概率统计第八章假设检验

第八章　假设检验§8.1假设检验的基本思想§8.2正态总体未知参数的假设检验§8.3单侧假设检验上一章介绍了对总体中未知参数的估计方法。本章将讨论统计推断的另一个重要方面——统计假设检验。出于某种需要，对未知的或不完全明确的总体给出某些假设，用以说明总体可能具备的某种性质，这种假设称为统计假设。如正态分布的假设，总体均值的假设等。这个假设是否成立，还需要考察，这一过程称为假设检验，并最终作出判断，是接受假设还是拒绝假设。本章主要介绍假设检验的基本思想和常用的检验方法，重点解决正态总体参数的假设检验。§1　假设检验的基本思想　一、假设检验问题的提出二、假设检验的基本思想三、假设检验中两类错误统计推断的另一个重要问题是假设检验问题。在总体的分布函数未知或只知其形式，但不知其参数的情况下，为了推断总体的某些性质，提出某些关于总体的假设。例如，提出总体服从泊松分布的假设，又如，对于正态总体提出数学期望0的假设等。这里，先结合例子来说明假设检验的基本思想和做法。假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断：是接受，还是拒绝。　　例1已知某炼铁厂的铁水含碳量X在某种工艺条件下服从正态分布N(4.55，0.1082)。现改变了工艺条件，测了五炉铁水，其含碳量分别为：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37根据以往的经验，总体的方差2=0.1082一般不会改变。试问工艺条件改变后，铁水含碳量的均值有无改变？显然，这里需要解决的问题是，如何根据样本判断现在冶炼的铁水的含碳量是服从≠4.55的正态分布呢？还是与过去一样仍然服从=4.55的正态分布呢？若是前者，可以认为新工艺对铁水的含碳量有显著的影响；若是后者，则认为新工艺对铁水的含碳量没有显著影响。通常，选择其中之一作为假设后，再利用样本检验假设的真伪。例2某自动车床生产了一批铁钉，现从该批铁钉中随机抽取了11根，测得长度(单位：mm)数据为：10.41，10.32，10.62，40.18，10.77，10.64，10.82，10.49，10.38，10.59，10.54。试问铁钉的长度X是否服从正态分布？而在本例中，我们关心的问题是总体X是否服从正态分布。如同例1那样，选择“是”或“否”作为假设，然后利用样本对假设的真伪作出判断。以上两例都是实际问题中常见的假设检验问题。我们把问题中涉及到的假设称为原假设或称待检假设，一般用H0 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。而把与原假设对立的断言称为备择假设，记为H1。如例1，若原假设为H0：=0=4.55，则备择假设为H1：≠4.55。若例2的原假设为H0：X服从正态分布，则备择假设为H1：X不服从正态分布。当然，在两个假设中用哪一个作为原假设，哪一个作为备择假设，视具体问题的题设和要求而定。在许多问题中，当总体分布的类型已知时，只对其中一个或几个未知参数作出假设，这类问题通常称之为参数假设检验，如例1。而在有些问题中，当总体的分布完全不知或不确切知道，就需要对总体分布作出某种假设，这种问题称为分布假设检验，如例2。接下来我们要做的事是：给出一个合理的法则，根据这一法则，利用巳知样本做出判断是接受假设H0，还是拒绝假设H0。二、假设检验的基本思想假设检验的一般提法是：在给定备择假设H1下，利用样本对原假设H0作出判断，若拒绝原假设H0，那就意味着接受备择假设H1，否则，就接受原假设H0。换句话说，假设检验就是要在原假设H0和备择假设H1中作出拒绝哪一个和接受哪一个的判断。究竟如何作出判断呢？对一个统计假设进行检验的依据是所谓小概率原理，即假设检验采用的是概率反证法：先假设原假设成立，在此基础上用样本值进行运算，在一定的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 下，样本运算的结果导致小概率事件发生，则拒绝原假设；否则，接受原假设。参数的假设检验的一般步骤：(1)根据所讨论的实际问题建立原假设H0及备择假设H1；(2)选择合适的检验统计量Z，并明确其分布；(3)对预先给定的小概率＞0，由P{|Z|≥z/2}=确定临界值z/2；(4)由样本值具体计算统计量Z的观察值z，并作出判断，若|z|≥z/2，则拒绝H0，接受H1；若|z|＜z/2，则接受H0。　　例1已知某炼铁厂的铁水含碳量X在某种工艺条件下服从正态分布N(4.55，0.1082)。现改变了工艺条件，测了五炉铁水，其含碳量分别为：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37根据以往的经验，总体的方差2=0.1082一般不会改变。试问工艺条件改变后，铁水含碳量的均值有无改变？