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高考数学导数满分通关曲线的切线方程

高考数学导数满分通关曲线的切线方程专题02曲线的切线方程考点一求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤求曲线在点，处的切线方程的步骤(1)P(x0y0)第一步，求出函数＝在点＝处的导数值，即曲线＝在点，处切线的斜率；yf(x)xx0f′(x0)yf(x)P(x0f(x0))第二步，由点斜式方程求得切线方程为－＝－．yf(x0)f′(x0)·(xx0)求曲线过点，的切线方程的步骤(2)P(x0y0)第一步，设出切点坐标，；P′(x1f(x1))第二步，写出过，的切线方程为－＝－；P′(x1f(x1))yf(x1)f′(x1)(xx1)第三步，将点...

专题02曲线的切线方程考点一求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤求曲线在点，处的切线方程的步骤(1)P(x0y0)第一步，求出函数＝在点＝处的导数值，即曲线＝在点，处切线的斜率；yf(x)xx0f′(x0)yf(x)P(x0f(x0))第二步，由点斜式方程求得切线方程为－＝－．yf(x0)f′(x0)·(xx0)求曲线过点，的切线方程的步骤(2)P(x0y0)第一步，设出切点坐标，；P′(x1f(x1))第二步，写出过，的切线方程为－＝－；P′(x1f(x1))yf(x1)f′(x1)(xx1)第三步，将点的坐标，代入切线方程，求出；P(x0y0)x1第四步，将的值代入方程－＝－可得过点，的切线方程．x1yf(x1)f′(x1)(xx1)P(x0y0)注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．【例题选讲】2x－1[例1](1)(2021·全国甲)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．x＋22x－12(x＋2)－(2x－1)55答案5x－y＋2＝0解析y′＝′＝＝，所以y′|＝＝5，所x＋2(x＋2)2(x＋2)2x＝－1(－1＋2)2以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0．(2)(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1答案B解析f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1．(3)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x答案D解析法一因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0．因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．法二因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝x3＋x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．法三易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．(4)(2020·全国Ⅰ)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．1答案2x－y＝0解析设切点坐标为(x，y)，因为y＝lnx＋x＋1，所以y′＝＋1，所以切线的斜率00x1为＋＝，解得＝．所以＝＋＋＝，即切点坐标为，，所以切线方程为－＝－，12x01y0ln1112(12)y22(x1)x0即2x－y＝0．(5)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．答案－－＝解析∵点，－不在曲线＝上，∴设切点为，．又∵＝＋xy10(01)f(x)xlnx(x0y0)f′(x)1lny＝xlnx，000x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx)x．∴由解得x＝1，y＝0．∴直线l的方程为0＋＝＋，00y01(1lnx0)x0y＝x－1，即x－y－1＝0．(6)(2021·新高考Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则()A．eb0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则y|＝000x＝x0112x＝2x－＝1．∴x＝1，y＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的xx0x00x0|1－1－2|最短距离d＝＝2．12＋(－1)2【对点训练】21．设点P是曲线y＝x3－＋上的任意一点，则曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为3x3Pα()π5π2ππ2ππ5π．0，∪，．，．0，∪，．，A26πB3πC23πD26π2π．答案解析＝2－，∴－，∴－，又∈，，故∈0，∪，，故1Cy′3x3y′≥3tanα≥3α[0π)α23π选C．12．函数f(x)＝ex＋在＝处的切线方程为．xx112．答案y＝(e－1)x＋2解析f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切x2线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2．3．(2019·全国Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．3．答案y＝3x解析y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝e0×3＝3，所以所求切线方程为y＝3x．1－2lnx4．