反函数及其图像性质反函数如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数的定义记为：y=f(x)RR唯一确定yxy完成下列填空：[-1,+)[0,+)唯一确定y反函数,记为：反函数的一般定义参见课本P.60第二段。的反函数，记为：在(1)中，我们称新函数为原函数y=f(x)=2x的改写为：改写为：反函数与原函数的关系：原函数表...
反函数如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数的定义记为：y=f(x)RR唯一确定yxy完成下列填空：[-1,+)[0,+)唯一确定y反函数,记为：反函数的一般定义参见课本P.60第二段。的反函数，记为：在(1)中，我们称新函数为原函数y=f(x)=2x的改写为：改写为：反函数与原函数的关系：原函数表达式：定义域：值域：y=f(x)AC反函数y=f–1(x)CA例.求下列函数的反函数：解：（1）(2)(3)(4)2.求反函数的步骤概念表明也就是说,反函数定义是一种生成性定义，体现了反函数的获得的过程y=f(x)(x∈A)x=(y∈C)反解判断对调知识应用与解题研究反函数的练习：∵1≤x<0∴解：∴0≤<1∴0<y≤1解得(∵1≤x<0)由(1≤x<0)的反函数是：(0<x≤1)∴0<x2≤1∴0≤1x2<1.5、是否任何一个函数都有反函数？（1）函数的定义域是_____，值域是_________。如果由解出x=_________,对于y在[0,+)上任一个值，通过式子x在R上有__________值和它对应，故x_________y的函数。这表明函数没有反函。并非所有的函数都有反函数！问：怎样的函数才具有反函数呢？ 连续的单调函数一定有反函数例1.求函数y=3x-2的反函数,并画出原函数和反函数的图象.解∵y=3x-2x∈R二、新授课（一）例题讲解已知函数的图像利用对称性可以画出它的反函数的图像。应用思路：原函数和反函数的关系原函数和其反函数的图象关于直线y=x对称，若两个函数的图象关于直线y=x对称，则它们互为反函数.·原函数过M(a,b),则y=f-1(x)过M´(b,a).总结：M(a,b),与M´(b,a)两点关于直线y=x对称.注意：例2.求函数y=x3(x∈R)的反函数,并画出原来的函数和它的反函数的图象.解：（二）反函数中应注意的几个问题①y=f(x)与x=f-1(y)是定义上的反函数，它们的图像相同。②y=f(x)与y=f-1(x)是应用上的反函数，它们的图像关于直线y=x对称。③辨清y=f(x)、y=f-1(x)、x=f(y)、x=f-1(y)间的关系④两图像关于直线y=x对称，不一定是互为反函数的图像。⑤互为反函数在各自的定义域内单调性一致。⑦y=f(x+1)的反函数不是y=f-1(x+1),而是y=f-1(x)-1⑥y=f(x)存在反函数，则f-1[f(x)]=x,f[f-1(x)]=x为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y=x上”这个课题,我们可以分为三步进行研究.证明:设点(a,b)是f(x)的图象与其反函数的任一交点,由于原函数与反函数图象关于直线y=x对称,则点(b,a)也是f(x)的图象与其反函数图象的交点,且有b=f(a),a=f(b)若a=b时,交点显然在直线y=x上.若a<b且f(x)是增函数时,有f(b)<f(a),从而有b<a,矛盾;若b<a且f(x)是增函数时,有f(a)<f(b),从而有a<b矛盾.故有a=b.若a<b且f(x)是减函数时,有f(b)<f(a),从而有a<b,成立，此时交点不在直线y=x上;同理b<a且f(x)是减函数时,有f(a)<f(b),从而有a<b,成立，此时交点不在直线y=x上1、如果两个函数的图象有交点，则交点或者在直线y=x上或者关于直线y=x对称；2、如果原函数是定义域内的单调递增函数，它的图象如果与其反函数的图象相交，那么交点一定在直线y=x上;3、如果函数f(x)是减函数,并且f(x)的图象与其反函数的图象有交点,则交点不一定在直线y=x上.上
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