(1)假设H0：=0=4.55，H1：≠4.55；(2)选择检验用统计量(3)对于给定小正数，如=0.05，查标准正态分表得到临界值z/2=z0.025=1.96；因为|z|=3.9＞1.96，所以拒绝H0，接受H1，即认为新工艺改变了铁水的平均含碳量。(4)具体计算：这里n=5，故Z的观察值解：三、假设检验中两类错误第Ⅰ类错误，当原假设H0为真时，却作出拒绝H0的判断，通常称之为弃真错误，由于样本的随机性，犯这类错误的可能性是不可避免的。若将犯这一类错误的概率记为，则有P{拒绝H0|H0为真}=。第Ⅱ类错误，当原假设H0不成立时，却作出接受H0的决定，这类错误称之为取伪错误，这类错误同样是不可避免的。若将犯这类错误的概率记为，则有P{接受H0|H0为假}=。自然，我们希望一个假设检验所作的判断犯这两类错误的概率都很小。事实上，在样本容量n固定的情况下，这一点是办不到的。因为当减小时，就增大；反之，当减小时，就增大。那么，如何处理这一问题呢？事实上，在处理实际问题中，一般地，对原假设H0，我们都是经过充分考虑的情况下建立的，或者认为犯弃真错误会造成严重的后果。因此，在H0与H1之间，我们主观上往往倾向于保护H0，即H0确实成立时，作出拒绝H0的概率应是一个很小的正数，也就是将犯弃真错误的概率限制在事先给定的范围内，这类假设检验通常称为显著性假设检验，小正数称为检验水平或称显著性水平。§8.2正态总体下未知参数的假设检验一、单个正态总体情形1．均值的检验原假设H0：=0，备择假设H1：≠0。(a)2已知由上节的讨论可知，在H0成立的条件下，选用检验统计量对给定的检验水平，查正态分布表得临界值z/2，再由样本值具体计算统计量Z的观察值z并与z/2比较，若|z|≥z/2，则拒绝H0，接受H1；若|z|＜z/2，则接受H0。这种检验法常称为Z检验法。一、单个正态总体情形例1设某车床生产的钮扣的直径X服从正态分布，根据以往的经验，当车床工作正常时，生产的钮扣的平均直径0=26mm，方差2=2.62。某天开机一段时间后，为检验车床工作是否正常，随机地从刚生产的钮扣中抽检了100粒，测得均值为26.56。假定方差没有什么变化。试分别在1=0.05，2=0.01下，检验该车床工作是否正常？由1=0.05及2=0.01，查正态分布表，得临界值z1/2=z0.025=1.96，z2/2=z0.005=2.58。而解：原假设H0：=0，备择假设H1：≠0。因此，|z|=2.15＞1.96，但|z|=2.15＜2.58，故在检验水平1=0.05下，应当拒绝H0，接受H1，即认为该天车床工作不正常；而在检验水平2=0.01下，应当接受H0，即认为该天车床工作是正常的。上例说明：1）对于同一个问题，同一个样本，由于检验水平不一样，可能得出完全相反的结论。因此，在实际应用中，如何合理地选择检验水平是非常重要的。(b)2未知由于2未知，因此，不能用Z作为检验统计量，但注意到样本方差是2的无偏估计量，因此，我们自然会想到用s2代替2，而在第六章的定理3也已经证明，在H0成立的条件下，统计量于是，对给定的显著性水平＞0，查t分布表可得临界值t/2，使P{|t|≥t/2}=成立。再由样本值具体计算统计量T的观察值t，并与t/2比较，若|t|≥t/2，则拒绝H0，接受H1；若|t|＜t/2，则接受H0。这种检验法也称为t检验法。例2某厂利用某种钢生产钢筋，根据长期资料的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，知道这种钢筋强度X服从正态分布，今随机抽取六根钢筋进行强度试验，测得强度X(单位：kg/mm2)为48.5，49.0，53.5，56.0，52.5，49.5。试问：能否据此认为这种钢筋的平均强度为52.0kg/mm2(=0.05)?解设X～N(，2)，依题意建立假设H0：=0，H1：≠0。这里2未知，故在H0成立的条件下应选取检验统计量由已知=0.05，查t分布表得临界值t/2=t0.025(6－1)=2.571。又由样本值算得因为，|t|≈0.41＜2.571，故接受H0，即可以认为这种钢筋的平均强度为52.0kg/mm2。2．方差的检验设总体X～N(，2)，均未知，(X1，X2，…，Xn)来自总体X的样本，要求进行的检验(设显著性水平为＞0)为再由样本值(x1,x2,…,xn)具体计算统计量2的观察值判断：这种检验法称为2检验法。例4某种电子元件的寿命(单位：h)X～N(，2)，其中，2未知。现检测了16只电子元件，其寿命如下：159，280，101，212，224，279，179，264，222，362，168，250，149，260，485，170。试问元件寿命的方差2是否等于1002(=0.05)？解依题意，假设H0：2=1002，H1：2≠1002，选取检验统计量因此对给定检验水平=0.05，由2分布表求得临界值又据样本值算得：因为6.262＜12.81＜27.488，所以，应接受H0，即可以认为电子元件寿命的方差2与1002无显著差异。