曲线f(x)＝在点，处的切线的方程为xP(1f(1))l()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－3＝0C．3x＋y＋2＝0D．3x＋y－4＝01－2lnx－3＋2lnx4．答案D解析因为f(x)＝，所以f′(x)＝．又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，故所求切线方xx2程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0．5．(2019·全国Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝05．答案C解析设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0．故选C．x6．(2019·天津)曲线y＝cosx－在点，处的切线方程为．2(01)________1116．答案y＝－x＋1解析y′＝－sinx－，将＝代入，可得切线斜率为－．所以切线方程为－22x02y111＝－x，即y＝－x＋1．22a7．已知f(x)＝xex＋为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为．exa17．答案2x－y＝0解析∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＋f(1)＝0，即e＋－－＝，解得＝，＝eeae0a1f(x)111xex＋，∴f′(x)＝ex＋＋xex－，∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为2，又f(0)＝0，∴曲线exexexy＝f(x)在x＝0处的切线的方程为2x－y＝0．188．已知曲线y＝x3上一点2，，则过点的切线方程为．3P3P________118．答案3x－3y＋2＝0或12x－3y－16＝0解析设切点坐标为x，x3，由y′＝x3′＝x2，得y′|x＝x0303018x3－8303＝x2，即过点P的切线的斜率为x2，又切线过点P2，，若x≠2，则x2＝，解得x＝－1，此时00300－0x0288切线的斜率为1；若x＝2，则切线的斜率为4．故所求的切线方程是y－＝x－2或y－＝4(x－2)，即0333x－3y＋2＝0或12x－3y－16＝0．9．已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．．答案－－＝解析∵点，－不在曲线＝上，∴设切点为，．又∵＝＋9xy10(01)f(x)xlnx(x0y0)f′(x)1y＝xlnx，000lnx，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx)x．∴由解得x＝1，y＝0．∴直线l的方0＋＝＋，00y01(1lnx0)x0程为y＝x－1，即x－y－1＝0．1．设函数＝2－＋，曲线在，处的切线方程是10f(x)f′2x2xf(1)lnxf(x)(1f(1))()A．5x－y－4＝0B．3x－y－2＝0C．x－y＝0D．x＝111f（1）11110．答案A解析因为f(x)＝f′x2－＋，所以＝x－2＋．令＝得＝22xf(1)lnxf′(x)2f′2xx2f′22f′21111×－＋，即＝．又＝－，所以＝，所以＝－＋＝－＋＝．所222f(1)f(1)1f(1)f′22f′23f′(1)2f′22f(1)6215以曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝5(x－1)，即5x－y－4＝0．11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2022－ln2021≈________．1111．答案y＝x解析函数f(x)＝ln(1＋x)，则f′(x)＝，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴切线方程为y＝x．∴20211＋x111ln2022－ln2021＝ln1＋＝，根据以直代曲，＝也非常接近切点＝．∴可以将2021f2021x2021x0x1111＝代入切线近似代替，即≈．2021f2021f2021202112．曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()311A．2B．．．2C2D4112．答案D解析f′(x)＝1＋，则＝，故曲线＝＋在点，处的切线方程为－＝xf′(1)2f(x)xlnx(11)y12(x1－，即＝－，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为，－，，，则切线与坐标轴围成的三1)y2x1(01)20111角形的面积为×1×＝，故选．224D1413．已知曲线y＝x3＋．33(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．1413．解析(1)∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且＝2，33y′x∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|＝4．x＝2∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0．1414(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点Ax，x3＋，则切线的斜率为y′|x＝x＝x2．330303001424∴切线方程为y－x3＋＝x2(x－x)，即y＝x2·x－x3＋．30300030324∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x2－x3＋，即x3－3x2＋4＝0，∴x3＋x2－4x2＋4＝0，030300000∴2＋－＋－＝，∴＋－2＝，解得＝－或＝，x0(x01)4(x01)(x01)0(x01)(x02)0x01x02故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0．