连续型随机变量PPT课件

《概率统计》下页结束返回引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数.解:若x<0，则{X≤x}是一个不可能事件，于是若0≤x<2，由题意得若x≥2，则有所以，§2.４连续型随机变量下页《概率统计》下页结束返回易证，F(x)是一个连续函数，可表示为 其中引例中随机变量X具有下列特点：一是X可在某个区间内连续取值，二是X的分布函数可用非负函数的积分来表示，具有这些特点的随机变量，即为连续型随机变量。引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数.下页《概率统计》下页结束返回§2.４连续型随机变量一、定义：设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)，使得则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数或密度.二、性质：(1)f(x)≥0下页曲线下x轴上所围面积为1《概率统计》下页结束返回二、性质：(4)在f(x)的连续点处有：(5)连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0.由性质(5)可得§2.４连续型随机变量下页《概率统计》下页结束返回例1.设随机变量X的密度函数为求(1)常数A;(3)分布函数F(x).解:(1)由于f(x)是一个密度函数,解得A=2/3注:(1)若概率密度中含有待定常数，可由确定.(2)Ｘ取值于某区间的概率等于其密度函数在对应区间的积分.§2.４连续型随机变量下页《概率统计》下页结束返回《概率统计》下页结束返回《概率统计》下页结束返回(一)均匀分布如果随机变量X的概率密度为分布函数为则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,记为X～U[a,b].得：X落在[a,b]内任一小区间[c,d]内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关．三、常见连续型随机变量的分布下页《概率统计》下页结束返回例3.设随机变量X在[2，8]上服从均匀分布，求二次方程y2+2Xy+9=0有实根的概率.解：由于X服从均匀分布，故X的概率密度为从而，P{y2+2Xy+9=0有实根}=P{X≥3}+P{X≤-3}=1-P{X<3}+P{X≤-3}下页方程有实根等价于4X2-36≥0,即X≥3或X≤-3.《概率统计》下页结束返回(二)指数分布其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的指数分布,X～E[λ].分布函数为指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布．若随机变量X的密度函数为§2.４连续型随机变量下页《概率统计》下页结束返回例4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：分）服从参数λ＝1/5的指数分布。等待服务时间若超过10分钟，顾客就会离去，若其一个月到银行5次，以Y表示一个月内顾客未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.解：p=P{X>10}=1-P{X≤10}=1-F(10)所以Y的分布律为下页《概率统计》下页结束返回(三)正态分布1.定义若X的概率密度为分布函数其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参数为μ,σ2的正态分布或高斯（Gauss）分布,记作X～N（μ,σ2）下页《概率统计》下页结束返回2.正态分布的密度函数f(x)的图形的性质(1)曲线关于x=μ对称.即P{μ-h＜X≤μ}=P{μ＜X≤μ+h}(2)当x=μ时，函数f(x)达到最大值下页《概率统计》下页结束返回(3)拐点(μ±σ，f(μ±σ));水平渐近线：ox轴.(4)固定σ，改变μ值，曲线f(x)形状不变，仅沿x轴平移.可见μ确定曲线p(x)的位置.(5)固定μ，改变σ值，则σ愈小时，f(x)图形的形状愈陡峭，X落在μ附近的概率越大.下页《概率统计》下页结束返回3.标准正态分布X~N（0，1）当μ=0，σ=1时(标准正态分布)标准正态分布的特点下页《概率统计》下页结束返回4.查标准正态分布函数表计算概率例5.设X～N(0,1),计算P{X≤2.35}；P{-1.64≤X＜0.82}；P{|X|≤1.54}1）P{X≤2.35}=Φ（2.35）=0.99062）P{-1.64≤X＜0.82}=Φ(0.82)-Φ(-1.64)=Φ(0.82)-[1-Φ(1.64)]=0.74343)P{|X|≤1.54}=Φ(1.54)–Φ(-1.54)=2Φ(1.54)-1=0.8764下页《概率统计》下页结束返回1)2)5.正态分布函数查表计算下页《概率统计》下页结束返回解：(1)P{X＞-2}=1-P{X≤-2}=F(-2)=0.9332=1－φ(-1.5)=φ(1.5)=0.9938-0.9332=0.0606=1-[φ(1.5)-φ(-2.5)]=φ(2.5)-φ(1.5)(3)P{|X|＞4}=1-P{|X|≤4}=1-P{-4≤X≤4}(2)=0.9772－0.6915=0.2857下页例6.