在实际应用中，常常遇到两正态总体参数的比较问题，如两个车间生产的灯泡寿命是否相同；两批电子元件的电阻是否有差别；两台机床加工零件的精度是否有差异等等。一般都可归纳为两正态总体参数的假设检验。因此，对给定显著性水平＞0，可查t分布表求得临界值t/2(n1+n2–2)。再由样本值具体计算统计量T的观察值t，并与t/2(n1+n2–2)比较，若|t|≥t/2(n1+n2–2)，则拒绝H0，接受H1；若|t|t/2(n1+n2-2),由n1=9，n2=8,=0.05,得t/2(n1-1，n2-2)=t0.025(15)=2.1315。因此H0的拒绝域为|t|>2.1315。因t没有落入拒绝域，故H0相容，认为东、西两支矿脉的平均含锌量可以看作一样，无显著差异。样本均值之间的差异可以认为是由随机性所导致的，而不是系统偏差。§8.3单侧假设检验以上介绍的假设检验，归纳起来为下面两种形式：(1)原假设H0：=0，备择假设H1：≠0，其中0为某一常数；(2)原假设H0：1=2，备择假设H1：1≠2，其中1，2分别为两相互独立的总体X与Y的参数。这类假设的共同特点是，将检验统计量的观察值与临界值比较，无论是偏大还是偏小，都应否定H0，接受H1。因此，通常也称为双侧假设检验。但在某些实际问题中，例如，对于设备、元件的寿命来说，寿命越长越好，而产品的废品率当然越低越好，同时均方差越小也是我们所希望的。因此，在实际应用中，除了上述的双侧假设检验之外，还有许多其它形式的假设检验问题：(3)原假设H0：≥0(或≤0)，备择假设H1：＜0(或＞0)。其中为总体X的未知参数，0为一常数；(4)原假设H0：1≥2(或1≤2)，备择假设H1：1＜2(或1＞2)。其中1，2为相互独立的总体X与Y的未知参数。(3)、(4)两种统计假设，常称之为单侧假设，相应的假设检验称为单侧（左、右）假设检验。例1某厂生产的电子元件的寿命(单位：h)X～N(，2)，其中未知。但据以往的经验，电子元件的寿命一直稳定在0=200小时，现该厂对生产工艺作了某些改进，为了了解技术革新的效果，从刚生产的电子元件中任意抽取16只，测得寿命如下：199，280，191，232，224，279，179，254，222，192，168，250，189，260，285，170。试问：工艺改进后，在检验水平=0.05下是否可以认为元件的平均寿命有了显著的提高？解显然，该问题是要判断新产品的寿命是否服从＞200小时的正态分布？由此，建立假设原假设H0：≤0=200，备择假设H1：＞200。分两种情况讨论：1)当=0时，由于2未知，取统计量因此，对给定的小正数，由P{t≥t(n-1)}得临界值t(n-1)。显然，是概率为的小概率事件或t≥t(n-1)是H0的拒绝域。2)当<0时，应当考察但由于未知，故仍取统计量作为检验统计量。更是小概率事件。因此如果统计量T的观察值则应拒绝H0，接受H1；如果t＜t(n-1)，则只能接受H0。综合上述两种情况，对于假设检验问题H0：≤0，H1：>0，只要由样本值计算统计量T的观察值t≥t(n-1)，就应当拒绝H0，接受H1；否则就接受H0。现在我们来解决例1。由样本观察值具体计算得:由=0.05查t分布表得临界值所以，应拒绝H0，接受H1，即认为经过工艺改进后，元件的平均寿命有了显著的提高。其它类似的情况见书P178页表8-1。H1:μ>μ0（即假设新方法提高了燃烧率）解　按题意需检验假设　H0:μ≤μ0=40（即假设新方法没有提高燃烧率）即z的值落在拒绝域中。所以我们在显著性水平α=0.05下，拒绝H0。即认为这批推进器的燃料率较以往生产的有显著地提高。　　　　　　　这是右侧检验问题，其拒绝域为(2)灯泡合格，即灯泡的使用寿命应不显著低于标准值0=1000小时，因而属单边左侧检验。故待验假设应为注：题解中的能否换成H0：≤1000，H1：>1000(单边右侧检验)呢？答案是否定的。因为，此时，t=－1.8<1.75。故应考虑接受H0：≤1000。但此时，既不能认为这批元件是不合格的(有可能=1000)，也不能认为是合格的(有可能<1000)。由此可见，就本题的题设而言，待检假设只能是H0：≥1000，H0：<1000(单边左侧检验)。否则将得不到任何有效的结论。例4某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。今在生产一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体为正态分布。问在水平=0.05下以能否认为这批导线的标准差显著地偏大?解：假设：拒绝H0，即认为这批导线的标准差显著地偏大。例5用机器包装食盐，假设每袋盐的净重X(单位：g)服从正态分布N(，2)，规定每袋标准重量500g，标准差不能超过10g。