矩阵合同变换

PAGE\*MERGEFORMAT#/9矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。关键词：矩阵秩合同对角化定义1：如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B,则积A与B等价，记为A=B定义2：设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得B=P-1Ap，则称A和B相似A□B定义3：设A，B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P,使得PTAP=B那么就说，在数域F上B与A合同。以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即P=QQ…Q。12m此时P7=QtQt...Qt边为一系列初等矩阵的乘积mn-11若B=PtAP=QtQt...QtAQ…Q则B由A经过一系列初等变换得到。所以mn-111mA=B，从而知合同变换是等价变换。定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明：由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩定理3：相似矩阵有相同特征多项式证明：共A□BB=P-iAPdelI九I—B1=detI九I—P-iAPI又因为九I为对称矩阵所以detI九I-P-1API=IP-1I九I-AIPI=IP-111I—AIIPI=I九I—AI注①合同不一定有相同特征多项式定理4：如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A与B相似且合同论：设A，B为特征根均为九,九…九，因为A与B实对称矩阵，所以则在n阶正矩12n阵，Q,P使得Q-1AQ=［九…九］12P-1BP=［九…九］1n从而有Q-1AQ=P-1BPPQiAQP-i=B由Q-iQ=EPP-i=E从而有PQ-iQP-i=PEP-i=PP-i=E从而(PQ-i)-i=QP-i又由于(QP-i)(QP-i)T=QP-i(P-i)TQT=QP-1(Pt)TQt=QQt=QQ-1=E•••QP-1为正交矩阵所以A□B且A=B定时5：两合同矩阵，若即PTAP=B，若A为对称矩阵，则B为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明：A=B即PtAP=B，若对称阵，则At=ABt=(PtAP)t=PtAtP=PtAP=B所以B边为对称阵［注］：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？引理6：对称矩阵相似于对角阵OA的每一个特征根九有秩I九I-A1=n-s，S为九的重数.证明：任给对称的n阶矩阵A一个特征根九，以其重数以秩I九I-AI=r，贝r=n-sOnr=soI九I一AIx「0—1x02=:x_0_n，线性无关的解向量个数为n-r个,即5个又因属不同特征根的特征向量线性无关On阶对称阵A有n个线性无关的特征向量On阶对称阵可对角化从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点如对二次型应用例求一非线性替换，把二次型f(x,x,x)=2xx一6xx+2xxi23i223i3二次型f(x,x,x)矩阵为'23「011"A=10-31-30对A相同列与行初等变换，对矩阵E,施行列初等变换2AT1-2jET101-2—-200-3T0-2-30000o—j1110T1-1-101101006可把二次型化为标准型f(x,x,x)=2y2-2y2+6y2123123解法(2)21-2AT10-3-2-3010T10-20-2-220-2-2-2001此时f(x,x,x)=2z2一z2+6z21231223此时非线性退化替换为x1x2x33-1zzz3发现在注［1］：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性［注］：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？例3．用可逆性变换化二次型f(x,x,x)=(一2x+x+x)2+(x一2x+x)2+(x+x一2x)2123123123123解：f:6x2一6xx一6xx+6x2—6xx+6x2112132233对二次型矩阵为TOC\o"1-5"\h\z"6-3-3一36-3A=-3-366一3一3100一36一3010一3一3标准形f=y2+y2,12"x1则x2600100600100y1y2y3」092012120EBPTA=B［注］当P改变两行的位置交换后，发现02<1816一3一3一36一3一3一362丄<1801100010000定理2：在A为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有PtAP=B，则调整P的任意两行，对角阵形式不变。证明：设初等变换的对调变换矩阵为J,显然JtJ=EJtAJ=JAJt=A于是有B=PtAP=PTEAEP=PT(JTJ)A(JTJ)P=(JP)T(JAT)JP=(JP)TA(JP)而P与JP相比仅是行的排列顺序不同，因此任意调整P的行，所得对角阵相同。［注］以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？例4．求实对称矩阵A=一21一2求可逆阵P使得PTAP为对角阵2-2-2i0-2200-10-2200-100「A]0-200-20004=-c--2-~>E100r2+r1110r3-2r211-20i001001-2_001_001_001ji-2—-400—p=1i-2PtAP=BB=0-100011002-2-20我们得至I」PtAP=B11定理7：设PTAP证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为J2(J对角线上第J个元素C)形J2i2C1C2i令A对称矩阵，B为对角矩阵，若要调换B对角线上任意两个元素的位置得到B，则只要调控B中对左的两列，可得到P,使得PtAP=B，即P的列与B111中元素的对应性。证明：初等调换矩阵为J,显然JT=JB=JtBJ=JtPtAPJ=(PJ)tA(PJ)=PiAPi11•••p与p相比，只是列的排列顺序发生了改变i•P的列与B的对角线上元素具有对应性自己写例定理8：如果对角线上的元素分别扩大C2,C2,-C2得B，则不要将P中对应的对应角i2n2线元素扩大Ci，即可得到P使得PtAP=Bi2222有B=JtBJ(JT=J)22222・・・B=JtPtPJ=(PJJtAPJ)=PtAP22222ii•••B中第J个元素为B的C2倍而P=PJ，且其P中对角线J个元素是P中对角线元2素CJ倍。