米时面积为y米.由题意得 y=(100÷2-x)x =-x2+50x =-(x-25)2+625 所以，当长为25米时，面积最大，最大面积为625平方米.此时，宽为100÷2-25=25米，即此时为正方形. 以上几种方法和技巧，是求二次函数关系式常用的方法和技巧，学会上面的方法和技巧，做二次函数问题时会又快又对，望各位同学认真学习以上方法和技巧，真正理解其精髓，达到能灵活运用和熟能生巧的程度，那么您的中考成绩肯定因为学习这篇文章而涨不少分数的.这是我二十多年教学经验的精华，若能认真研读，肯定受益许多!
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