茆诗松概率论教案

韩山师范学院数学系概率论精品课程 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 第一章 随机事件与概率（10课时）目的与要求:理解随机事件的基本运算及古典概率的常规计算技巧二、重点：离散的古典概率与连续型的古典概率三、难点：离散型的古典概率四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 与多媒体 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 辅助教学相结合.六、教学过程：课题引入P11.1.1：随机现象：即同一条件下可能出现的不同结果成为随机现象。例1.1.1：随机现象的例子：掷硬币可能出现正反两面。投掷骰子，可能出现的点数。一天进入某超市的顾客数。某种电视机的寿命。测量某种物理量（长度，直径等）的误差。1.1.2样本空间：随机现象的一切可能结果成为样本空间。例1.1.2投硬币的样本空间为，其中表示正面，表示反面，投骰子的样本空间为进入商场的顾客数的样本空间为：电视机寿命的样本空间为：测量误差的样本空间：注意：样本点为有限个或者可列个的空间为离散样本空间。样本点不可列无限个的空间为连续样本空间。1.1.3：随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件。通常用大写字母A,B,C,……表示.也可以用维恩图表示随机事件分为基本事件，必然事件，不可能事件。例1.1.3掷骰子的样本空间为：事件A={出现1点}为基本事件。事件B={出现偶数点}为复杂事件。事件C={出现的点数小于7}为必然事件。事件D={出现的点数大于6}为不可能事件。1.1.4：随机变量：表示随机现象结果的变量为随机变量。即为随机事件到数的一个映射。例如：掷骰子X=1，2，3，4，5，6.掷币X=0，X=1.电视机寿命T>4000,T<100001.1.5：事件间的关系例1.2.2掷币两次，一正一反的概率为例1.2.3（抽样模型）不返回抽样的情形。一批产品共有N件，其中M件不合格品，N-M件合格品，求从中随机取出n件产品有m件不合格品的概率。解：设={n件产品有m件不合格品}，则取，则例1.2.4（返回抽样）一批产品共有N件，其中M件不合格品，N-M件合格品，求从中随机取出n件产品有m件不合格品的概率。解；设={n件产品有m件不合格品}，则取，则例1.2.6（盒子问题）设有n球，每个球等可能地投入N个不同的盒子里，求：指定的个盒子各有一球的概率;恰好有个盒子各有一球的概率。解：（1）总样本有个。特殊样本有个。所求概率为（2）总样本有个。特殊样本有个。所求概率为。例1.2.7（生日问题）n个人的生日各不相同的概率P是多少。的近似结果 n 10200405060 0.88400.59420.30370.11800.03490.0078 0.11600.40580.69630.88200.96510.99221.2.5确定概率的几何方法例1.2.8（会面问题）甲乙两人约定6-7点会面，先到者只等20分钟，求两人会面的概率。解：设分别为甲乙到达的时间。总体样本为：能会面的样本为：则会面的概率为：例1.2.9（蒲丰针问题）平面上平行线相距为d，向平行线投长为的针，问：针与平行线相交的概率。解：设为针的重心到平行线的边的距离，为针的方向角。总体样本为：针能相交的样本为：则针能与平行线相交的概率为：用随机模拟法，即蒙特卡罗法也可以做出类似结论。例1.2.10.长度为a的线上任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。解：设分别为分成的三段线段的长度。总体样本为：能构成三角形的样本为：则能构成三角形的概率为：1.2.6确定概率的主观方法即用主观频率近似代替理论概率。1.3概率的性质1.3.1概率的可加性性质1.3.2（有限可加性）若互不相容，则性质1.3.3例：1.3.1容36只灯泡4只60瓦，32只40瓦，任取3只，求至少一只60瓦的概率。解：记，则所以例：1.3.2抛一枚硬币5次，求有正有反的概率。解：记，，则。概率的单调性性质1.3.4若，则证明：因为，所以由于互不相容，由有限可加性得即得推论（单调性）若，则一般性结论对于任意事件有证明：由又故应用例1.3.3口袋有编号为的n个球，从中有放回抽取m次，求m个球中最大号码为的概率。解：记，则概率的加法公式性质1.3.6（加法公式）对于任意两个各事件，有EMBEDEquation.3推论（半可加性）对于任意两个各事件，有对于任意n个事件，有例1.3.4已知事件的概率分别为0.4，0.3，0.6求解：由得：得于是例1.3.5已知则A,B,C至少发生一个的概率是多少？A,B,C都不发生的概率是多少？解：（1）（2）例1.3.6（配对问题）有n人参加晚会，没人带一件礼物，各人的礼物互不相同，晚会随机抽取礼物，问：至少一人抽到自己的礼物的概率是多少?解：记则所求概率为：于是1.3.4概率的连续性定义1.3.1对于，称为极限事件即同样对于，称为极限事件即定义1.3.2当有，则称概率P是下连续的。当有，则称概率P是上连续的。性质1.3.7（概率的连续性）若P为事件域是F上的概率，则P即是下连续，又是上连续的。证明：先证P是下连续，，即定义，则，由可列可加性由有限可加性得：所以故概率P是下连续的。上连续的证明类似。&1.4条件概率1.4.1条件概率的定义引入例1.4.1两个小孩的家庭，其样本空间为，求：事件A=“家中至少有一个女孩”发生的概率。若已知事件B=“家中至少有一个男孩”发生，求A发生的概率。