b14．设函数f(x)＝ax－，曲线＝在点，处的切线方程为－－＝．xyf(x)(2f(2))7x4y120(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．714．解析(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，4b12a－＝，1b22a＝1，3当x＝2时，y＝．又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－．2x2b7b＝3.xa＋＝，44设，为曲线上任一点，(2)P(x0y0)33由y′＝1＋知曲线在点P(x，y)处的切线方程为y－y＝1＋(x－x)，200020xx0336即y－x－＝1＋(x－x)．令x＝0，得y＝－，0xx2000x06从而得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－．x0令＝，得＝＝，从而得切线与直线＝的交点坐标为，．yxyx2x0yx(2x02x0)16所以点P(x，y)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝－|2x|＝6．0002x0故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6．15．(2021·全国乙)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．15．解析(1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．1①当时，，在上恒成立，所以在上单调递增；a≥3Δ≤0f′(x)≥0Rf(x)R11－1－3a1＋1－3a②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x＝，x＝，31323令，则或；令，则．f′(x)>0xx2f′(x)<0x104xxx4x2取“＝”．∴a≥4－2＝2．∴a的取值范围是[2，＋∞)．(3)设函数f(x)＝alnx＋bx3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a＋b的值为．f(1)＝－1，ab＝－1，a＝1，答案0解析依题意得f′(x)＝＋3bx2，于是有1＋1即解得xf′(1)＝，a＋3b＝－2，b＝－1，0－1所以a＋b＝0．(4)(2019·全国Ⅰ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1答案D解析因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－x＝1ae＋1＝2，a＝e－1，ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得b＝－1，b＝－1.x＋1a(5)设曲线y＝在点(1，－2)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则＝()x－2b11A．．－．．－3B3C3D3－3答案B解析由题可得y′＝，所以曲线在点(1，－2)处的切线的斜率为－3．因为切线与（x－2）2aa1直线＋＋＝垂直，所以－－＝－，解得＝－，故选．axbyc03·b1b3B(6)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为________．答案1＋ln2解析设切点为(m，mlnm)，y′＝1＋lnx，y′|＝1＋lnm，∴y－mlnm＝(1＋lnm)(x－x＝m1＋lnm＝k，m)，即y＝(1＋lnm)x－m，又y＝kx－2，∴即k＝1＋ln2．m＝2，a(7)已知函数f(x)＝x＋，若曲线＝存在两条过，点的切线，则的取值范围是．2xyf(x)(10)aaa答案(－∞，－2)∪(0，＋∞)解析f′(x)＝1－，设切点坐标为x，x＋，∴切线的斜率k＝f′(x)20002x2x0aaaaa＝1－，∴切线方程为y－x＋＝1－(x－x)，又切线过点(1，0)，即－x＋＝1－(1－202x2x2002x2x22x00000，整理得2＋－＝，∵曲线存在两条切线，故该方程有两个解，∴＝2－－，解得x0)2x02ax0a0Δ4a8(a)>0a>0或a<－2．(8)关于x的方程2|x＋a|＝ex有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．答案(1－ln2，＋∞)解析由题意，临界情况为y＝2(x＋a)与y＝ex相切的情况，y′＝ex＝2，则x＝ln2，所以切点坐标为(ln2，2)，则此时a＝1－ln2，所以只要y＝2|x＋a|图象向左移动，都会产生3个交点，所以a>1－ln2，即a∈(1－ln2，＋∞)．【对点训练】1．若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．1．答案e－2解析因为y′＝lnx＋1，所以(ln1＋1)(lnt＋1)＝－1，∴lnt＝－2，t＝e－2．2．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝()A．0B．1C．2D．312．答案D解析∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1．∵曲线y＝eax－ln(xx＋1＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3．故选D．3．若曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3)D．(1，－3)3．答案C解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C．4．