等差数列与等比数列的类比关系
等比数列和等差数列是两类特殊的数列，他们的关系甚密，从定义上看等比数列和等差数列的定义仅
anaad,,有一字之差，把“差”变成了“商”。在等差数列中，关键是“差”，在等比数列中,q，nn,1an,1
aandaddd,，,,，，，，(1)关键是“商”。而在等差数列的通项公式中，同学们可以用类比的n11,n1
aaq,21
2aaqaq,,n,1321教材中等差数列通项公式的推导，来推得等比数列的通项公式。 aaqaqqq,,,,,n113aaqaq,,n,1431
从以上两个公式可以看出等差数列中差与和对应，属于同级运算;在等比数列中商与积对应，也是同一级的运算。而且我们把等差数列和等比数列对比可以得到，由等差数列定义到等比数列定义差变成商，由等差数列的通项公式到等比数列的通项公式和变成积(积变成幂)。我们可以把等比数列看作是等差数列的升级，所以我们用类比等差数列的方法研究等比数列。
bkam,aaabmk,,,,()例1(已知数列为等差数列，且，则;若数列为等比a,ab,,,,mkmk，nnkm,
babbmk,,,,()b数列，且，(1)类比等差数列的结果，你认为可能是什么值, mkmk，
(2)证明你的推测是否正确。
分析:根据等比数列是等差数列的升级，以及由等差数列定义到等比数列定义差变成商，由等差数列的通项公式到等比数列的通项公式和变成积(积变成幂)等差和等比的性质来猜想。
kkm,bbkambkam,b,解:(1)由，可以猜想 a,,,mk，mk，mkmkmkm,,,km,a
k1k,kmkm,,kmbbb,,,,，,mk,,11mkm？,qbaaqbbaq,,,,,？,,,bbqa(2)由题，， mk11,,，mkm,,maa,,,,,kma
点评:本题考察学生的类比迁移能力，在考试中经常以这种题型来考察，这也是高中学生应具备的基本能力。
,aaaaaannN，，，,，，，,,(29,)a,0例2(在等差数列中，若，则有等式a,,121229nn15,n
b,1成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，若，则有等式__________________________成立。 b,,19n
,aaaaaanmnN，，，,，，，,,,(21,)a,0分析:由题，在等差数列中，如果，有 121221nmnm,,
,aaaa，,，mnpqN,,,,成立，我们知道，若且，对于等差数列有等式。上式就是mnpq，,，mnpq
aaaa,,,b,1由此证出。对于等比数列有等式，所以可以得到结论:若，则有 mnpqm
,bbbbbbnmnN,,,,(21,)成立，所以在本题中的，即得 m,19121221nmn,,
,bbbbbbnnN,,,(37,) 121237nn,
,bbbbbbnnN,,,(37,)答案: 121237nn,
点评:在进行类比拓展时可以抓住某些性质进行类比，如由等差数列定义到等比数列定义差变成商，由等差数列的通项公式到等比数列的通项公式和变成积(积变成幂)，也可以抓住思维方法进行类比迁移，如
aaaa，,，本例的等差数列的性质，等差数列有等式，所以在等比中就可以用类似的性质，等比数mnpq
aaaa,,,列有等式来推导。 mnpq
aaa，，，12n小训练:1(等差数列有如下性质:若数列为等差数列，则当时，数列也b,ab,,,,nnnn
d,是等差数列;类比上述性质，相应地，若数列是正项等比数列，当____________时，数列cd,,,,nnn也是等比数列。
nn(1),2(已知等差数列的前n项和为，用类比的方法，写出等比数列前n项积的表达Snad,，a,,n1n2
T,式______________. n
a，2a，3a，？，na123n{a}b,{b}3(数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论，nnn1，2，3，？，n
dd{c}写出正项等比数列，若= ，则数列{}也为等比数列. nnn
1nn(1),n23n21，2，3，？，nnTbq,,答案:1( 2( 3. dccc,(c,c,c,,？,c)n1nn12123n
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