解：（1）（2）定义1.4.1设A与B是样本空间的两个事件，若，则称为B发生下A的条件概率，简称条件概率。性质1.4.1（1）F。（2）（3）。性质1.4.2乘法公式（1），则（2）若，则证明：由可得：成立。例1.4.3一批零件共有100个，其中10个不合格，从中一个一个抽取，求第三次取得不合格品的概率是多少？解：“第i次取出的是不合格品”记为则所求概率为：例1.4.4（罐子模型）设罐中有b个黑球，r个红球，每次随机取出一个球后将原球放回，还加进c个同色球和d个异色球。第i次取出的是黑球记为，第j次取出的是红球记为，则当c=-1,d=0时，即为不返回抽样。当c=0，d=0时，即为返回抽样。当c>0,d=0时，即为传染病模型。当c=0,d>0时，即为安全模型。1.4.3全概率公式性质1.4.3设为的一个分割，即互不相容，且，则证明：全概率公式的简单应用形式：例1.4.5（摸彩模型）设在n张彩票有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少？解：设则类似的故买彩票时候，无论先后，中奖机会均等。例1.4.6保险公司认为某险种的投保人可以分为两类：一类为容易出事故者，另一类为安全者。统计资料表明：易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4，而安全者发生事故的概率为0.1，若假定第一类人投保的比例为20%，现在有一人来投保，问该投保人在投保后一年内出事故的概率有多大？解：设，，则例1.4.7（敏感性问题调查）调查学生阅读黄色书刊与影像，为得到真实结果，设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 如下:问题A：你的生日是否在7月1日之前？问题B：你是否看过黄色书刊与影像？现在一个罐子里放白球与红球，抽到白球答问题A，抽到红球答问题B。根据统计结果求看黄色书刊与影像的同学的比例。解；即于是例如在一次实际调查中红球是30个，白球是20个，则，共收到1583张 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 ，其中389张回答“是”，则由此计算得：。即约有7.62%的学生看过黄色刊物与影像。1.4.4贝叶斯公式设是样本空间的一个分割，即互不相容，且，则例1.4.8某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用试剂检查，有病呈阳性的占99%，无病呈阴性的占99.9%，现在某人检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？解：记B为“被检查者换有肝癌”，A为事件“检查结果为阳性”，则例1.4.9伊索寓言“孩子与狼的问题”。记A为“小孩说谎”，B为“小孩可信”，若第一次村民印象为第二此村民印象为§以上计算结果说明，经过两次说谎后，村民对小孩的可信度从0.8下降到0.138.以上例子也适用于银行评级问题。§1.5独立性1.5.1独立性的定义若，则称与相互独立。若，则称与相互独立。以上两个定义是等价的。性质1.5.1若与相互独立，则与相互独立，与相互独立，与相互独立，证明：则与相互独立，其余结论类似可证。1.5.2多个事件的独立性若，，，且则相互独立。N个事件的独立类似定义例1.5.2若相互独立，则与相互独立。证明：所以与相互独立。例1.5.3两个射手独立射击同一目标，甲乙击中的概率分别为0.9和0.8，求目标被击中的概率？解：法一法二例1.5.4某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，不合格品率分别为0.3,0.2,0.1；第二种工艺有两道工序，不合格频率分别为0.3,0.2，试问：那种工艺的合格品的概率比较大？第二种工艺的两道工序的不合格品概率都是0.3时，情况如何？解：（1）由独立性，两种工艺的合格品概率分别为：故第二种工序的合格品概率大。（2）当第二种工艺的两道工序的不合格品概率都是0.3时故此时第一种工序的合格品概率高。例1.5.5有两名选手比赛射击，轮流射击同一目标，甲每枪命中的概率为，乙每枪命中的概率为，甲先射，谁先击中谁获胜，问甲乙获胜的概率各多少？解：设为第i次命中目标，则例1.5.6系统由多个原件构成，每个原件正常工作的概率为，试求以下系统正常工作的概率。串联系统并联系统混合系统解：（1）（2）法一法二（3）第二章 随机变量及其分布（10课时）目的与要求:理解随机变量的分布及密度及相关的计算技巧与应用二、重点：随机变量的分布及密度三、难点：随机变量的分布及密度相关应用四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：课题引入P612.1：随机变量及其分布2.1.1：随机变量的概念：随机变量即为样本空间到数得一个映射例：样本点合格品0不合格品1随机变量分为连续型随机变量与离散型随机变量两类。2.1.2随机变量的分布函数定义2.1.2随机变量的分布函数的定义例2.1.1向半径为r的圆内抛一点，为圆心到弹着点的距离，求的分布函数，并求解：当当当综上分布函数的性质定理2.1.1（1）单调性若，则.（2）有界性，且（3）右连续性证明：（3）设，且由此得其他的性质注意，对于连续密度与连续的分布函数例2.1.2已知柯西分布为：求.解：2.1.3离散的随机变量的概率分布列分布列的基本性质(1)非负性(2)正则性P66例2.1.3掷两颗骰子，为点数之和，为6点的个数，为最大的点数，求的分布。