[明考纲•知考情]考什么1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2.能用向量语言
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述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.怎么考从高考内容上来看，利用向量法求空间角的大小是命题的热点．题型多为解答题，难度中档．着重考查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力.v1⊥v2v1∥v2n1⊥n2n1∥n2v⊥nv∥n直线l1和AB在该平面内的投影直线l1和l2的夹角〈n1，n2〉π－〈n1，n2〉答案：A1．若直线a，b的方向向量分别为a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)，则( )A．a∥b或a与b重合 B．a⊥bC．a与b相交但不垂直D．a与b异面但不垂直解析：∵a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)，∴b＝－2a，∴a与b共线．即a∥b或a与b重合．2．(教材习题改编)已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为( )A．－1,2 B．1，－2C．1,2D．－1，－2答案：A答案：A4．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝AD＝3，CD＝6，则直线PD与BC所成的角为________．解析：以A为坐标原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，D(3,0,0)，C(3,6,0)．答案：60°1．平面的法向量的求法设出平面的一个法向量n＝(x，y，z)，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为0，列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标．注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一．2．利用向量法求空间角利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角取值范围的区别，特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，应注意二面角的范围．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)[冲关锦囊]1．用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．2．用向量法证垂直问题(1)证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为0；(2)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；(3)证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为0，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.[精析考题][例2](2011·大纲版全国高考)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值．2．(2011·郑州质检)如图，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BF⊥AC.(1)求证：AC⊥平面ABF；(2)求异面直线BE与AC所成的角的余弦值．解：(1)证明：因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF平面ADEF，所以AF⊥平面ABCD.故AF⊥AC，又BF⊥AC，AF∩BF＝F，所以AC⊥平面ABF.3.(2012·广州调研)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD.∵PD平面PAD，∴AB⊥PD，∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM平面ABM，∴AM⊥PD.[冲关锦囊]2．利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面的夹角.解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)4.一个几何体是由如图所示的圆柱ADD1A1和三棱锥E－ABC组合而成，点A、B、C在圆柱上底面圆O的圆周上，且BC过圆心O，EA⊥平面ABC.(1)求证：AC⊥BD；(2)求锐二面角A－BD－C的大小．解：(1)证明：因为EA⊥平面ABC，AC平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC.又因为AC⊥AB，AB∩ED＝A，所以AC⊥平面EBD.因为BD平面EBD，所以AC⊥BD.[冲关锦囊][冲关锦囊][巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)[冲关锦囊]1．开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有一定的思维深度，用向量法较容易解决．2．对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．答题模板向量法求空间角的规范解答[高手点拨]1．本题中易忽略的步骤为(2)中求出cos〈m，n〉而直接下结论，但本题求其正弦值．2．本题易错点是学生在建立坐标系时，不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范．同时，将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错．
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