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首页 高等数学中极限计算方法的总结

高等数学中极限计算方法的总结.doc

高等数学中极限计算方法的总结

Sky
2018-06-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高等数学中极限计算方法的总结doc》,可适用于领域

极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多非常灵活给函授学员的学习带来较大困难而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结然后通过例题给出求极限的各种方法以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材这里不一一叙述)。说明:()一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明例如:等等()在后面求极限时()中提到的简单极限作为已知结果直接运用而不需再用极限严格定义证明。.极限运算法则定理已知都存在极限值分别为AB则下面极限都存在且有()()()说明:极限号下面的极限过程是一致的同时注意法则成立的条件当条件不满足时不能用。.两个重要极限()()说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身还应能够熟练运用它们的变形形式作者简介:靳一东男(mdash)副教授。例如:等等。.等价无穷小定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是)。定理当时下列函数都是无穷小(即极限是)且相互等价即有:~~~~~~。说明:当上面每个函数中的自变量x换成时()仍有上面的等价关系成立例如:当时~~。定理如果函数都是时的无穷小且~~则当存在时也存在且等于即=。.洛比达法则定理假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时函数和满足:()和的极限都是或都是无穷大()和都可导且的导数不为()存在(或是无穷大)则极限也一定存在且等于即=。说明:定理称为洛比达法则用该法则求极限时应注意条件是否满足只要有一条不满足洛比达法则就不能应用。特别要注意条件()是否满足即验证所求极限是否为ldquordquo型或ldquordquo型条件()一般都满足而条件()则在求导完毕后可以知道是否满足。另外洛比达法则可以连续使用但每次使用之前都需要注意条件。.连续性定理一切连续函数在其定义去间内的点处都连续即如果是函数的定义去间内的一点则有。.极限存在准则定理(准则)单调有界数列必有极限。定理(准则)已知为三个数列且满足:()()则极限一定存在且极限值也是a即。二、求极限方法举例.用初等方法变形后再利用极限运算法则求极限例解:原式=。注:本题也可以用洛比达法则。例解:原式=。例解:原式。.利用函数的连续性(定理)求极限例解:因为是函数的一个连续点所以原式=。.利用两个重要极限求极限例解:原式=。注:本题也可以用洛比达法则。例解:原式=。例解:原式=。.利用定理求极限例解:原式=(定理的结果)。.利用等价无穷小代换(定理)求极限例解:~~原式=。例解:原式=。注:下面的解法是错误的:原式=。正如下面例题解法错误一样:。例解:所以原式=。(最后一步用到定理).利用洛比达法则求极限说明:当所求极限中的函数比较复杂时也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时洛比达法则还可以连续使用。例(例)解:原式=。(最后一步用到了重要极限)例解:原式=。例解:原式==。(连续用洛比达法则最后用重要极限)例解:例解:错误解法:原式=。正确解法:应该注意洛比达法则并不是总可以用如下例。例解:易见:该极限是ldquordquo型但用洛比达法则后得到:此极限不存在而原来极限却是存在的。正确做法如下:原式=(分子、分母同时除以x)=(利用定理和定理).利用极限存在准则求极限例已知求解:易证:数列单调递增且有界()由准则极限存在设。对已知的递推公式两边求极限得:解得:或(不合题意舍去)所以。例解:易见:因为所以由准则得:。上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结由此可以看出求极限方法灵活多样而且许多题目不只用到一种方法因此要想熟练掌握各种方法必须多做练习在练习中体会。另外求极限还有其它一些方法如用定积分求极限等由于不常用这里不作介绍。

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