23456789101112012123456例2.1.4设离散的随机变量的分布列为-1230.250.50.25求，及分布函数.解：当时当时当时当时综上-10123单点分布它的分布函数为0c离散的随机变量的分布函数呈阶梯状。例2.1.5一汽车驶过三个路口，遇到红绿灯的时间是一样的，各个路口信号灯的工作是相互独立的，为汽车首次遇到红灯经过的路口数，求的分布列。解：设为汽车在第i个路口遇到红灯，则故的分布列为：01232.1.4连续随机变量的概率密度函数密度代表点概率质量分布函数表示区间概率质量区间概率质量是由点概率质量累加积分形成。故分布函数与密度函数的关系为：且密度函数的基本性质（1）非负性（2）正则性例2.1.7向区间上任意投点，为投点的坐标，求的分布函数与密度函数。解:当时当时当时综上的分布函数为的密度函数为例2.1.8某电子元器件的寿命为，其密度为各个元件的工作是独立的，问：（1）任取一只，其寿命大于1500小时的概率是多少？（2）任取4只，4只寿命都大于1500小时的概率是多少？（3）任取4只，4只中至少一只寿命大于1500小时的概率是多少？（4）若已知一只寿命大于1500小时，则该元件的寿命大于2000小时的概率是多少？解：（1）（2）（3）（4）记，则所以注意在计算过程中，针对连续型随机变量，一个点的概率质量认定为0.§2.2随机变量的数学期望数学期望的通俗理解，可以认为是未来的均值估计。P77例2.2.1两个赌徒各出50法郎，约定谁先赢得三局，谁得到全部赌本，此时甲赢得两局，乙赢得一局，因故（皇帝召见）终止赌博，问这100法郎的赌本应该怎样分配。解：对于甲来说，可能出现的情况如下：甲甲甲乙甲甲乙乙甲乙乙设甲赢得的赌本为，则的分布为0100所以甲分得的赌本为（元）乙分得的赌本为25元.定义2.2.1对于离散的随机变量对于连续的随机变量期望是均值，也可以理解为重心。例2.2.2对于某疾病的血液检查，如果N个人逐步个检查，工作量太大，现在K人一组，分组检查，问是否可以节省工作量？解;设为分组后，每个人检查的次数，则的分布列为：适当选择K可以保证故工作量可以减少.例2.2.3每张彩票售价5元，出售100万张，摇奖摇6个号码，开奖规则如下：（1）最后一位相同者获得六等奖，奖金10元。（2）最后两位相同者获得五等奖，奖金50元。（3）最后三位相同者获得四等奖，奖金500元。（4）最后四位相同者获得三等奖，奖金5000元。（5）最后五位相同者获得二等奖，奖金50000元。（6）最后六位相同者获得一等奖，奖金500000元。解：设为中奖金额，则的分布如下：500000500005000500501000.0000010.0000090.000090.00090.0090090.9彩票机构的收益为例2.2.4设，求解;2.2.3数学期望的性质计算原理：原像与像等概率。例2.2.6已知随机变量的分布列如下：0120.20.10.10.30.3求的分布.解：012340.20.10.10.30.3410140.20.10.10.30.3合并为0140.10.40.5在计算相关问题的时候，注意对应的点概率质量均为对应的点概率质量均为所以函数的数学期望定义为：性质2.2.1若c是常数，则性质2.2.2若a是常数，则性质2.2.3例2.2.7某公司经销某种原料，原料的市场需求量（吨）服从（300,500）上的均匀分布，每售出1吨原料，获利1.5（千元），积压1吨损失0.5（千元）.问公司组织多少货源，可以使得平均收益最大？解:设组织货源为a吨，则获利为即则平均利润为故当吨时，平均收益最大。§2.3随机变量的方差与标准差例：某手表厂，甲乙两个师傅所做产品误差分布如下：甲师傅的误差数据01乙师傅的误差数据0102.3.1方差与标准差的定义以下三种分布，求它们的方差。三角分布1均匀分布倒三角分布例2.3.2某人有一笔资金，可投入两个项目：房地产和商业，为房地产的收益，为商业的收益，收益的分布如下：1130.20.70.1640.20.70.1试问：如何投资较好？解：EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT标准差两项目平均收益相差不大，但房地产的标准差大，故风险大，商业的标准差小风险相对较小，故投资商业项目更好.2.3.2方差的性质性质2.3.1证明：记性质2.3.2证明：性质2.3.3证明：推论例2.3.3设颗骰子的点数，求解：2.3.3切比雪夫不等式定理2.3.1设随机变量的期望与方差都存在，则或者证明;设是连续的随机变量，为密度函数.记，则定理2.3.2设随机变量的方差存在，则的充要条件为几乎处处等于常数a,即证明：充分性显然，下证明必要性，设，这时存在，由于于是即则即取，必要性得证§2.4.常用离散分布一.两点分布或01二.二项分布例2.4.1某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？解;设为治愈的人数，则，所求概率为至少有8人治愈的概率是09885.例2.4.2设随机变量若，求解：由得即所以于是二项分布的期望和方差记二项分布的密度012345678910例2.4.3甲乙约定比赛十局，以赢得局数多者为胜，设在每局中甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，比赛各局是独立的，试问;甲胜，乙胜，平局的概率各多大？解：设为甲胜的局数，则2.4.2泊松分布泊松分布的密度012345678910应用范围在一天内，来到某商场的顾客数.单位时间内，某电路受到的外界电磁波的冲击次数.1平方米内，玻璃上的气泡数.