链式法则的一般形式

链式法则的一般形式  若u = f (x1,…, xn), x i = i (t1 ,…, tm), (i = 1, …, n), 则 , 即 (j = 1, …, m). 总之, 复合函数对自变量的偏导数 等于所有对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积的和. 特例: (t) = f (tx) = f (tx1,…, tx n), ' (t) = x1 D1 f (tx) + … + xn Dn f (tx). *△(齐次函数的Euler公式) (p.123.6对三元函数) 若存在k使f : Rn→R满足f (tx) = t k f (x) (t > 0, x∈Rn. 书上的定义中k > 0, t∈R), 则称f为k次齐次函数. 证明: 可微函数f是k次齐次函数 x1D1 f + … + xn Dn f ( = (grad f , x)) = kf .  (*) 证 f (tx) = t k f (x). 两端对t求导, 得x1D1 f (tx) + … + xn Dn f (tx) = k t k1 f (x). 令t = 1得(*). 设 (t) = f (tx) / t k , ( 即证 (t ) = f (x). 由 (1) = f (x), 只要证 (t) = (1), 即 证 常值), 则可微, ' (t) = ( t k (x1 D1 f (t x) + … + xn Dn f (t x)) k t k1 f (x) ) = ( t x1 D1 f (tx) + … + txn Dn f (tx) k f (tx)) ( 以txi代条件(*)中的xi) = 0, 故 常值, (t) =  (1) = f (x), f (tx) = t k f (x). *Euler公式的应用. (1) 证明u = x f ( ) + y g ( ) 满足x 2 u xx + 2 xy u xy + y 2 u yy = 0. (2) p.143.3(2). 解 (1) (u是一次齐次函数) 用两次Euler公式. (2) u是 1 + 2 +…+ (n 1) = ? n (n + 1)次齐次函数. 补充 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 △ u = x 3 sin y + y 3 sin x, 求 . ( 6 (cos x + cos y) △ u = e xyz, 求uxyz . ( e xyz (1 + 3xyz + x2 y2 z2 )) △ u = (x a) p (y b) q, 求 . (p ! q !) △ u = , 求 . ( ) △ 证明 z = x n f ( )满足方程 x zx + 2 y zy = nz. △ 证明 z = y f (x2 y 2)满足方程 y2 zx + xy zy = xz . △ 已知 u = x4 x3 (y + z) + x2 yz + f (y x, z x), 化简 ux + uy + uz . (xyz) △ 证明u = (x at) + (x + at) 满足u tt = a2 u xx . △ 证明u = x (x + y) + y (x + y)满足u xx 2 u xy + u yy = 0. △ 设 u = ln x, v = ln (y + ), 以u, v为自变量变换方程x zx + zy = xy. (zu + zv = e u sh v) △ 设x = r cos , y = r sin , 变换 (1) x uy y ux ; (2) x ux = y uy ; (3) x2 u xx + 2 xy u xy + y2 u yy .  ( (1) u ; (2) r ur ; (3) r 2 u rr .) △ 设x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos, 变换ux2 + uy2 + uz2 .  (ur2 + r 2 u2 + (r sin) 2 u2 ) 七. 方向导数与梯度 偏导数是函数沿坐标轴方向的变化率, 方向导数是函数沿任意方向的变化率. 设f : D (Rn)→R, a∈D°, l为方向(| l | = 1) 若极限 存在, 则称 之为f在a沿方向l的方向导数, 记为Dl f (a), fl (a), , 等. 若记g (t) = f (a + t l ), 则D l f (a) = g ' (0). 设l = (l1,…, l n), a = (a1,…, a n), 则 g (t) = f (a + t l ) = f (a1 + tl1,…, an + tl n). 由链式法则(u = f (x), x = a + t l ), 当f在a可微时, g ' (t) = l1 (a +t l) + … + ln (a + tl ), fl (a) = l1 (a) + … + ln (a). 