第2讲.相似三角形.教师版

第二讲 相似三角形 中考要求 考试要求 板块 A级要求 B级要求 C级要求 掌握相似三角形的概念、判定和性质～会运用相似三角形的性相似三角形 会识别相似三角形 会用相似三角形的性质和判定解决简质和判定解决有关问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 单问题 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 睛 一、相似三角形的判定定理 ,1,有两个角对应相等的两个三角形相似, ,2,两边对应成比例～且夹角相等的两个三角形相似, ,3,三边对应成比例的两个三角形相似, ,4,直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 二、相似三角形的性质 ,1,相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似比, ,2,相似三角形的周长之比等于相似比, ,3,相似三角形的面积比等于相似比的平方. 三、几个常见的基本图形 四、相似问题中的两种解题思想 ?集中, ?中间过渡量. 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 1 of 25 2五、型结论的证明 abc, 这一类型的题目在相似证明题中所占比重较大～考试中被考核的概率较大( 这类题型的基本模式是:,如下图, A 122BCD～则～? ，,，12ABBDBC,,,,ABDCBA? 六、 三角形内接矩形问题 这类题目经常出现在几何计算题中～中考压轴题中也会经常考到。运动与相似～为了体现新课程的特点～动态几何是这几年中考的常考题型( 重、难点 重点:掌握相似三角形的判定定理和性质～并且学会灵活运用～同时注意相似三角 形和全等三角形的区别和联系～特别又是在相似三角形中关于周长比和面积 比的关系 难点:理解相似三角形的综合运用( 关键:运用相关的知识解决典型的题型( 例题精讲 板块一、相似三角形的判定及性质 EABAEAB,【例1】 ,2007年北师大附中期末试题)如图，D、是的边、上的点，且～,ABCACADAC,, ，,，ADEB求证:. A E D BC 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 2 of 25 ADAB【解析】? ? ADACAEAB,,,,AEAC ? ，,，DAEBAC ?? ,DAE,BAC ? ，,，ADEB 【巩固】如图，在中，于，于，的面积是面积 E,BDED,ABCADBC,CEAB,,ABC 的4倍，，求的长. DEAC,6 A E CBD 【解析】?～～ ADBC,CEAB,，,，ABDCBE ?,ABD? ,CBE BEBC ? ,BDAB ? ，,，EBDCBA ,BED ?? ,BCA SDE111,BED ? ,,,,,,DEAC3ACS422,BCA EADAB【例2】 (重庆市中考题)如图，已知在矩形中，为的中点，交于F，连接 ABCDEFEC,FC (ABAE,). ,AEF(1)与是否相似，若相似，证明你的结论;若不相似，请说明理由. ,ECF AB,AEF(2)设是否存在这样的值，使得?，若存在，证明你的结论并求出值;若k,BCFk,kBC 不存在，说明理由. 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 3 of 25 MEAEADDFF BCBC 【解析】,1,延长FE、～交于点.易证,AEF?～故EFEM,. M,DEMCD 又～故～? ECEF,CFCM,,CEF,CEM 在中～～这个基本图形中～ RtCEM,DECM, ?～故,AEF? ,DEM,ECM,ECF AEBCAFAE1 ,2,由?可知～ ,AEF,BCF,,,,AFBFBFBC2 又AFAE,～～ ECEF,DECD, ,AEF 故? ,DCE AFDE32 从而可知～ ,,,,,,AEAFCDAEABAECD3 AB32故～故. k,,BCAEAB,,23BC23 DE【例3】 如图，已知梯形中，，，,,(),,ABCDADBC//，,:A90ABa,ADb,BCb,2ab,DEDC, ABE交于点，连接. EC (1)判断与,ADE，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明. ,DCE,DCE,BCE (2)如果不一定相似，请指出、满足什么关系时，它们就能相似. ab F ADDA EE BCCB BAF【解析】延长、交于点. CD 1 ?～ ADBC//ADAB,2 AFAB, ?～ DFCD, ,DFE ? ?? CDDE,,DCE ,DFEADEF,,ADE,DFE 在基本图形中～～故? ,ADE 从而可知～? ,DCE 与不一定相似～如果相似～则它们必然全等～ ,DCE,BCE 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 4 of 25 分析如下: 若～由～～共用可知～两三角形必然全等, ，,，DCEBCECDDE,CBBE,CE 若～则由?