一个铸件上的砂眼数.在一定时期内，某放射物质放射出来的粒子数.以上随机现象均服从泊松分布.泊松分布的期望与方差例2.4.4一铸件的砂眼数服从参数为的泊松分布，求至多一个砂眼的概率与至少两个砂眼的概率.解：设铸件的砂眼数为，且，则铸件至多一个砂眼的概率为至少2个砂眼的概率为例2.4.5某商品的月销售量服从参数为8的泊松分布，问进货多少才能以90%的概率满足顾客需求.解：设销售量为，则，设最小进货量为n.则而故月初进货量应该是12件.定理2.4.1（泊松定理）若时，有记，则证明：记，即对固定的k有从而当n很大，p很小时，有例2.4.6已知某种疾病的发病率为0.001，某单位有5000人，问该单位患病人数不超过5人的概率为多少？解：设患病人数为，则，且所求概率为例2.4.7有10000人参加人寿保险，每个人的保费为200元，若投保人意外死亡，受益人可以获得100000元赔偿，若人群的死亡率为0.001，试求保险公司亏本的概率；至少获利500000元的概率。解：设为死亡的人数，则，由于n很大所以利用泊松分布处理，(1)当，即时，保险公司亏损.当，即时，保险公司收益至少有500000元.例2.4.8为保证设备正常工作，需要配备一些维修工，机器的工作是相互独立的，每台设备出故障的概率为0.01，试求在以下情况下，设备不能及时维修的概率。一名维修工负责20台设备;三名维修工负责90台设备;10名维修工负责500台设备;解：（1）设表示在20台设备中出故障设备的台数，则用参数的泊松分布来计算（2）设表示在90台设备中出故障设备的台数，则用参数的泊松分布来计算（3）设表示在500台设备中出故障设备的台数，则用参数的泊松分布来计算数据显示，若干维修工共同负责大量设备的维修效率更高.其他的分布2.4.3超几何分布设有N件产品，其中M个次品，不放回抽取n件，求有k件次品的概率.2.4.4几何分布与负二项分布几何分布某射击运动员，每枪击中的概率为p,求第k枪首次击中的概率.负二项分布某射击运动员，每枪击中的概率为p,求第r枪击中的时，总共射击了k发子弹的概率.例：第3枪击中的时候，共射出了4发子弹的概率1234×√√√√×√√√√×√第r枪击中的时，总共射击了k发子弹的概率.§2.5常用的连续分布2.5.1正态分布正态分布的密度函数正态分布的期望与方差标准正态分布的期望与方差若，求若，求标准正态分布的密度标准正态分布的分布基本运算性质（1）（2）（3）正态分布的标准化定理2.5.1若随机变量，则证明：两边求导得即例2.5.2若随机变量，求（1）（2）常数a，使得解：（1）（2）查表得，故正态分布的原则若随机变量，则这说明以为中心，为半径的范围内集中了大部分的密度，随机变量以较大概率出现在这个范围。2.5.2均匀分布记ab例2.5.4设随机变量现在对进行4次独立观察，试求至少有3次观测值大于5的概率。解;设为观测值大于5的次数，则由条件于是均匀分布的期望与方差2.5.3指数分布指数分布的密度指数分布的期望与方差指数分布主要刻画原件寿命，及等待服务的时间。例2.5.5如果某设备在时间发生故障的次数服从参数为的泊松分布，则两次故障的时间间隔服从参数为的指数分布。证明：由得当时，有当时，有故的密度为所以2.5.4伽玛分布伽玛函数伽玛函数的运算性质伽玛分布的密度记作特别的当时，伽玛分布就是指数分布，即特别的当时，伽玛分布就是自由度为n的（卡方）分布2.5.5贝塔分布贝塔函数贝塔函数的运算性质（1）（2）证明：（2）作变化，其雅克比行列式（2）得证.贝塔分布的密度§2.6随机变量函数的分布计算原理;原相与相等概率§2.6.1离散的随机变量函数的分布…………例2.6.1已知随机变量的分布列如下，求的分布列.的分布列为合并得定理2.6.1设是连续的随机变量，其密度为严格单调，为其反函数，则其中证明：不妨设单调增，则当时，当时，当时，对分布函数求导得密度即定理2.6.2对随机变量，则证明故例2.6.2（1）设随机变量，试求的分布（2）设随机变量，试求的分布解：（1）由于服从正态分布，又所以（2）由于服从正态分布，又所以.定理2.6.3设随机变量，则的密度为证明：当时，此时当时，综上绝缘材料的寿命服从对数正态分布.设备故障的维修时间服从对数正态分布.家里仅有两个小孩的年龄差服从对数正态分布.类似有定理2.6.4设随机变量，，则例2.6.3设随机变量，求的分布解：当时，当时，故求导得故例2.6.4设随机变量的密度函数为求的密度函数解;当时，当时，当时,求导得综上第三章 多维随机变量及其分布（10课时）目的与要求:理解多维随机变量及其分布的基本原理并能解决相应的实际应用问题二、重点：多维随机变量及其分布三、难点：多维密度及其分布四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：课题引入P139多维随机变量的定义：称为n维随机变量。定义3.1.2称为N维随机变量的联合分布函数。定理3.1.1二维联合分布的性质：（1）单调性当时，有当时，有（2）有界性（3）右连续性（4）非负性引例3.1.1二元函数不满足性质4.故不是二维分布函数。3.1.3联合分布列 Xy …………….. 联合分布的基本性质：（1）非负性：（2）正则性：引例3.1.2从1,2,3,4中任取一数记为，再从中任取一数记为，求的联合分布列及解： 1234 1234 0000003.1.4联合密度函数定义3.1.4若，则称为的联合密度函数。且联合密度函数的性质：（1）非负性：（2）正则性：例3.1.3设的联合密度函数为试求：解：（1）（2）3.1.5常用的多维分布一，多项分布；其中各出现次，则例3.1.4。