因此, 若设grad f (a) = ( (a), …, (a)) ( = (D 1 f (a),…, Dn  f (a))), 则fl (a) = grad f (a) l ≤|grad f (a)|, 等号 grad f (a) = cl , 即l = . 称grad f (a)为f在a处的梯度(向量). 这证明了下列 命题  若f在a可微, 则f 沿任何方向的导数都存在, 且fl (a) = grad f (a) l . 方向导数沿梯度方向达到最大值|grad f (a)|, 沿梯度相反方向达到最小值| grad f (a)|. (换言之, 沿梯度方向, 函数的变化率最大.) 特例: ①偏导数. 取l = ei = (0, …, 0, 1, 0, …, 0), 有grad f (a) l = (a). ②二元: l = (cos, sin ). ③三元: l = (cos, cos, cos). n元: l = (cos (l, x1),…, cos(l, xn)). 注1  所有方向导数存在(称为弱可微) ? 连续. 例 前已证明 f (x, y)不存在, 故在(0, 0)不连续. (因而不可微, 不能用上述命题求方向导数.) 但对l = (cos, sin ), Dl f (0,0) = = 注2  所有偏导数存在 ? 所有方向导数存在. 例 f (x, y) = fx (0,0) = 1 = fy (0,0). 当cos ≠0, sin ≠0时, 方向导 数 = 不存在. △p.125例1. 方向向量 , (1,1,1) = (1, 2y, 3z2 ) = . △(p.127.6(3)) 证明: grad (u v) = u grad v + v grad u . ( ,…) △ 求Dv f (0,0), 若 , v = (cos, sin ), 0≤ ≤2 . 解 g (t) = f (t cos , t sin ) = | t | . 当2 = 时g (t) = 0, 故 v = (± ,± )时Dv f (0,0)= g ' (0) = 0. 在其它方向, g' (0) = , g+' (0) = , 方向导数不存在. (注. 书上定义的是单侧方向导数, = g+' (0), 是存在的.) △(p.127.10) 设f可微, l1, l2∈R2线性无关. 若 = 0, 则f常值. 八. 中值定理与Taylor公式 前已接触过f (x, y) f (a, b) = fx (, y) (x a) + fy (a, ) (y b), 在a, x之间, 在b, y之间, 条件是f在点(a, b)附近有偏导数. 在求方向导数时已经知道, 在连接点(a, b)与(a+h, b+k)的线段(x, y) = (a + th, b+tk) (0≤t≤1)上f是一元函数 (t) = f (a+th, b+tk) (0≤t≤1). 对它用一元函数中值定理, 有(为使 可微, 需条件f可微) (1) (0) = ' ( ) (0 < < 1), 即( 注意 ' (t) = fx (a+th, b+tk) h + fy (a+th, b+tk) k) f (a+h, b+k) f (a, b) = fx (a+h, b+k)h + fy (a+h, b+k)k  (*) 为保证连接任何(a+h , b+k)与(a, b)的线段在f的定义域内, 要求f的定义域是凸的. 这样, 有 中值定理  设D为R2的凸开域, f在D内可微, 则对D内任意两点(a, b), (a+h, b+k)有∈(0, 1)使(*)式成立. 证 设 (t) = f (a + th, b + t k), 则在[0,1]上可微, …. 注1  若记x0 =(a, b), x = (a+h, b+k), 连接x0 , x的线段为, = (a+h, b+k), 则结论成为∈ 使f (x) f (x0) = grad f ( ) (x x0). 这对n元函数当然也成立. 注2  凸域可减弱为星形域. 推论  设D, f同上(可以是n元函数). (1) 若M≥0 x∈D | grad f (x)|≤M, 则x, x0∈D,  | f (x) f (x0)|≤M | b a |; (2) 若grad f = 0, 则f常值. 用同样的思想可以求多元函数的Taylor公式. 为使符号简单, 下面只对二元函数讨论. 设 (t) = f (a+th, b+tk) (0≤t≤1), 则 , = (h + k )2 f (a + th, b + tk), 一般地, 用数学归纳法可得 (m) (t) =(h + k )m f (a + th, b + tk) = . 由一元函数的公式 (1) = (0) + ' (0) + … + , 得 f (a+h,b+k) = f (a,b)+ (h + k )k f (a,b) + (h + k )n+1 f (a+h, b +k). 