可知～～ ,ADE，,，DCECEB,DCE，,，ADECEB 故～这是显然不可能的. DECE, 当时～由题意可知～～故. ab,3，,，DCEBCE，,，,，,:DCEBCEAED60 【例4】 (厦门市中考题)中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在EFH,ABCEFGHBCG 、AB上，,边上的高,求. SACBC,15BCAD,10EFGH A HG BEDCF 【解析】设正方形的边长为～AD、的交点为～则有 MxEFGHHG AMHG10,xx ～即 ,,ADBC1015 解之得～ x,6 2 故 S,,636EFGH 本题有一个相似形中的典型的基本图形: AMEFAEAF如图～～～则 EFBC//ADBC,,,,ADBCABAC ,相似三角形高线之比等于相似比, A MEF CBD 【例5】 ,2007年北师大附中、2004年四川省乐山市中考试题) PA如图，已知中，，，，，点在上，与点、不重合，PQAB//,ABCAB,5BC,3AC,4ACC 在上. QBC (1)当的面积与四边形PABQ的面积相等时，求的长; ,PQCCP (2)当的面积与四边形PABQ的周长相等时，求的长; ,PQCCP ABM(3)试问:在上是否存在一点，使得为等腰直角三角形,若不存在，请简要的说明,PQM 理由;若存在，请求出PQ的长. 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 5 of 25 CC OEQQPP AABMHB SCPCP12,PCQ2【解析】,1,由题意可知～, ,,,,,,()22CP22CASCA,ACB ,2,由题意可知～～又 CPCQAPABBQ，,，，ABBCCA，，,，，,54312 故 CPCQ，,6 CPCQCPCPCQ，624 又? ? PQAB//,,,,,,CPCACBCACACB，77 ,3,如上右图～过点作～垂足为～交于点.假设存在满足题意的点～取 EHMPQPQCCHAB, 中点～连接～则～. OMPQ,OOMOMEH, CEPQ?～ ? PQAB//CHAB,,CHAB 12,x26012x1205设～则有～满足题意～此时. OMx,,,,,xPQ,12549549 5 【巩固】(全国初中数学联赛武汉选拔赛试题)如图，四边形和均为正方形，求 ABCDBEFG _________. AGDFCE::, ADAD GG FF BCCB EE 【解析】连接。 BDBF， ABBCBGBEABGCBE,,,，,，, ABBCBGBE,,, ？,,ABGCBE? ？,AGCE EFBEEFBEEBFBFBE,,,，,:,,45,2 BCCDBCCDCBDBDBC,,,，,:,,45,2 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 6 of 25 BDBF？，,，,,FBDCBE,2BCBE ？,,FBDEBC? DFBD？,,2 ECBF ？,AGDFCE::1:2:1 【例6】 如图，在矩形中，，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，PABABABBC,,126，ABCD2/ 点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用(秒)表示移动的时间DADQPQ，t1/ ( (06)??t ? 当为何值时，为等腰直角三角形, ,QAPt ? 求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论( QAPC ? 当为何值时，以点为顶点的三角形与相似( QAP，，t,ABC DC Q BAP 【解析】? 当为等腰直角三角形时～～ ,QAPAPAQ, ?～ 26tt,,t,2 11? ～即四边形的面积为定值( QAPCSSStt,，,,，，，，,(6)122636,,QACAPC四边形QAPC22 ? 分2种情况 APBA2t? 当时～～即～解得( ,,2,,APQBAC?t,3,2AQBC6,t AQBA6,t6? 当时～～即～解得( ,,AQPBAC?,,2t,,25APBC2t 6综上当或时～以点为顶点的三角形与相似( QAP，，t,3,ABC5 DFAF,2【巩固】如图:矩形的面积是36，在边上分别取点，使得，，且ABAD，EF，ABCDAEEB,3 DE与的交点为点，求的面积。 CFO,FOD 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 7 of 25 BBCC EE O O DDAAFF K 【解析】延长交的延长线于点～连接。由知 BAKOABD，CFAEEB,3S311327,AED～而～故。 ,SS,,，,S,，,183618,ABDABCD,AEDS44222,ABD OEEKAKAF? ?。又因为 ,,,BKCD?ODCDCDFD ～ AEEBDFAF,,32， SOE5OE54427,AOE所以。从而可知。所以。 ,,SS,,，,,6,,AODAEDOD4SOD4992,AOD 22又～故 DFAF,2SS,,，,64,,FODAOD33 板块二、相似中的角平分线问题 ABBDAD【例7】 如图，是的角平分线，求证: ,ABC,ACCD E AA 12 3 CBBCDD ABE【解析】过作交直线于. CCEAD? ?～ CEAD? ，,，1E?～ ，,，23 AD又?平分～ ，BAC ，,，12?～ ?～ ，,，E3 ?～ AEAC, ABBD由可得:～ CEAD?,AECD 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 8 of 25 ABBD? ,ACCD ABBD【变式1】已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证:D,ABC，BACBC,ACCD FAA1 2 E34 CBBDDC 【解析】过作交直线于. ABECCEAD? ?～ CEAD? ?～ ，,，24，,，13 又?AD平分～ ，CAF ?，,，12～ ?～ ，,，34 ?