例：已知对称矩阵A=12i-i-3ii3i-i-3i0求可逆矩阵P,使ptap且对角形式j01-「j00-1"0-3-1-10-3-1-11-1310-122-1-110_-1-120_解AT10000-3-1-10-1220-12-10-3-10073730-173-10-300730对单位阵E进行相应列初等变换得-2ET131310-11=p贝y有ptap=1-373-3=131-111-2则此时有P1=-1_3-1_3\'7-1得PTAP=B111综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系，而且其本身也有着变换矩阵多样多样，和结果的不确性，在对其特性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。主要参考文献北大数学系，高等代数第二版上海交大线性代数编写。线性代数（第三版）[M][3]张禾瑞高等代数[M]付立志《对称矩阵对角化相似变换模型》王晓玲《矩阵三种关系问联系》BrickellEFAFewResultsinmessageAutheuticationcongressNumerantium198443141－154矩阵的合同变换及性质定义：设A,B是数域F上两个阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵P使得B=PTAP成立，那么B与A合同特性：合同变换具有模型化，程序化的简便性。引理1:在矩阵中，任意对角矩阵与合同J对角阵证明：①数学归纳法当n=1时，定理显然成立设n〉1时，定理对n-1阶对称阵成立，A上阶对称囝若A=0则A本身已为对角阵不妨设A工0(1)讨论A的对角线上元素不全为0的情况，这都可通过三行或列初等变换，使得00E1.E1E1AEE.E=s2112s这里A是n-1阶对称阵，由归纳假设，存在则有n-1阶可逆阵a，使1...0QTAQ=111cn现取Q=Q1,P=EE.EQ12s则PTAP=QTET.ETETAEE.EQ=S2112Sa110a110一=c20cnQTAQ111(2)若a=0,i=1,2,n，由A=0，可通过对应的行列初等变换，使问题归结到i的ii情怀合同矩阵变换的应用，主要应用于二次型上，而二次型主要对积矩阵，而二次型f(X,x,…x)=XTAX化简，一般都归结为对称实矩阵A的合同变换在12n特性1：合同变换具有模型化，程序化的简便性定理1：若在对称矩阵A的下六并上一个单位矩阵，作列变换，则对的行与列分别六色以一系列的对称，初等变换使其式为对角阵时，单位阵成为A的合同变换矩阵。特性2：合同变换具有变换和结果的多样性，采取不同的合同变换，不仅可以得到不同的对角矩阵而且还可以得到相同的对角陈例：已知实对称矩阵A=0002求可逆矩阵P,使(AP)t(AP)为对角矩阵0012解由于At=A且(AP)t(AP)=PtA2P，可见为使(AP)t(AP)为对角矩阵，实质上是使0合同于对角矩阵0A=00"1000—"1000—01000100ccr4PtA2P=005000159000-0001L5」0001故可逆矩阵P=00100001000054004510000100001000014「5勺>44L-55C31005000010010009500100001(2)当P=00-00o一oo丄<21--.-o丄<2丄V2口1000100090(AP)t(AP)=PtAiP=00定理3：设PtAP=B,A为对称矩阵，B为对角矩阵，若要调换B的对角线上任意两个元素的位置得到B，则只要调换P中对应两列，可得到P，使得P7AP=B，即P的列与11111的列与B具有对应性。说明：没妆等变换的对调多换矩阵为J，显然Jt=J，1B=JiBJ=JiP'APJ=(PJ)APJ=PtAP11111111P与P=PJ相比，列的排列顺序不同，因此，P的列与B的对角线上元素具11有对应性。特性3：合同变换具有变换矩阵列但是与对角线元素的对应性。定理4：若要将B的对角线上第j个元素扩大C2得到B2，则只要得P中对应第j列扩大c倍，即得到P，使得PtAP=B2222证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为J2(J2的对角线上第j个元素为c,其余为1)显然J1=J22B=JiBJ=JiP'APJ=(PJ)'APJ=PiAP222222222•••B中的第j个元素B的我们发现j合同变换在对角化中有简易行，凸现其方法（变换矩阵）和结果（对角阵）的二、合同变换的本质在n阶实对称阵A和B的正负惯性指标都一样，贝吧(A,B)有 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为A到B的合同变a换矩车构成的集合。引理1：假设实对称矩阵A和B的正负惯性指标都一样，则S(AB)为群c1证明：对于任意的PeS(A,B),PeS(A,B)，则存在CeS(A,B),CeS(A,B)，使1c2c1020得P=c-1c,P=c-1C因此PP=(c-1C),P=c-1C，因此PP=(c-1C)-(c-1C)=c-1-(cc-1C)，112212122121212而(cc-1c)1A(cc-1c)=c1(c-1)1c1Acc-1c=c1(c-1)1Bc-1c=c1Ac=c1Ac=B，贝121221112222222cc-1CeS(A,B)所以P-PeS(A,B)亦即有S(A,B)，关于矩阵乘法封闭，易知s(A,B)关12012ccc于矩阵乘法满足结合律，有单位矩阵，下设每个元素都有逆远，假设PeS(A,B)存在cCeS(A,B)，使得P=c-1c，所以p-1=c-1c=c-1(cc-1c)，因1011(cc-1)1A(cc-1c)=c1(c-1)c1Acc-1c=c1(c-1)Bc-1c=c1Ac=B，则cc-1ceS(A,B)所以11111110c-1ceS(A,B)即P-1eS(A,B)，综上所述S(A,B)成群1ccc注：S(A,B)={cIC1AC=B,A,B为已知的实对称矩阵}，c为可逆复矩阵，0S(A,B)={c1cIc^S(A,B)中任一给定矩阵,ceS(A,B)}c1010引理2：假设实对称阵A和B正负惯性指标都一样，则S(A,B)有表示为cS(A,B)={mIm1BM=B,m为可逆阵}c证明：meS(A,B)ocmeS(A,B)o(cm)1Acm=B,mJ连oM1BM=B,M可逆.c0