为使混合偏导数相等, 要求所有n + 1阶偏导数都是连续的, 即f ∈C (n+1). Peano余项是o (h2 + k2) n/2, 这时只要f∈C (n). *注  对n元函数, 上面公式中, (h, k)以h = (h1,…, h n)代替, h + k 即(h, k) grad 现在是h grad , 即h1D1 + … + h n Dn , 由多项式展开定理, 有 (h1D1 + … + h n Dn ) m = Taylor公式是 f (a + h) = f (a) + ( h grad)k f (a) + ( h grad )m+1 f (a + h). (*) 如果把一元函数f的导数f (k) (a)用另一种记号Dk f (a), 则f的Taylor公式是 f (a + h) = f (a) + ( h D)k f (a) + ( h D)m+1 f (a + h). 容易看出(*)与它的相似性. △ 计算(1.1)1.02. 法一. 用微分: f (a+h, b+k)≈ f (a, b) + h fx (a, b) + k fy (a, b), f (x, y) = x y, a = b = 1, h = 0.1, k = 0.02, (1.1)1.02≈11 + 0.1×y xy1|(1,1) + 0.02×x y ln x|(1,1) = 1.1. 法二. 用二阶Taylor公式: f (a+h, b+k)≈ f (a, b) + h fx (a, b) + k fy (a, b) + ? (h 2 fxx + 2hk fxy + k 2 fyy ) (a, b), fxx (x, y) = y (y 1) x y2, fxy (x, y) = x y1 + y xy1 ln x, fyy (x, y) = x y ln 2 x, (1.1)1.02 ≈ 1 + 0.1 + 0 + ? (0.12×0 + 2×0.1×0.02×1 + (0.02)2×0) = 1.102. △ 设| x |, | y |充分小, 求f (x, y) = arctan 的到二次项的近似公式. 解 f (x, y)≈f (0,0) + x fx (0,0) + y fy (0,0) + (x2 fxx (0,0) + 2xy fxy (0,0) + y2 fyy (0,0) = + x xy . 九. (局部) 极值与最大最小值 极大、极小、严格极大、严格极小、最大、最小值. 极值点只限于定义域的内点. 极值必要条件  若f在a处有极值, 且各个偏导数都存在, 则grad f (a) = 0. 证 f在a =(a1,…, a n)处有极值 gi (t) = f (a1,…, ai1, t , ai+1,…, a n)在ai处有极值 gi' (ai) = 0 (a) = 0 (i = 1, …, n). 驻点 = 稳定点 = 梯度为0的点. 鞍点 = 非极值点的驻点. 如(0,0)是z = xy的鞍点(图见p.91). 例 f (x, y) = 在(0,0)极小, 偏导数不存在. 对多元函数, 不能从偏导数的符号变化判断极值, 如z = xy. 以下对二元函数考虑极值充分条件. 设有二元函数z = f (x, y), (a, b)是其驻点. 显然, f (a, b)是否极值, 由△z = f (a+h, b+k) f (a, b)当| h |, | k | 充分小时的符号确定. 设在(a, b)的某邻域内f∈C (2)(这是为了用Peano余项), 则有 △z = ? (h2 fxx (a, b) + 2hk fxy (a, b) + k2 fyy (a, b)) + o( 2) ( = ), 当△z≥0时f (a, b)极小, ≤0时极大, 不定时不是极值. 为记号简单, 设A = fxx (a, b) , B = fxy (a, b), C = fyy (a, b), Q (h, k) = Ah 2 + 2Bhk + Ck 2, 则 △z = ? (Ah 2 + 2Bhk + Ck 2) + o( 2 ) = ? Q (h, k) + o( 2 ). 1°若h, k, Q (h, k) > 0(即二次型Q正定), 则f (a, b)极小. 事实上, △z = 2 (Q ( , ) + ()), 其中() =2 →0 (→0). Q ( , )关 于h, k连续且( )2 + ( )2 =1, 故在单位圆周上达到最小值, 设为m, 则h, k, Q ( , ) ≥m > 0. 因为()→0 (→0), 故充分小时| () | < m, 从而充分小时△z≥0, 即在(a, b)附近△z≥0. 2°若h, k, Q (h, k) < 0(即二次型Q负定), 则f (a, b)极大. 3°在其它情形( 即Q不定时), f (a, b)不是极值. (反证法) 设f (a,b)极小, 则Q (h, k)≥0. 事实上, 设(h 0 , k 0) 使Q(h 0 , k 0) < 0. (下面证明f (a,b)不是极小值, 即在(a, b)的任何邻域内有点, 其对应的函数值< f(a,b). 这样的点在由(a, b)和( a+h 0, b+ k 0)确定的直线上就有.) 