100件产品，一等品60件，二等品30件，三等品10件，任取三件，分别表示一等品，二等品的数量，求：的联合分布其中，当 0123 0123 000000可以计算其他有关事件的概率：二，多维超几何分布可以看成取各种类型的球个的概率。例3.1.5将3.1.4例改为不放回抽样，抽取3次，分别表示一等品，二等品的数量，求：的联合分布其中，当 0123 0123 000000计算其他有关事件的概率：三，多维均匀分布的联合密度函数为例3.1.6设的联合密度函数为试求四，二元正太分布P152&3.2边际分布与随机变量的独立性3.2.1边际分布的定义例3.2.1设二维随机变量的联合分布函数为的边际分布函数为：3.2.2边际分布列边际分布列的定义;例3.2.2设二维随机变量的联合分布列为： 123 01 0.540.460.160.330.513.2.3边际密度函数边际密度分别为：例3.2.3设二维随机变量的联合分布函数为求（1）边际密度函数，；（2）及解：（1）当时当时当时当时当时所以的边际密度函数为（2）例3.2.5二维正太分布的边际分布为一维正太分布这里令3.2.4随机变量的独立性定义3.2.1若对于联合分布的分布函数，对于任意的，满足则称相互独立。另外对于联合密度函数，若满足则称相互独立。例3.2.6从中任取两个数，求以下事件的概率；两数之和小于；两数之积小于。解：相互独立，故联合密度函数为：（1）事件的概率为：（2）事件的概率为：例3.2.7若二维随机变量的联合分布函数为问；是否独立？当时，有当时，有于是同样，当时，有当时，有于是故，所以不独立。例3.2.8若二维随机变量的联合分布函数如下;判定独立性？（1）（2）（3）（4）解：（1）即即故所以独立。（2）由于的取值受的决定，故不独立。（3）于是，所以独立。（4）边际分布为于是，所以不独立。3.3多维随机变量函数的分布原理：原相与相等概率。例3.3.1设二维随机变量的联合分布列如下 -112 -12 试求（1）（2）（3）解：所求分布列为： -20134 -3-2013 -112 例3.3.2（泊松分布的可加性）设随机变量，求证：证明;故记为一般的有例3.3.3（二项分布的可加性）设随机变量，求证：证明;由得，又故这表明记为一般的有3.3.2最大值与最小值的分布例3.3.4（最大值分布）设是n个相互独立的随机变量，若，在以下情况下求的分布。（1）；（2）同分布，。（3）同分布，为连续随机变量，的密度均为。（4）解：（1）的分布为;(2)若同分布，则（3）若同分布，则的密度函数为：（4）由得：例3.3.5（最小值分布）设是n个相互独立的随机变量，若，在以下情况下求的分布。（1）；（2）同分布，。（3）同分布，为连续随机变量，的密度均为。（4）解：（1）的分布为;(2)若同分布，则（3）若同分布，则的密度函数为：（4）由得：例3.3.6某段道路原来有5个路灯，道路改建后有20个路灯来晚间照明，改建后道路管理人员发现灯泡更容易坏了，请解释其中原因。解;。其平均寿命为小时，5个灯泡第一个烧坏的时间若灯泡每天用10个小时，则30天换灯泡的概率为;20个灯泡第一个烧坏的时间这说明道路改建后，在30天换灯泡的概率更加高，为此需要换上高寿命的节能灯。3.3.3连续场合的卷积公式定理3.3.1设是两个独立的随机变量，其密度函数分别为和，则其和的密度函数为：证明：类似可证：故原结论成立。例3.3.7（正态分布的可加性）设是两个独立的随机变量，，证明其和解：由得又其中，EMBEDEquation.3这里命题得证.一般的若则其中，。例：设是两个独立的随机变量，，，则例3.3.8（伽玛分布的可加性）设是两个独立的随机变量，，证明其和由得故记为一般的有又，所以可得以下两个结论：m个独立同分布的指数分布变量之和为伽玛分布变量。即，，…….则记为（2），，…….则即3.3.4变量变换法原理：利用原相与相等概率，得到相关结论。对应的雅可比行列式为则例3.3.11（积的公式）设是两个独立的随机变量，其密度函数分别为和，则其和的密度函数为：解：记则，于是于是例3.3.12（商的公式）设是两个独立的随机变量，其密度函数分别为和，则其和的密度函数为：法一：解：记则，于是于是法二：即即为：3.4.2多维随机变量函数的数学期望定理3.4.1设是二维的随机变量,的期望为：特别的例3.4.1在长度为a的线段上任意取得两个点，求两点间的平均长度。解;二维随机变量的联合分布函数如下于是例3.4.2设是独立同分布的随机变量，均服从指数分布，求的数学期望。解：由得于是这里性质3.4.1设是二维的随机变量，则有证明：一般的有：性质3.4.2设是二维的随机变量且相互独立，则有证明：由相互独立，有。一般的有这里相互独立。性质3.4.3设是二维的随机变量且相互独立，则有证明;由方差的定义：一般的例3.4.3设是独立同分布的随机变量，，，求的数学期望，方差，标准差。解;例3.4.4设一袋中装有m个颜色不同的球，每次从中任取一个，有放回地摸取n次，以表示n次摸球所摸得得不同颜色的数目，求解;则由得3.4.3协方差定义3.4.1协方差的定义：特别的（1）当，称正相关。（2）当，称负相关。（3）当，称不相关。性质3.4.4证明：由协方差的定义有性质3.4.5若随机变量相互独立，则，反之不然。证明;由相互独立有，所以=0例3.4.6若随机变量，且，这里随机变量不独立，但SHAPE\*MERGEFORMAT性质3.4.6对于任意的二维随机变量，有证明：由方差定义得：性质3.4.7性质3.4.8性质3.4.9性质3.4.10证明：由协方差的性质得;例3.4.7若二维随机变量的联合分布函数如下;求解：于是例3.4.8二维随机变量的联合分布函数如下;求解：先计算边际密度再计算一阶矩，二阶矩。