切变模量的测量

实验题目：切变模量的测量 实验目的：用扭摆来测量金属丝的切变模量，同时要学习尽量设法避免测量那些较难测准的物理量，测量那些较难测准的物理量，从而提高实验精度的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 思想。 实验仪器：千分尺，游标卡尺，细钢丝，铁架台，秒表，钢尺，金属环，金属盘等 实验原理：（跳转到“测量记录&数据处理”） 实验对象是一根上下均匀而细长的钢丝，从几何上说就是一个如图5.3.2-1所示的细长的圆柱体，其半径为R，长度为L。将其上端固定，而使其下端面发生扭转。扭转力矩使圆柱体各截面小体积元均发生切应变。在弹性限度内，切应变γ正比于切应力τ： （1） 这就是剪切胡克定律，比例系数G即为材料的切变模量。 钢丝下端面绕中心轴线OO’转过φ角（即P点转到了P’的位置）。相应的，钢丝各横截面都发生转动，其单位长度的转角 。分析这细圆柱中长为 的一小段，其上截面为A，下截面为B（如图5.3.2-2所示）。由于发生切变，其侧面上的线ab的下端移至b’，即ab转动了一个角度γ， ，即切应变 （2） 在钢丝内部半径为ρ的位置，其切应变为 （3） 由剪切胡克定律 可得横截面上距轴线OO’为ρ处的切应力。这个切应力产生的恢复力矩为 截面A、B之间的圆柱体，其上下截面相对切变引起的恢复力矩M为 （4） 因钢丝总长为L，总扭转角 ，所以总恢复力矩 （5）                        所以        （6） 于是，求切变模量G的问题就转化成求钢丝的扭矩（即其恢复力矩）的问题。为此，在钢丝下端悬挂一圆盘，它可绕中心线自由扭动，成为扭摆。摆扭过的角度φ正比于所受的扭力矩， （7） D为金属丝的扭转模量。将式（7）代入式（6），有 （8） 由转动定律 （9） I0为摆的转动惯量，再由式（7）和（9）可得 （10） 这是一个简谐运动微分方程，其角频率 ，周期 （11） 作为扭摆的圆盘上带有一个夹具，这给测量或计算I0带来困难。为此，可将一个金属环对称地置于圆盘上。设环的质量为m，内外半径分别为r内和r外，转动惯量为 ，这时扭摆的周期 （12） 由式（11）、（12）可得 （13） （14） （15） 实验内容： 本实验用扭摆法测量钢丝的切变模量，扭摆装置如图5.3.2-3所示。 1． 装置扭摆，使钢丝与作为扭摆的圆盘面垂直，圆环应能方便地置于圆盘上。 2． 用螺旋测微器测钢丝直径，用游标卡尺测环的内外径，用米尺测钢丝的有效长度。 3． 写出相对误差公式，据此估算应测多少个周期较合适。 4． 计算钢丝的切变模量G和扭转模量D，分析误差。 测量记录&数据处理： . 实验设计： 对公式 进行误差分析，可得： … …(*)                              现设计如下： .用游标卡尺测 . (初测 ) .用钢尺测L. (初测L=42.30cm) .用千分尺测R. (初测R=0.295+0.5=0.795cm) .环的质量m=577g（误差：0.5）. .用秒表测 . (初测 ) 查询相关数据及初测数据带入(*)式使 可得： 令： 又由 可得： 以下实验取： .测量记录&处理： .用游标卡尺测 . 表一，金属环的内外直径（cm）   1 2 3 4 5 6 7 8.338 8.350 8.356 8.354 8.366 8.340 8.360 10.452 10.430 10.420 10.458 10.410 10.412 10.432                 根据 可得下表： 表二，金属环的内外半径（cm）   1 2 3 4 5 6 7 4.169 4.175 4.178 4.177 4.183 4.17 4.18 5.226 5.215 5.21 5.229 5.205 5.206 5.216                 不确定度计算： 带入不确定度公式得： . 金属环的质量 .用钢尺测L： 表三，金属丝长度L（cm）   1 2 3 4 5 6 7 L 42.18 42.20 42.21 42.19 42.20 42.22 42.20                 不确定度计算： ．用千分尺测金属丝半径R=D/2: 表四，金属丝直径D（mm）   1 2 3 4 5 6 D 0.794 0.792 0.792 0.791 0.791 0.792   7 8 9 10 11 12 D 0.792 0.794 0.793 0.792 0.792 0.791               根据R=D/2可得： 表五，金属丝半径D（mm）   1 2 3 4 5 6 R 0.397 0.396 0.396 0.3955 0.3955 0.396   7 8 9 10 11 12 R 0.396 0.397 0.3965 0.396 0.396 0.3955               不确定度计算： .用秒表测 ： 表六， 的测量（s）   1 2 3 4 5 6 63.91 63.84 63.84 63.93 63.84 63.94 155.10 155.16 155.09 155.19 155.28 155.37               由 可得： 表七， 的测量（s）   1 2 3 4 5 6 2.130 2.128 2.128 2.131 2.128 2.131 3.447 3.448 3.446 3.449 3.451 3.453               不确定度计算： .计算钢丝的切变模量G和扭转模量D，分析误差。 不确定度计算： 由(*)式可计算得： 又由 计算得： 于是有： 误差分析&改进： .用游标卡尺测金属环的内外径时，由于金属环的圆心很难确定，所以实际测得的内外径应该比真实值偏小。改进：可以将金属环描摹在一张纸上，然后用几何知识作辅助线进行准确测量其内外径，当然应多次测量，误差会比直接测量小一些。 .用钢尺测金属丝的长度时，由于其两个固定端的干扰，其有效长度很难测准确，尤其是若保持钢尺与金属丝平行，则很难找到起止位置所对应的刻度。改进：可以设计一种三角尺（如右下图所示）,B为固定端，A为可活动端，C和D处细化处理，O处可固定的轴，利用几何原理找出CD和OA的关系，在OA上做刻度（可以模仿游标卡尺，提高精确度），用它即可以测量CD的长度，提高精确度。 .用千分尺测细丝的半径在多处不同位置测量，有效地减小了误差。 .用秒表测周期时应保证初始旋角在180度和270度之间，不能过大，也不能太小，还应尽量保持金属丝竖直不变，从而减小误差。 思考题： 1． 本实验是否满足γ<<1的条件？ 答：实验原理中有公式： 试验中取 即 ，而： 从而：γ<0.004422,即满足： γ<<1. 2． 为提高测量精度，本实验在设计上作了哪些安排？在具体测量时又要注意什么问题？ 答：实验中将求切变模量的问题转化为求钢丝扭矩的问题，利用扭摆使测量简单易行 ；作为扭摆的圆盘上带有一个夹具，这给测量或计算I0带来困难，实验中将一个金属环对称地置于圆盘上，避免了这种麻烦；在设计实验中由于仪器的限制，又考虑到测周期时 不能取得过大，取 ，计算出合适的 .