函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是．14．答案(－∞，2)解析由题意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以f′(x)＝＋＝在，＋上有解，xa2(0∞)11则＝－．因为＞，所以－＜，所以的取值范围是－，．a2xx02x2a(∞2)5．已知函数f(x)＝xcosx＋asinx在x＝0处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，则实数a的值为．5．答案2解析f′(x)＝cosx＋x·(－sinx)＋acosx＝(1＋a)cosx－xsinx，∴f′(0)＝1＋a＝3，∴a＝2．6．已知函数f(x)＝x3＋ax＋b的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y－5＝0，则a＝________；b＝________．f(1)＝1＋a＋b＝2×1－5，6．答案－1－3解析由题意得f′(x)＝3x2＋a，则由切线方程得解得a＝f′(1)＝3＋a＝2，－1，b＝－3．37．若函数f(x)＝ax－的图象在点，处的切线过点，，则＝．x(1f(1))(24)a________37．答案2解析f′(x)＝a＋，f′(1)＝a＋3，f(1)＝a－3，故f(x)的图象在点(1，a－3)处的切线方程为yx2－(a－3)＝(a＋3)(x－1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a－3)＝a＋3，解得a＝2．8．若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝lnx＋b的切线，则b＝()A．－1B．1C．2D．e8．答案C解析y＝ex的导数为y′＝ex，则曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率k＝1，则曲线y＝ex在x1＝处的切线方程为－＝，即＝＋．设＝＋与＝＋相切的切点为，＋．又＝，0y1xyx1yx1ylnxb(mm1)y′x1则＝，解得＝．所以切点坐标为，，则＝＋，得＝．m1m1(12)2bln1b21．曲线＝＋x在点，处的切线与轴交于点－，，则＝；9y(ax1)e(01)x20a9．答案1解析y′＝ex(ax＋1＋a)，所以y′|＝1＋a，则曲线y＝(ax＋1)ex在(0，1)处的切线方程为yx＝011＝＋＋，又切线与轴的交点为－，，所以＝＋－＋，解得＝．(1a)x1x200(1a)×21a110．过点M(－1，0)引曲线C：y＝2x3＋ax＋a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A、B两点，若|MA|＝|MB|，则a＝．272t3＋at＋a10．答案－解析设切点坐标为(t，2t3＋at＋a)，∵y′＝6x2＋a，∴6t2＋a＝，即4t3＋6t24t＋133＝，解得＝或＝－，∵＝，∴两切线的斜率互为相反数，即＋－2＝，解得0t0t2|MA||MB|2a6×20a27＝－．411．已知曲线C：f(x)＝x3－3x，直线l：y＝ax－3a，则a＝6是直线l与曲线C相切的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．答案A解析因为曲线C：f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3．设直线l与曲线C相切，且切点的横3x＝－，3x2－3＝a，x＝3，0200坐标为，则切线方程为＝2－－3，所以解得或所x0y(3x03)x2x02x3＝3a，a＝630a＝－，4以a＝6是直线l与曲线C相切的充分不必要条件，故选A．112．已知点M是曲线y＝x3－2＋＋上任意一点，曲线在处的切线为，求：32x3x1Ml(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．512．解析(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，min355∴斜率最小的切线过点2，，斜率＝－，∴切线方程为－＝－－，即＋－＝．3k1y31×(x2)3x3y110π3π由得－，∴－，又∵∈，，∴∈0，∪，．(2)(1)k≥1tanα≥1α[0π)α24ππ3π故的取值范围为0，∪，．α24π13．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．13．解析f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．f(0)＝b＝0，(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1．f′(0)＝－a(a＋2)＝－3，(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，1所以＝－2＋＋，即2＋＋，所以－．Δ4(1a)12a(a2)>04a4a1>0a≠211所以的取值范围为－，－∪－，＋．a∞22∞114．已知函数f(x)＝x3－2＋∈的图象为曲线．32x3x(xR)C(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．14．解析(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，k≥－1，则由题意并结合(1)中结论可知1，解得－1≤k<0或k≥1，－≥－1k则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，解得x∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．

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高考数学导数满分通关曲线的切线方程

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