§6.1 数列的概念及简单表示法
2014高考会这样考
1.以数列前几项为背景写数列的通项；2.考查由数列的通项公式或递推关系，求数列的某一项；3.考查已知数列的递推关系或前n项和Sn求通项an.
复习备考要这样做
1.在通项公式的求解中，要注意归纳、推理思想的应用，寻求数列的项的规律；2.通过Sn求an，要对n＝1和n≥2两种情况进行讨论；3.灵活掌握由递推关系求通项公式的基本方法．
1．数列的定义
按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．
2．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an＋1__>__an
其中n∈N*
递减数列
an＋1__<__an
常数列
an＋1＝an
按其他标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个表示式子表示成an＝f(n)，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
5．已知Sn，则an＝
.
[难点正本 疑点清源]
1．对数列概念的理解
(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
(2)数列的项与项数：数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置的序号．
2．数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an (n∈N*)．
1．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为__________．
答案 an＝2n－1 (n∈N*)
解析 ∵1,3,7,15分别加上1，则为2,4,8,16，易知an＝2n－1.
2．数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则{an}的通项公式an＝________.
答案 n(n－1)
解析 由已知，得an＋1－an＝2n，
故an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝0＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)．
3．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n (n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝__________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．
答案 2n－11 3
解析 当n≥2时，Sn－Sn－1＝2n－11，n＝1时也符合，则an＝2n－11，∴nan＝2n2－11n＝2
2－
，且n∈N*，故n＝3时，nan最小．
4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 ( )
A．15 B．16 C．49 D．64
答案 A
解析 ∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.
5．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10等于( )
A．1 B．9 C．10 D．55
答案 A
解析 ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝1，∴S1＝1.
可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1.
即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.
题型一 由数列的前几项求数列的通项
例1
写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)
，
，
，
，
，…；
(3)－1，
，－
，
，－
，
，…；
(4)3,33,333,3 333，….
思维启迪：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．
解 (1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝
.
(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·
.
也可写为an＝
(4)将数列各项改写为
，
，
，
，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以an＝
(10n－1)．
探究提高 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
(1)
，
，－
，
，－
，
，…；
(2)
，1，
，
，…；
(3)0,1,0,1，….
解 (1)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－
，原数列可化为－
，
，－
，
，…，
因此an＝(－1)n·
.
(2)将数列统一为
，
，
，
，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
因此可得它的一个通项公式为an＝
.
(3)an＝
或an＝
或an＝
.
题型二 由数列的递推关系求通项公式
例2
(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；
(2)已知a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.
思维启迪：(1)可构造等比数列求解；(2)可使用累加法．
解 (1)∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋a＝2(an＋a)，
与an＋1＝2an＋1比较可知a＝1，
又a1＝1，∴a1＋a＝2.
故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.
(2)当n取1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式．
即an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，将其两边分别相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)，
∴an＝a1＋
＝2＋
.
探究提高 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．
当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现
＝f(n)时，用累乘法求解．
根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：
(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；
(2)a1＝1，an＝
an－1 (n≥2)；
(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴
＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1.
(2)∵an＝
an－1 (n≥2)，
∴an－1＝
an－2，…，a2＝
a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1·
·
·…·
＝
＝
.
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1 (n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝
(n≥2)．
当n＝1时，a1＝
×(3×1＋1)＝2符合公式，
∴an＝
n2＋
.
题型三 由数列的前n项和求通项公式
例3
已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：
(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
思维启迪：当n＝1时，由a1＝S1，求a1；
当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．
解 (1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此等式．
当b≠－1时，a1不适合此等式．
∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
探究提高 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝
当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．
答案 an＝
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为an＝
用函数的观点解决数列问题
典例：(12分)已知数列{an}．
(1)若an＝n2－5n＋4，
①数列中有多少项是负数？
②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an.求实数k的取值范围．
审题视角 (1)求使an<0的n值；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性．
规范解答
解 (1)①由n2－5n＋4<0，解得1
an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－
<
，即得k>－3.[12分]
温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决．
(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．
(3)易错分析：本题易错答案为k>－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．
方法与技巧
1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．
2．强调an与Sn的关系：an＝
.
3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但
试题
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难度较难把握．一般有三种常见思路：
(1)算出前几项，再归纳、猜想；
(2)“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；
(3)利用累加或累乘法可求数列的通项公式．
失误与防范
1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的．
2．数列的通项公式不一定唯一．
A组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知数列1，
，
，
，…，
，则3
是它的 ( )
A．第22项 B．第23项 C．第24项 D．第28项
答案 B
解析 观察知已知数列的通项公式是an＝
，
令an＝
＝3
＝
，得n＝23.
2．(2011·四川)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于( )
A．3×44 B．3×44＋1 C．45 D．45＋1
答案 A
解析 当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.
3．对于数列{an}，“an＋1>|an| (n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的 ( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当an＋1>|an| (n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2，0,1，，则a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an| (n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1>|an| (n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
4．如果数列{an}的前n项和Sn＝
an－3，那么这个数列的通项公式是 ( )
A．an＝2(n2＋n＋1) B．an＝3·2n
C．an＝3n＋1 D．an＝2·3n
答案 D
解析 由已知可得：a1＝6，a2＝18，由此可排除A、B、C.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝
，a36＝________.
答案 4
解析 ∵ap＋q＝ap＋aq，
∴a36＝a32＋a4＝2a16＋a4＝4a8＋a4
＝8a4＋a4＝18a2＝36a1＝4.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝
an－
，且10，解得n>6或n<1(舍)．
故数列从第7项起各项都是正数．
9．(12分)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
(1)解 ∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴2log2an－2－log2an＝－2n，∴an－
＝－2n，
∴a
＋2nan－1＝0，解得an＝－n±
.
∵an>0，∴an＝
－n.
(2)证明
＝
＝
<1.
∵an>0，∴an＋1a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．
浙公网安备 33021202002483