2014年最新中考数学真题解析汇编：操作探究

PAGE9/NUMPAGES9操作探究一.选择题1.<2014•####,第7题3分>已知：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A＜∠B,CM是斜边AB上的中线,将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点D处,如果CD恰好与AB垂直,那么∠A的度数是〔　　〕第1题图　A．30°B．40°C．50°D．60°考点：翻折变换〔折叠问题〕．分析：根据折叠的性质可知,折叠前后的两个三角形全等,则∠D=∠A,∠MCD=∠MCA,从而求得答案．解答：解：∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A＜∠B,CM是斜边AB上的中线,∴AM=MC=BM,∴∠A=∠MCA,∵将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点D处,∴CM平分∠ACD,∠A=∠D,∴∠ACM=∠MCD,∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°∴∠A=∠BCD∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°∴∠A=30°．故选：A．点评：本题考查图形的折叠变化与三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,只是位置变化．0.2．〔2014•####,第12题3分〕如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点,OQ⊥BC于点Q,过点B作半圆O的切线,交OQ的延长线于点P,PA交半圆O于R,则下列等式中正确的是〔　　〕A．=B．=C．=D．=考点：切线的性质；平行线的判定与性质；三角形中位线定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质专题：探究型．分析：〔1〕连接AQ,易证△OQB∽△OBP,得到,也就有,可得△OAQ∽OPA,从而有∠OAQ=∠APO．易证∠CAP=∠APO,从而有∠CAP=∠OAQ,则有∠CAQ=∠BAP,从而可证△ACQ∽△ABP,可得,所以A正确．〔2〕由△OBP∽△OQB得,即,由AQ≠OP得,故C不正确．〔3〕连接OR,易得=,=2,得到,故B不正确．〔4〕由与AC=2OQ,AB=2OB,OB=OR可得,由AB≠AP得,故D不正确．解答：解：〔1〕连接AQ,如图1,∵BP与半圆O于点B,AB是半圆O的直径,∴∠ABP=∠ACB=90°．∵OQ⊥BC,∴∠OQB=90°．∴∠OQB=∠OBP=90°．又∵∠BOQ=∠POB,∴△OQB∽△OBP．∴．∵OA=OB,∴．又∵∠AOQ=∠POA,∴△OAQ∽△OPA．∴∠OAQ=∠APO．∵∠OQB=∠ACB=90°,∴AC∥OP．∴∠CAP=∠APO．∴∠CAP=∠OAQ．∴∠CAQ=∠BAP．∵∠ACQ=∠ABP=90°,∴△ACQ∽△ABP．∴．故A正确．〔2〕如图1,∵△OBP∽△OQB,∴．∴．∵AQ≠OP,∴．故C不正确．〔3〕连接OR,如图2所示．∵OQ⊥BC,∴BQ=CQ．∵AO=BO,∴OQ=AC．∵OR=AB．∴=,=2．∴≠．∴．故B不正确．〔4〕如图2,∵,且AC=2OQ,AB=2OB,OB=OR,∴．∵AB≠AP,∴．故D不正确．故选：A．点评：本题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形的中位线等知识,综合性较强,有一定的难度．3．〔2014•####,第9题4分〕将一张正方形纸片,按如图步骤①,②,沿虚线对着两次,然后沿③中的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是〔　　〕A．B．C．D．考点：剪纸问题．分析：按照题意要求,动手操作一下,可得到正确的答案．解答：解：由题意要求知,展开铺平后的图形是B．故选B．点评：此题主要考查了剪纸问题,此类问题应亲自动手折一折,剪一剪看看,可以培养空间想象能力．4．〔2014•##,第5题3分〕如图,贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩,做好后发现上口太小了,于是他把纸灯罩对齐奢压扁,剪去上面一截后,正好合适.以下裁剪示意图中,正确的是〔〕．[答案]A.[考点]图形与变换．[分析]可用排除法,B、D两选项肯定是错误的,正确答案为A.[解答]答案为A.5．二.填空题1.〔2014•##黔西南州,第19题3分〕如图,将矩形纸片ABCD折叠,使边AB、CD均落在对角线BD上,得折痕BE、BF,则∠EBF=45°．第1题图考点：角的计算；翻折变换〔折叠问题〕．分析：根据四边形ABCD是矩形,得出∠ABE=∠EBD=∠ABD,∠DBF=∠FBC=∠DBC,再根据∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°,得出∠EBD+∠DBF=45°,从而求出答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形,根据折叠可得∠ABE=∠EBD=∠ABD,∠DBF=∠FBC=∠DBC,∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°,∴∠EBD+∠DBF=45°,即∠EBF=45°,故答案为：45°．