记02 =h02+k02 , 则对 f (a+ th 0, b+ t k 0) f (a, b) = t 202 ( + (t 0))有 = Q (h 0 , k 0) < 0. 因为t→0时 t0 →0, 故t充分小时 + (t0) < 0, 从而f (a+th 0, b+ tk 0)< f (a, b), 与 f (a, b) 极小矛盾. 类似地, f (a, b)极大时 Q (h, k)≤0. 注  以上证明了 f (a, b)是极值Q半定. 极值充分条件 设在(a, b)的某邻域内f ∈C (2) 且(a, b)是f的驻点, A = fxx (a, b), B = fxy (a, b), C = fyy (a, b), 则当二次型Ah2 + 2Bhk + Ck2 (h, k∈R)(等价地, 矩阵 － Hessia矩阵)正定时f (a, b)极小, 负定时极大, 不定时不是极值. (又, f (a, b)极小时上述二次型正半定, 极大时负半定.) 推论  设= . 若>0, A > 0, 则 f (a, b)极小; 若 > 0, A < 0, 则 f (a,b)极大; 若 < 0, 则 f (a, b)是鞍点; 若 = 0, 则不能确定. 证 Q (h, k) = A ((h + k) 2 + k 2 ) 若 < 0, 则Q (h, k)不定 .若 = 0, 则Q (h, k) = A (h + k) 2 不能确定. 例如设 f (x, y) = x 2 y 4 , 则(0,0)是驻点, = 0, 但(0,0)是鞍点: y≠0时f (0, y) < 0, x≠0时f (x, 0) > 0; 设g (x, y) =  (x 2 + y 2)5/ 2, 则(0,0)是驻点, = 0, 但f (0,0)极小. 注1. 对一元函数, = A, 成为一元函数极值的二阶导数判别法. 2. 对n元函数, 类似的结论成立. Hessia矩阵为 , 二次型 Q现在是Q(h1,…, h n) = . Hessia矩阵的n个顺序主子式均> 0时极小, 负 正相间时极大. 3. 当只有一个驻点(设为a)时, 如果能从所论函数本身判明它确有极值, 则a就是极值点. 这时只要计算D11 f (a), > 0时极小, < 0时极大. △ p.138例6. △(p.138例8) 讨论 f (x, y) = (y x 2) (y 2x 2)在原点是否取得极值. 解 f (x, y) = y 2 3x 2 y+2x 4. 由 fx (x, y) = 6xy + 8x 3 = 0, fy (x, y) = 2y 3x 2 =0得驻点(0, 0). (fxx (0,0) = fxy (0,0) = 0, △= 0, 不能用推论.) 因为x 2 < y < 2x 2 时f (x, y)< 0, y < x 2 或y >2x 2时f (x, y) > 0, 故在(0,0)的邻域内f总能取得正值与负值(如f (x, x 2) < 0, f (x, x2) > 0), 从而f (0,0) = 0不是极值. *注  但在通过原点的任一直线上f (0,0)极小. 事实上, 设g (x) = f (x, kx) = k 2 x 2 3kx 2 + 2x 4 , 则g ' (0) = 0, g " (0) = 2k 2 > 0 (k≠0), 故g (0)极小. 当k = 0时g (x) = 2x 4 , g (0)也极小. 因此本例说明函数沿直线极小时它不一定极小. △ f (x, y) = xy x 3 y xy 3 . 由 fx (x, y) = y 3x 2 y y 3 = 0, fy (x, y) = x x 3 3xy 2 = 0得9个驻点: P1 (0,0), P2 (1,0), P3 (1,0), P4 (0,1), P5 (0, 1), P6 (? , ?), P7 (?, ?), P8 (?,?), P9 (?,?). fxx (x, y) = 6xy, fxx (x, y) fyy (x, y) fxy2 (x, y) = (6xy) 2 (1 3x 2 3y 2) 2. 对P1,△= 1 < 0; 对P2, P3, P4, P5, △ = 4 < 0, 都是鞍点. 对P6, P7, P8, P9, △= 2 > 0, P6, P7极大(1/8), P8, P9极小(1/8). △考察函数f (x, y) = (1 + e y ) cos x ye y 的极值. 解  fx (x, y) = sin x (1 + e y ), fy (x, y) = (cos x 1 y) e y , 驻点P n (n , (1) n 1) (n∈Z). fxx (x, y) = cos x (1 + e y ), fxy (x, y) = e y sin x, fyy (x, y) = (cos x 2 y) e y . 对P 2n , A = 2 < 0,△= 2×(1) 0 2 = 2 > 0, 极大(2); 对P 2n1, A = 1 + e 2 > 0, B = 0, C = e 2, △< 0, 不是极值点.