希尔伯特问题与20世纪数学
作者:胡作玄
自从《21世纪100个科学难题》出版之后,希尔伯特的名字也逐渐为更多的人知道,由于数学,特别是现代数学,很难为一般人所理解,自然,数学在媒体上难得有什么地位,而数学家的名字听起来也格外陌生了。无论国外国内,稍有科学素养的人都知道牛顿和爱因斯坦。无疑,牛顿应该是有史以来最伟大的科学家,而爱因斯坦是20世纪最伟大的物理学家。但是,谈起20世纪的数学,我想,至少应该记住三个人的名字:庞加莱、希尔伯特和冯·诺伊曼,他们是20世纪最有影响的数学家。庞加莱是非线性数学(如现代时髦的浑沌理论)的奠基人以及当代数学女王——拓扑学的创建者。冯·诺伊曼被称为“计算机之父”和现代计算数学的奠基人,而数理经济学和对策论(一译博奕论)也由他首先取得突破的。而对20世纪主流数学——结构数学有巨大影响的当属希尔伯特。
希尔伯特通过两条途径对20世纪数学施加影响:一条是通过自己遍及数论、代数、几何、分析以及数学基础的工作,一条是通过提出并研究数学前沿的问题指出未来数学发展的方向。他之所以能做到这点,除了他的天才和格廷根的优美环境之外,就要归结为他的献身精神——热爱数学、学习数学的热望,不断地去深入理解数学的任何一个部门。总之,使数学成为生活中不可或缺的东西。笔者在格廷根的档案馆中发现他的
记录
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和笔记中,有一部分是他取得博士学位以后,访问国内国外知名数学家的记录;另有三大本笔记,详细记录他提出的各种问题以及对各种问题的思考;而他在1900年8月8日关于《数学问题》的
报告
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显然不是急就章,而是长年思考积累的结果。
希尔伯特的报告不是大会报告,而是数学史组的分组报告,从这个意义上来讲,那时人们的确重视科学发展的历史,而也正是这种重视历史的心态,才使这些最伟大的数学家成就其历史的伟业。从另外一个意义上来讲,希尔伯特的23个问题是一个继往开来的文献,说它继往,是它
总结
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了19世纪几乎所有未解决的重要问题;说它开来,是这些问题的确推动了20世纪数学的进步。因此各数学大国,美国、前苏联、日本以及法国、德国和英国的数学家或组织起来或单独研究希尔伯特问题的历史和现状,并进一步提出新的问题。这里我们也极简单地概括一下,欲知其详,则有待于专著的问世。
希尔伯特的23个问题分属四大块:第1到第6问题是数学基础问题;第7到第12问题是数论问题;第13到第18问题属于代数和几何问题;第19到第23问题属于数学分析。从顺序上讲,显然希尔伯特把自己的重点放在数学基础上,他自己的工作也正为缔造数学大厦牢固的基础而努力。从19世纪末希尔伯特已致力把数学建立在少数公理的基础上。他还是集合论最早的少数支持者之一,把数学建立在集合论基础上成为他的梦想。这可以解释他为什么把集合论头号问题——连续统假设列为自己的第1问题。希尔伯特通过自己的工作包括他的基础问题对于20世纪数理逻辑的发展起了决定性的影响。但是希尔伯持的纲领却由于哥德尔1930年的不完全性定理而不能实现,从此数理逻辑走向独特的发展道路。从新的观点看,第1、第2以及第10问题属于数理逻辑的范围,第3、第4、第5、第6属于较为具体的学科。从某种意义来讲,这些问题可以说都在不同程度上得到解决。
数论这一块是希尔伯特本人在1900年之前最为关注的领域,他本人的工作对这领域的发展也有决定性的影响。出乎他本人的预料,第7问题在他在世时已经解决,而第8问题的黎曼猜想却至今还距离完全解决尚远,成为未来世纪数学家的头号难题。由第12问题衍生出的朗兰兹(LangLands)纲领,更是远未解决,而其它4个问题可以说已经基本解决。
20世纪的代数学已由方程论和不变式论发展为抽象代数学或近世代数学,这条发展路线虽然同希尔伯特问题关系不大,但的确是在希尔伯特本人工作的影响之下发展起来的。13、14和17这三个代数问题可以说基本解决,它们也给20世纪数学带来新的方向。几何的三个问题中,第15问题对于代数几何学的严格化有重要影响,而代数几何学在20世纪是一门对各方面都有巨大影响的主流学科,它的基础已经建立在交换代数学的基础上。与此相反,16问题前半的实代数几何学进展不大,尽管希尔伯特的问题有很大进步。16问题后半的极限环问题经过一个世纪的努力可以说进展甚微,具体讲每一个重要进展在多年之后都发现不对。18问题共有三问,前两问已经圆满解决,而第三问则发展成一个十分活跃的领域,特别是开普勒(就是发现行星运动的三定律的那位)猜想终于在本世纪结束之前完全证明。
希尔伯特的5个分析问题,可以说都基本解决。希尔伯特从1900年起研究分析,特别是狄式原理和积分方程直接推动偏微分方程和泛函分析的发展。总之,希尔伯特23个问题有4个问题仍是下世纪的大问题(第8、第12、16B、18C),而其他问题则应在基本解决的基础上提出更多更新的问题。
回顾一个世纪数学的发展,我们的确可以看到希尔伯特通过他自己的工作和提出的问题,把20世纪数学带上一条健康发展的道路。当然,即使像希尔伯特这样的数学巨人,也自然会有他的局限性。他基本上没有涉及庞加莱的组合拓扑的工作,E·嘉当关于李代数的工作以及黎曼几何与张量分析和群表示论的研究。但是,他的工作和他的问题同20世纪特别是上半世纪一半以上的数学研究有联系。而到20世纪末,数学已发展成如此庞大的领域,已经找不到一个人来提出全面数学问题的清单,他的工作需要几十人来代替。这些领袖人物虽然不像希尔伯特那样广博,但决不是狭窄领域的专家,他们都多少继承希尔伯特的基因,在学科交叉上看到数学未来的前沿。而这正预示着下一世纪数学辉煌的前景,也是解决老问题,提出新问题的关键所在。
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