则则3.4.4相关系数定义;称为的（线性）相关系数。相关系数也可以看成标准变量的协方差。，则；引理3.4.4.（施瓦茨（Schwarz）不等式）对于任意二维随机变量，存在，则有：证明：不妨设，因为的时候，不等式成立是显然的。对于函数恒成立，故即成立。性质3.4.11，或。性质3.4.12的充要条件是几乎处处有线性关系，即证明：充分性证明。若，则，于是必要性证明.当时，有由此得即故当时，几乎处处线性正相关。当时，有由此得即故当时，几乎处处线性负相关。总结（1）当时，则称不相关，即之间没有线性关系当时，则称完全正线性正相关。当时，则称完全正线性负相关。当越接近1，线性相关程度越高。当越接近0，线性相关程度越底。例3.4.10二维随机变量的联合分布函数如下;求的相关系数。解;先计算边际密度例3.4.11设有一笔资金，总量为1如今投资甲乙两种证券，投给甲，投给乙，于是形成一个投资组合，分别为甲乙的收益率，均值分别为（代表平均收益），方差分别为（代表风险）。的相关系数为，求组合的平均收益与风险（方差）。并求使得投资风险最小的。解;组合的收益为组合的平均收益为组合的风险（方差）为要使得最小，必须解得：此时风险最小。3.5条件分布与条件期望3.5.1条件分布一．离散随机变量的条件分布的定义：例3.5.2设随机变量相互独立，且，，在已知的条件下，求的分布。解：由条件概率的定义，得：例3.5.3设进入商店的顾客人数为，且，每个顾客购买某商品的概率为P，顾客购物相互独立，求购物顾客人数的分布列。解：由题意得：由全概率公式得：即二．连续随机变量的条件分布的定义：则类似的例3.5.5设服从上的均匀分布，求解：所以三．连续场合的全概率公式和贝叶斯公式3.5.2条件数学期望EMBEDEquation.3定理3.5.1（重期望公式）设是二维随机变量，且存在，则证明：仅证明连续的情况，离散的类似证明。记则重期望公式的应用形式（离散的情形）（连续的情形）例3.5.7：一矿工被困在有三个门得矿井，第一个门通一坑道，沿此坑道3小时抵达安全区，，第二个门通一个坑道，5小时返回原处，第三个门通一个坑道，7小时可返回原处，求矿工平均多少小时到达安全区。解：假设为矿工到达安全区的需要的时间，为第一次选择的门，则由于第一个门3小时到达安全区，所以由于第二个门5小时返回原处，所以由于第三个门7小时返回原处，所以又所以即所以矿工平均要15小时才能到达安全区。例3.5.8口袋有编号为1,2，….，n的n个球，若取到1号球，则得1分球，且停止摸球；若取得i号球，则得到i分，且将球放回，重新摸球，如此下去，求得到是平均总分数。解;设为得到的总分数，为第一次取到的球的号码，则。又因为，而当时，。所以由此解得：例3.5.9设电力公司每月供应某工厂的电力服从（10,30）的均匀分布（单位），而实际需要的电力服从（10,20）的均匀分布（单位），如果电力足够，则每电可以创造30万元的利润，如果电力不足，则每电力只有10万的利润，求该厂每个月的平均利润。解;设每个月的利润为万元，则当时当时则所以该厂的平均利润为433万元。例3.5.10（随机变量和的数学期望）设为独立的随机变量序列，整数独立，证明:EMBEDEquation.3证明：应用设N为一天到商场的顾客数是一个随机变量，且。设为第i个顾客的购物金额，且是独立同分布的，，假设与相互独立，则此商场一天的平均营业额为一只昆虫产卵数服从参数为的泊松分布，每个卵成活的概率为，这里，而表示第i个卵成活，则一只昆虫产卵后的平均成活卵数为EMBEDEquation.3第四章 大数定理与中心极限定理（2课时）目的与要求:理解大数定理与中心极限定理的基本原理并能解决相应的实际应用问题二、重点：大数定理与中心极限定理三、难点：中心极限定理四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：课题引入P229伯努利大数定理：定理4.2.1设为n重伯努利实验中事件A发生的次数，P为每次实验A出现的概率吗，则对于有证明：由于且由切比雪夫不等式当时，有P233切比雪夫大数定理定理4.2.2设为一列两两不相关的随机变量序列，每个存在，切则证明:因为为一列两两不相关的随机变量序列，故当时，有 特别的有当同分布时，有P.238中心极限定理例4.4.2设为独立同分布的随机变量，记则当的时，的密度接近正态分布。P239面图P.240&4.4中心极限定理定理4.4.1(林德贝格-勒维中心极限定理)设为一列独立同分布随机变量序列，且，，记则P242定理4.4.2(隶莫弗-拉普拉斯极限定理)设n重伯努利实验中，事件A每次出现的概率为P，记为n次试验中事件A出现的次数。记则P243修正P244例4.4.5一复杂系统由100个互相独立工作的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，已知整个系统至少有85个部件正常工作，系统才能正常，试求系统正常工作的概率。解：设为100个部件中正常工作的的部件数，，即EMBEDEquation.3则故系统正常工作的概率为0.966.P243修正P244.例4.46某制药厂生产的某药品，对某种疾病的治愈率为80%，现在为了检验此治愈率，任意抽取100个此种病得患者进行临床试验，如果至少有75人治愈，则此药品通过检验，分别在以下情况计算此药品通过检验的可能性。此药品的实际治愈率为80%。此药品的实际治愈率为70%。解：设为100个临床受试者中治愈的人数，则（1）（2）P245例4.4.7某车间有同型号的机床200台，一个小时内每台机床70%的时间是工作的，各台机床工作是相互独立的，工作的时候每台机床消耗的电能为15千瓦（KW）.