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重为：497，507，510，475，488，524，491，515，484。试问这天包装机工作是否正常(=0.05)？解依题设，需检验假设由于2未知，应选择检验统计量由=0.05，查t分布表得临界值由样本观察值具体计算，得这是方差的单侧检验问题，选取检验统计量由=0.05，查2分布表得临界值例6有两台车床生产同一种型号的钢球，根据已往的经验可以认为，这两台机床生产的钢球的直径均服从正态分布。现从这两台车床生产的产品中分别抽出8个和9个钢球，测得钢球的直径如下(单位：mm)：甲车床：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8；乙车床：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.9。试问据此是否可以认为乙车床生产的产品的方差比甲车床小(取=0.05)？解提出假设H0：σ12≤σ22，H1：σ12>σ22选取检验统计量由=0.05，查F分布表得临界值由样本观察值具体计算，得故应拒绝H0，接受H1，即可以认为乙车床产品的直径的方差比甲车床小。例7为了了解某种添加剂对预制板的承载力有无提高作用。现用原方法(无添加剂)及新方法(添加该种添加剂)各浇制了10块预制板，其承载数据(单位：kg/cm2)如下：原方法：78.1，72.4，76.2，74.3，77.4，78.4，76.0，75.5，76.7，77.3；新方法：79.1，81.0，77.3，79.1，80.0，79.1，79.1，77.3，80.2，82.1。设两种方法所得的预制板的承载力均服从正态分布。试问新方法能否提高预制板的承载力(取=0.05)？解用X，Y分别表示两种方法下预制板的承载力。依题设，，因不知，，是否相等，故首先应检验假设由假设知应选择检验统计量：由=0.05，查F分布表得临界值由样本观察值具体计算，得因为0.248＜1.49＜4.03。故应接受H0，即认为两种方法的方差无显著差异，可以认为相等，亦即由于两总体方差相等，因此可选择检验统计量由=0.05，查t分布表得临界值由于－4.295＜－1.734，所以应拒绝，即认为加进添加剂生产的预制板承载力有明显提高。例8按规定，每100g的罐头，番茄汁中VC的含量不得少于21mg，现从某厂生产的一批罐头中任取17个，测得VC的含量（单位：mg）为16，22，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16，25。已知VC的含量服从正态分布，试以0.025的检验水平检验该批罐头的VC含量是否合格。解：假设：由样本观测算得：故接受原假设，即可以为该批罐头的VC含量是合格的。例9某治金工作者对锰的溶化点作了4次试验，结果分别为：1269℃,1271℃,1263℃,1265℃。假定数据服从正态分布，在条件下，试检验：（1）这些结果是否符合于公布的平均温度1260℃；（2）测定值的均方差小于等于2℃解（1）假设：由于方差2未知，故采用t—检验法。由样本值得，故拒绝原假设H0，即不能认为结果符合公布的数字1260℃。（2）假设：应采用2—检验法：故拒绝H0，即不能认为测定值的均方差小于等于2℃。练习题不显著地小于原有的水平!1．某工厂生产一种活塞，其直径服从正态分布N(，2)且直径方差的标准值2=0.0004。现对生产工艺作了某些改进，为考察新工艺的效果，现从新工艺生产的产品中抽取25个，测得新活塞的方差s2=0.0006336。试问新工艺生产活塞直径的波动性是否显著地小于原有的水平(取=0.05)？由题设可知，这是一个双侧检验！3某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差2=5000（小时2）的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机抽取26只电池，测出其寿命的样本方差s2=9200（小时2）。问根据这一数据能否推断这批电池的寿命波动性较以往有显著改变（取=0.02)?这是一个双侧检验！所以拒绝H0，由此可以推断这批电池的寿命波动性较以往有显著改变。4某厂生产的电子元件的寿命(单位：h)X～N(，2)，其中2未知。但据以往的经验，电子元件的寿命一直稳定在0=200小时，现该厂对生产工艺作了某些改进，为了了解技术革新的效果，从刚生产的电子元件中任意抽取16只，测得寿命如下：199，280，191，232，224，279，179，254，222，192，168，250，189，260，285，170。试问：工艺改进后，在检验水平=0.05下是否可以认为元件的平均寿命有了显著的提高？应拒绝H0，接受H1，即认为经过工艺改进后，元件的平均寿命有了显著的提高。