函数y=ax2+k的图象及其性质.

第二课时:y=ａx2+k的图象和性质学习目标教材第9页1、能作出y=ax2和y=ax2+k的图象，并能够比较它们与y=x2的异同，理解a与k对二次函数图象的影响.2、说出y=ax2和y=ax2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.以及他们之间的联系.（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）向上向下当x=0时，最小值为0。当x=0时，最大值为0。二次函数y=ax2的性质１、顶点坐标与对称轴２、位置与开口方向３、增减性与极值演示(a>0)(a<0)y=x2+1y=x2-1例2.在同一坐标系中画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.y=x2-1y=x2+1y=x2+1抛物线y=x2+1的开口向上，对称轴为y轴,顶点坐标为(0,1)抛物线y=x2-1的开口向上，对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-1)抛物线y=x2+1由抛物线y=x2向上平移一个单位得到.抛物线y=x2--1由抛物线y=x2向下平移一个单位得到.解：列表y=2x221.510.50-0.5-1-1.5-2x224.54.58800.50.5画出函数y=2x2的图象做一做xyoy=2x2-4-3-2-11234123456789函数y=2x2+1的图象是什么形状?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?它与y=2x2的图象有什么相同和不同?议一议做一做yoy=2x2-4-3-2-11234123456789x-2y9-1.55.5-13-0.51.5010.51.5131.525.59xy=2x2+15y=2x2+1y=2x2yx1234-1-2-3-42134589-1-2o67-310y=2x2y=2x2-2x1234-1-2-3-42134589-1-2o67y-310y=2x2y=2x2-3抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+5y=-3x2-2y=-x2+3向上y轴(0,5)y轴y轴向下向下(0,-2)(0,3)2.y=-2x2+5的图象可由抛物线y=-2x2经过得到的.它的对称轴是,顶点坐标是,在x<0时.y值随x的增大而；与x轴有交点。沿Y轴向上平移5个单位Y轴（0，5）增大无二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象有什么关系？二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象当k>0时向上平移k个单位得到.当k<0时向下平移-k个单位得到.函数y=ax2+ky=ax2开口方向a>0时,向上a<0时,向下对称轴y轴y轴顶点坐标（0,0）（0,k）a>0时,向上a<0时,向下上正下负二次函数没有一次项,则抛物线对称轴是y轴,抛物线对称轴是y轴,则二次函数没有一次项（2）已知（如图）抛物线y=ax2+k的图象，则a0，k0；若图象过A(0,-2)和B(2,0)，则a=,k=；函数关系式是y=。〉〈1/2-21/2x2-21.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平___移　个单位.2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图象的函数解析式为.3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（-m,n）_____（在，不在）y=ax2+a的图象上.4.若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则K_______下1　　y=-3x2-2在＞0.5练习1.抛物线y=-3x2+5的开口向________,对称轴是______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最____值是_____.2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标是_________,与x轴的交点坐标是_____.3.把抛物线y=x2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______.4.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2,向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.下Y轴(0,5)高大5(0,-1)(-1/2,0)或(1/2,0)y=x2+3下3--4.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x2-1,求m,n的值.1.一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是（）思维与拓展yx0x0x0xxyyyB.A.C.D.B2.函数y=ax2+a与y=（a≠0)在同一坐标系中的大致图象是（）思维与拓展yA.C.D.D.二次函数y=ax²+k与=ax²的关系(1)图像都是抛物线,形状相同,开口方向相同.(2)都是轴对称图形,对称轴都是y轴.(3)都有最(大或小)值.(4)增减性相同.3.联系:y=ax²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平移|k|个单位得到的.(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移).回味无穷1.相同点:2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,k),(0,0).(2)最值不同:分别是k和0.y＝ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=ax2+c的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减k>0c<0c<0c>0(0,c)y＝ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=ax2+c的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减k>0k<0k<0k>0(0,k)x-4-3-2-10123-4.5解:先列表描点-2…0-0.5-2-0.5-4.5-2-0.50-4.5-2-0.5x=－1…4…-4.5与抛物线向左平移1个单位向右平移1个单位即:抛物线、有什么关系？一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)对称轴是x=h;(2)顶点是(h,0).（3）抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.h>0，向右平移;h<0，向左平移y=−2（x+3）2画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。y=2（x-3）2y=−2（x-2）2y=3（x+1）2顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=－2直线x=2向右平移2个单位向左平移2个单位顶点(－2,0)对称轴:y轴即直线:x=0在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.向右平移2个单位向右平移2个单位向左平移2个单位向左平移2个单位y＝a(x-ｈ)2a>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线ｘ＝ｈ顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减h>0h<0h<0h>0(ｈ,0)1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（）A、向上平移2个单位B、向下平移2个单位C、向左平移2个单位D、向右平移2个单位C2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向，对称轴是，顶点坐标是，抛物线是最点，当x=时，y有最值，其值为。抛物线与x轴交点坐标，与y轴交点坐标。向上直线x=3（3，0）低3小0（3，0）（0，36）抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2y=-3(x-1)2y=-4(x-3)2向上直线x=-3(-3,0)直线x=1直线x=3向下向下(1,0)(3,0)3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向上.(2)对称轴是y轴;(3)顶点是(0,k).抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向上;(2)对称轴是x=h;(3)顶点是(h,0).2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.)(h>0,向右平移;h<0向左平移.)1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;(1)当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下;某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式.试一试xyABOC解:设涵洞所在抛物线的函数解析式为y=ax2+2.4根据题意有A(-0.8,0),B(0.8,0)将x=0.8,y=0代入y=ax2+2.4得0=0.64a+2.4∴a=_涵洞所在抛物线的函数解析式为y=_x2+2.43.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽4米,水位上升3米达到警戒线MN位置时,水面宽4米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?解:以AB为x轴,对称轴为y轴建立直角坐标系,设抛物线的代数表达式为y=ax2+c.故0=24a+c,3=12a+c,其顶点为(0,6),(6-3)÷0.25=12小时.