问至少要多少电能才可以有95%的可能性保证此车间生产正常。解：设为200台机床中同时工作的机床数，供电量为y千瓦（kw）则电力需求量为为使工作正常，必须则EMBEDEquation.3又故解得；故至少要2252（kw）才能有95%的概率保证此车间正常工作。P245：4.4.8某调查公司受委托，调查某电视节目在S市的收视率P，调查公司将所有调查对象看此节目的的频率作为的估计，现在要保证有90%的把握，使得调查的收视率与真实的收视率之间的差异不大于5%。问至少要调查多少对象？解：设共调查n个对象，记：则则当的时,有由题意EMBEDEquation.3又解得故至少要调查271个对象。P248定理4.4.4(李雅普洛夫中心极限定理)设为独立的随机变量序列，若存在，满足：则对于任意的x,有注意要点：李雅普洛夫定理的条件更宽松，对于只要求独立，不需要同分布，的密度依然是正太密度。P236例4.4.9一份试卷由99个题目组成，难度由易到难排列，某学生答对第i题的概率为，答题是相互独立的，并且要答对60个以上的题才算通过考试，试计算学生通过考试的概率。解：设则又EMBEDEquation.3故学生通过考试的概率为0.005.P237.2某计算机主机有100个终端，每个终端有80%的时间被使用。若各个终端被使用是相互独立的，试求至少15个终端空闲的概率。解：设X为总共使用的终端个数，则其中则由中心极限定理正态分布故15个终端空闲的概率为0.9155P237.3有一批建筑房屋的木柱，其中80%的长度不小于3m,现在从中随机抽取100根。问其中至少有30根短于3m的概率是多少？解：设X为100根中长度不小于3m的根数，则其中则由中心极限定理正态分布，则EMBEDEquation.3故至少有30根木柱短于3m的概率为0.0088.第五章 三大抽样分布（3课时）一目的与要求:三大抽样分布的的形式二重点：三大抽样分布的应用三难点：三大抽样分布的推演四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.课题引入P2835.4.1伽玛分布的一般形式;分布的一般形式P126.例2.6.3.若，则解：先求的分布函数当时故的分布函数为：则的密度函数为：即若，独立，则P168例3.3.8若，且独立，则证明;由得推论：若EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3独立，则定理5.4.1设是来自正态分布的样本，其样本均值和样本方差分别为则有：（1）相互独立；（2）；（3）.证明：的联合密度为记，作一个正交变换，其中于是，的联合密度为EMBEDEquation.3则独立同分布于由于则。证毕.P286F-分布设，独立，则称服从自由度为m与n的F分布，记作先导出的密度，由商的密度公式得作变换得即EMBEDEquation.3再求出的密度对于注意：当随机变量时，对于给定，称满足等式称为分布的分位点.由分布的构造知，若，则则即又故例5.4.2：P288推论5.4.1：设是来自的样本，是来自的样本，记，其中，则有证明：由于两样本独立可知，相互独立，由定理5.4.1知，，由分布的定义可知：.P288t-分布定义5.4.3设，独立，则称服从自由度为n的t~分布，记作由于于是两边求导得：而，则EMBEDEquation.3P290推论5.4.2设是来自正态分布的一个样本，分别为样本均值与样本方差，则有证明：由于则当随机变量时，对于给定，称满足等式称为分布的分位点.由分布的构造知：例如：5.5充分统计量例5.51为了研究某个运动员的打靶命中率，观察其10次射击，发现第三，六次不中外，其余8次都命中，这样的观测结果包含两种信息打靶10次命中8次；2次不中是在第3次与第6次。明显第2种信息对于命中率没有什么帮助，即实验编号信息对于参数命中率无关紧要。即样本加工不损失信息。定义5.51设是来自某总体的样本，为总体的分布函数，对于统计量，如果不依赖参数，则称为的充分统计量。例5.5.2设总体为二点分布，为样本，令取则故为的充分统计量。对于任意一组样本取有故不是的充分统计量。5.5.2因子分解定理定理5.5.1设总体的密度函数为，为样本，则是充分统计量的充分必要条件为：存在两个函数和使得证明:现在仅仅证明离散的形式必要性证明设是充分统计量，则在下与无关，记为，令，当时有充分性证明由于当时有该分布与无关。这就证明了充分性。第六章 参数估计（点估计与极大似然估计）（2课时）一目的与要求:理解点估计与极大似然估计的基本原理与计算方法，并会做相关的应用二、重点：矩估计与极大似然估计三、难点：极大似然估计四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：课题引入P286矩估计的基本原理：EMBEDEquation.3引例例1设总体X在区间上服从均匀分布，其中是未知参数，如果取得的样本值为，求的矩估计值。解：因为总体的密度函数为于是则的矩估计量为例2设总体X服从正态分布，其中是未知参数，如果取得的样本值为，求的矩估计值。解；由于总体X服从正态分布，故即于是由以上式子解得的矩估计量为：P2871.极大似然估计的基本原理：一般我们在选择参数的时候是以使得该事件样本发生的可能性最大为原则。2.似然函数的定义原则：选择参数必须使得似然函数最大或者使得最大，此时需要满足条件：例1：设总体服从泊松分布如果取得样本观测值求参数的极大似然估计。解：概率函数为：似然函数为;取对数得;为使得似然函数最小必须有：故的极大似然估计为：例2：设总体服从指数分布，密度函数为如果取得观测值为，求参数的极大似然估计。