设X~N(1，4)，求：(1)P{X＞-2}；(2)P{2＜X＜5}；(3)P{|X|＞4}.《概率统计》下页结束返回解:(1)所求概率为=1-0.84=0.16(2)设一周内迟到次数为Y，离散型随机变Y~B(5,0.16),所求概率为例7.某人上班所需的时间（单位:分）X～N(50,100),已知上班时间为早晨8时，他每天7时出门，试求：（1）某天迟到的概率；（2）某周(以5天计)最多迟到一次的概率.下页P{X>60}=1-P{X≤60}=1-F(60)P{Y≤1}《概率统计》下页结束返回例8.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?解:设车门高度为hcm,按设计要求P{X≥h}≤0.01或P{X<h}≥0.99下面我们来求满足上式的最小的h.因为X～N(170,62),查表得(2.33)=0.9901>0.99,即h=170+13.98=184下页《概率统计》下页结束返回作业：42-43页12,13,14,15,17,20结束《概率统计》下页结束返回§２.５随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布下页《概率统计》下页结束返回§2.5随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布随机变量的函数设y=g(x)为x的函数，X为随机变量,则Y=g(X)也是一个随机变量，且当X取值x时,Y取值y=g(x).下页如二、连续型随机变量函数的分布《概率统计》下页结束返回例1.已知X的概率分布为X-10125P0.30.10.20.150.25求(1)Y=2X+1；(2)Y=X2的概率分布.解:(1)Y-113511P0.30.10.20.150.25(2)Y01425P0.10.3+0.20.150.25一、离散型随机变量函数的分布若X是离散型的，则Y=g(X)也是离散型随机变量，且它的取值为yk=g(xk)，其分布可以直接由X的分布求得.下页《概率统计》下页结束返回一般地,(1)若yk的值全不相同，则P{Y=yk}=P{X=xk}.则Yy1y2…yk…Pp1p2…pk…即,若X的概率分布为Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…(2)若yk中有相同的情形，则应把那些相同的值加以合并,再根据加法定理把对应的概率pk相加.下页《概率统计》下页结束返回FY(y)=P{Y≤y}=P{2X+8≤y}二、连续型随机变量函数的分布例2.设随机变量X具有密度所以于是Y的分布函数为FY(y),解：设X的分布函数为FX(x),求随机变量的概率密度.Y的概率密度为fY(y).下页《概率统计》下页结束返回1.分布函数法一般地，若已知X的概率密度为fX(x),求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)分两个步骤：10根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y)；20由fY(y)=F´(y),求出fY(y).例3.设随机变量X的概率密度为fX(x)，求线性函数Y=aX+b(a,b是常数，且a≠0)的概率密度fY(y).下页《概率统计》下页结束返回解:下页《概率统计》下页结束返回解:记Y的分布函数FY(y)，由y=x2，知y∈[0，+∞）当y<0时，FY(y)=0于是Y的概率密度为下页例4.设随机变量X具有概率密度fX(x)，求函数Y=X2的概率密度.《概率统计》下页结束返回定理设连续型随机变量X具有概率密度fX(x)，-∞＜x＜∞,又设函数y=g(x)处处可导且恒有g’(x)>0(或恒有g’(x)<0),则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为2.公式法其中α=Min[g(-∞),g(+∞)],β=Max[g(-∞),g(+∞)],h(y)是g(x)的反函数.下页《概率统计》下页结束返回例5.设X～U(-π/2,π/2)，求Y=sinX的概率密度。解:X的概率密度为由于y=sinx在(-π/2,π/2)内处处可导且sin’x>0,则Y=sinX是连续型随机变量，其概率密度为下页《概率统计》下页结束返回例6.设X～N(μ,σ2)，求证Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布.证:X的概率密度为由y=g(x)=ax+b解得x=h(y)=(y-b)/a,又g(x)可导且导数与a同号，h’(y)=1/a,从而得即Y～N(aμ+b,(aσ)2).须记住这个结果！下页《概率统计》下页结束返回例6.设X～N(μ,σ2)，求证Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布.即Y=aX+b(a≠0)～N(aμ+b,(aσ)2).由公式法得到其密度为显然，作为特例，随机变量服从标准正态分布，即Y～N(0,1).（*）式称为随机变量X的标准化.下页《概率统计》下页结束返回作业43页21,22结束