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数学建模2草坪积水问题.ppt

数学建模2草坪积水问题

小贵子
2019-06-11 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数学建模2草坪积水问题ppt》,可适用于综合领域

微分方程模型草坪积水问题露天足球场极易受雨天的干扰。每逢下雨只能停赛直至草坪的表层充分干即或雨水渗透到了底层或雨停后雨水蒸发到空气中。有仪器可以加快其干燥过程但为了避免损坏草坪常常让其自然干燥。是否可以建立一个数学模型描述这一干燥过程?这个问题也可以叙述为:下了一场雨后是否可以预测比赛何时能恢复?设草坪开始时是干的突然开始下雨并以同样的大小持续了半小时。假设在半小时中积累了厘米高的水。通过分析将与此问题有关的因素列表如下:因素变量类别符号单位降雨速度变量米秒时间变量秒草坪面积参量米草坪厚度参量米目前在草坪中的雨量变量米蒸发率变量米秒渗透变量米秒比例常数每秒停雨时间参量秒注:这里Q是用米来度量的乘以草坪的面积后实际上是水的体积同样e和s是用米秒来度量的用A来乘成了用立方米来度量的每秒钟内的体积流率。为了建立这个模型采用下面的原理:{在草坪中雨水的增加率}={流入率}{流出率}由于开始时草坪是干的即初始条件。由上述原理必须知道流入、流出和草坪的容量。显然流入率等于降雨率与所考虑的草坪的面积的成绩即流入率=。为了确定流出率则必须确定水是如何流出的。流出的水将排入底下和蒸发到空气中。但在降雨的过程中蒸发几乎是不可能的于是仅需考虑渗透。假设这与草坪中的含水量成正比即s(t)=aQ(t)。当停止下雨水除了渗透外还有蒸发。蒸发率依赖于空气的温度和湿度。蒸发的水来自于湿草坪的表面为了建模的方便假设蒸发率与草坪中的水量成正比即。于是可得到关于的微分方程:为了使模型能给出有关草坪进水的足够信息就要对它进行积分如果给出r(t),a,b的数据就可得到Q(t)前面已经说过降雨率在半小时的时间周期里为常数即对于参数a和b的值可以有两种方法来得到:一是通过深入的理论探讨从科学的角度找到它们的值另一种是把它们作为待定的参数得到数学解然后通过参数辨别得到a和b的值。在此为了避免这些麻烦就直接给出它们的值a=每秒b=每秒。如果取草坪的面积为平方米从方程积分()得当时。解()得其中是一个积分常数它可以从代入上式得。因此上述方程预测了雨停后草坪中水是如何减少的量。问题是确定比赛何时才能恢复即草坪何时才能干燥也就是说。然而上述方程是一个负指数函数按照这个模型实际上不会为零。假设当水量降至其高峰值的时就认为草坪时足够干的了。要等多长时间只要在上述方程中令并取对数于是有这样雨停以后还要等秒才能恢复比赛。

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