解：似然函数为；取对数得；为使得似然函数最大必须有：故的极大似然估计为：P290例6.1.7设总体服从正态分布，其中是未知参数，如果取得观测值为，求参数的极大似然估计。解;似然函数为：为使得似然函数最大必须有：于是的极大似然估计为：，P290例子6.1.8设是来自均匀分布总体的样本，试求的极大似然估计解：似然函数为:故的极大似然估计为：其中第七章 假设检验（3课时）目的与要求:假设检验的基本原理重点：假设检验的操作流程难点：假设检验的原理的理解及运用范围。四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：课题引入及概念的介绍（1）假设检验的基本原理；小概率事件在几次统计结果中是不应该出现的。如果出现应该拒绝承认，并以此为基础来作有效的统计结论的判断。（2）基本的概念：显著性水平；即使确定小概率的一个标准。拒绝域：小概率事件对应的区域假设检验的三种形式（1）（2）（1）注：三种形式主要针对不同的产品的检验模型而定的。即在不同产品模型中正常与非正常的界定标准。基本原理：大概率事件在一次统计结果中出现是应该的，正常的，可以接受的。小概率在一次统计结果中出现是不正常的，不可接受的。简单言之：一般最初采集的样本是把概率事件对应的样本，大概率事件的样本最早出现。逻辑框架：假设为真而统计指标落在无病对应的大概率区间则承认为真，即接受无病判断，否则拒绝。假设为真而统计指标落在正常时对应的大概率区间则承认为真，即接受设备正常判断，否则拒绝。基本案例（1）已知的P367例7.2.1从甲地发送一个讯号到乙地，设乙地接受的型号值是一个服从正态分布的随机变量，其中为甲地发送的真实信号，现在甲地发送同一信号，乙地接受的信号为设接受方有理由猜测甲地发送的信号值为8，能否接受这种猜测？解：原假设与备择假设分别为：EMBEDEquation.3若原假设为真，则服从的正态分布统计值即故不能拒绝原假设，接受原假设成立，可以认为猜测正确。(2)未知的P368例7.2.2某厂生产的某种铝材的长度服从正态分布，其均值设定为240cm，现在从该厂抽取5件产品，测得其长度为：单位Cm试判断该厂此类铝材的长度是否满足设定的要求。解:原假设与备择假设分别为：EMBEDEquation.3若原假设为真，则其中而统计结果故拒绝原假设，认为该厂的铝材长度不满足设定要求。7.2.3两个正态分布总体均值差的检验设是来自正态总体的样本，是来自正态总体的样本，考虑以下三类检验问题：这里对常用的两种情况进行讨论。一．已知时的两样本u检验的点估计的分布为采用u检验法，检验统计量在时，，拒绝域如下图：二．未知时的两样本t检验未知时，例7.2.3某厂铸件车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件，为此各抽取一个容量为8和9的样本，测得其硬度为：镍合金76.4376.2173.5869.6965.2970.8382.7572.34铜合金73.6664.2769.3471.3769.7768.1267.2768.0762.61.经专业检验硬度服从正态分布，且方差保持不变，试在显著性水平的情况下判断镍合金硬度是否有显著提高解：设表示镍合金的硬度，表示铜合金的硬度，由假定，，计算得到从而又由于故拒绝原假设，由此判断镍合金硬度有显著提高。7.2.4成对数据检验在对两个总体均值进行比较时，有时数据成对出现，此时需要选取适当的检验指标。例7.2.4为了比较两种谷种子的优劣，选取10块土质完全不相同的土地，将每块土地分为面积相同的两部分，分别种上两种种子，产量如下: 土地 12345678910 种子1的产量x 23352942392937343528 种子2的产量y 30393540383436334131 差d=x-y -7-4-621-511-6-3解：现在作如下检验：检验统计量为其中，拒绝域为又于是又故有所以，应该拒绝原假设，可以认为种子的平均产量有显著性差异。问题：P374第一种方法为何不可取。7.2.5正太总体方差的检验一，单个正太总体方差的检验，对方差的检验需要考虑如下问题：采用的统计量为：拒绝域为：例7.2.5某类钢材的重量服从正态分布，某项质量指标是钢材重量的方差不得超过0.016，现在抽取25块钢材，得到的样本方差为，问当天生产的钢板重量的方差是否满足要求。解：这是一个单侧检验问题，原假设与备择假设为:查表得：，现计算得：即检测值在拒绝域。所以认为该天生产的钢材重量不符合要求。二．两正太总体方差比的F检验设是来自正态总体的样本，是来自正态总体的样本，考虑以下检验问题：建立如下统计量当时，.拒绝域为例7.2.6甲乙两台机床加工某种零件，零件的直径服从正态分布，总体方差反应了加工精度，为比较两台机床的加工精度有无差别，现在从各自加工的零件中分别抽取7件和8件产品，测得其直径为：（机床甲）16.216.415.815.516.715.615.8（机床乙）15.916.016.416.116.515.815.715.0这是一个双侧假设检验问题：原假设与备择假设分别为;此处，经计算得：于是查表得则拒绝域为：样本没有落入拒绝域，即在显著性水平0.05下可以认为两台机床的加工精度无显著性差异。下面再用P值再作此检验由于是双侧检验，故由于P值大于给定的显著性水平，故不能拒绝原假设。§7.3其他分布的参数的假设检验  �EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3\*MERGEFORMAT����EMBEDEquation.3