点评：此题考查了角的计算和翻折变换,解题的关键是找准图形翻折后,哪些角是相等的,再进行计算,是一道基础题．三.解答题1.<2014•##,第26题12分>问题探究〔1〕如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长；〔2〕如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长；问题解决〔3〕有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°？若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由．考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值．菁优网专题：压轴题；存在型．分析：〔1〕由于△PAD是等腰三角形,底边不定,需三种情况讨论,运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．〔2〕以EF为直径作⊙O,易证⊙O与BC相切,从而得到符合条件的点Q唯一,然后通过添加辅助线,借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．〔3〕要满足∠AMB=60°,可构造以AB为边的等边三角形的外接圆,该圆与线段CD的交点就是满足条件的点,然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识,就可算出符合条件的DM长．解答：解：〔1〕①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①,则PA=PD．∴△PAD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形∴AB=DC,∠B=∠C=90°．∵PA=PD,AB=DC∴Rt△ABP≌Rt△DCP〔HL〕．∴BP=CP．∵BC=4,∴BP=CP=2．②以点D为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P′,如图①,．则DA=DP′．∴△P′AD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=DC,∠C=90°．∵AB=3,BC=4,∴DC=3,DP′=4．∴CP′==．∴BP′=4﹣．③点A为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P″,如图①,则AD=AP″．∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″=．综上所述：在等腰三角形△ADP中,若PA=PD,则BP=2；若DP=DA,则BP=4﹣；若AP=AD,则BP=．〔2〕∵E、F分别为边AB、AC的中点,∴EF∥BC,EF=BC．∵BC=12,∴EF=6．以EF为直径作⊙O,过点O作OQ⊥BC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②．∵AD⊥BC,AD=6,∴EF与BC之间的距离为3．∴OQ=3∴OQ=OE=3．∴⊙O与BC相切,切点为Q．∵EF为⊙O的直径,∴∠EQF=90°过点E作EG⊥BC,垂足为G,如图②．∵EG⊥BC,OQ⊥BC,∴EG∥OQ．∵EO∥GQ,EG∥OQ,∠EGQ=90°,OE=OQ,∴四边形OEGQ是正方形．∴GQ=EO=3,EG=OQ=3．∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,∴BG=．∴BQ=GQ+BG=3+．∴当∠EQF=90°时,BQ的长为3+．〔3〕在线段CD上存在点M,使∠AMB=60°理由如下：以AB为边,在AB的右侧作等边三角形ABG,作GP⊥AB,垂足为P,作AK⊥BG,垂足为K．设GP与AK交于点O,以点O为圆心,OA为半径作⊙O,过点O作OH⊥CD,垂足为H,如图③．则⊙O是△ABG的外接圆,∵△ABG是等边三角形,GP⊥AB,∴AP=PB=AB．∵AB=270,∴AP=135．∵ED=285∴OH=285﹣135=150．∵△ABG是等边三角形,AK⊥BG,∴∠BAK=∠GAK=30°．∴OP=AP•tan30°=135×=45．∴OA=2OP=90．∴OH＜OA．∴⊙O与CD相交,设交点为M,连接MA、MB,如图③．∴∠AMB=∠AGB=60°,OM=OA=90．．∵OH⊥CD,OH=150,OM=90,∴HM===30．∵AE=400,OP=45,∴DH=400﹣45．若点M在点H的左边,则DM=DH+HM=400﹣45+30．∵400﹣45+30＞340,∴DM＞CD．∴点M不在线段CD上,应舍去．若点M在点H的右边,则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．∵400﹣45﹣30＜340,∴DM＜CD．∴点M在线段CD上综上所述：在线段CD上存在唯一的点M,使∠AMB=60°,此时DM的长为〔400﹣45﹣30〕米．点评：本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识,考查了操作、探究等能力,综合性非常强．而构造等边三角形与其外接圆是解决本题的关键．