～ AEAC, ABBD由可得:～ CEAD?,AECD ABBD? ,ACCD 【点评】 例题及巩固即为角平分线定理. 2【变式2】已知条件同变式1，求证:ADBDCDABAC,,,, EFA34 21 BDC DAE，,，ABEADB【解析】在外作交的延长线于点～ ,ABC ?～～ ，,，23，,，34 ，,，24?～ ，,，1BDE又?～ ? ,,AEBADC? AEAB?～即～? AEADABAC,,,,ACAD 由可得:～ ,,AEBADC?，,，ACDE 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 9 of 25 又?～ ，,，ADCBDE ?～ ,,DACDBE? ?～? DADEDCDB,,, 得: ??,DADEAEADDCDBABAC,,,,,-= 2?～即 ADDEADDCDBABAC(),,,,,ADBDCDABAC,,,, 2ABBM【例8】 已知:AD、AE分别为的内、外角平分线，为DE的中点，求证: M,,ABC2ACCM AA CCBEBEDMDM 【解析】连接AM～由已知条件可知～ ，,:DAE90 ～ ，,，，，,，，，，，,，ACMCADADCBADDACCAMBAM 又? ，,，AMCAMB ?～ ,,AMCBMA? ABBMABAM?～ ,,ACAMACCM 2ABBM?. ,2ACCM 112ADAE【巩固】已知:、分别为的内、外角平分线，求证:. ,ABC，,BDBEBC A CBDE 【解析】由三角形内、外角平分线性质定理得: ACCDACCE ～～ ,,ABBEABBD CDCE?～ ,BDBE BCBDBEBC,,故～ ,BDBE 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 10 of 25 整理得:～ BCBEBDBDBE()2，,, 112两边同除以得 BCBEBD,,，,BDBEBC BEAFAB【例9】 已知四边形，、分别为一组对边、的两点，若 EADFABCDBC,,ECFDDC 求证:、与成等角. ABEFDC CECEBB G ADFADFH 【解析】作、～、相交于～ AGBC?EGBA?AGEGG 、～、相交于～连接～～ 作DHEHHFHDHBC?EHCD?FG可证得四边形、均为平行四边形～ ABEGCDHE ～～ ?BEAG,ECDH, BEAFAGAF?～?～ ,,DHFDECFD ?～～ AGBC?DHBC? ?～ AGDH? ?～ ，,，GAFHDF ?～ ,,AFGDFH? ?～ ，,，AFGDFH ?、F、H在同一条直线上. G 由 ,,AFGDFH? GFAG?～ ,FHHD GFAB? ,FHCD ?～～ ABGE,CDEH, GFEG?. ,FHEH 由角平分线逆定理可知～ ，,，GEFHEF ?～～ EGAB?EHCD? ABEF?、与成等角. DC AAP【例10】 如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、. Q，XOYOXOY 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 11 of 25 1111? 证明:是定值;? 求的最小值 ，，22OPOQOPOQ XXPPKXFP AAaMAaYY OQQOEOQY 【解析】? 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一: 过点作的垂线～分别交、于点、～过点作的平行线交的延长线于点AEPEFFOAOXOYOY. K ?～ ，,，XOAYOAEFOAOEOF,,, KPPAKPPF～ KPOY?,,,QEAQOEOF KPPFPA?～ KPPF,,,QEQEAQ PAOP? ，,，,,XOAYOAAQOQ PFOPPFQE? ,,,QEOQOPOQ OEOEOQEQ,OFOPOFPF,?～ ,,,11,,,OQOQOQOPOPOP OFOEOFOE? 112,,,,，,OPOQOPOQ 112? ，,OPOQOE 11因为A点为定点～故E、均为定点～为定值～所以是定值. F，OEOPOQ方法二: A过作～交于M～ AMOY?OX 易证得: AMOM, 设～? AMOMa,,AMOY? aOPa,aPM?～即～ ,,OQOPOQOP 111整理得:～ ，,OQOPa A?已知是的平分线上的定点～ ，XOY ?为定值. a 11?为定值. ，OQOP 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 12 of 25 11111111112? 因为～其中为定值～要使 的值最小～，，，,，,,()22222OPOQOPOQOPOQOPOQOPOQ 则必须使的值最小. OPOQ, 2而 OPOQOFPFOEEQ,,，,,()()()OEEQPFOEEQ,,,,,，OE PFOP又～ ,EQOQ ? ()()0OEEQPFOEEQOEPFOPEQOEOQPF,,,,,,,,,,,, 2当且仅当～即点处于点处时有最小值. PFOPOQ,OEOPOF, 112此时有最小值 ，222OPOQOE 【点评】 本题的?小问归根结底用到的也是拆分～不过它里面结合了“角平分线定理”和复杂的比例变换. 111【巩固】在中，，AD平分交于点，求证: D,ABC，,:BAC120，BACBC,，ADABAC AA E CBCBDD 【解析】过点ABED作的平行线～交于点. AC ?～～ ，,:BAC120，,，BADCAD ? ，,，,:BADCAD60 DEAB??～ ? ，,，,:ADEBAD60 ?ADAEDE,, DECDAEBD?～ ,DEAB?,,ACBCABBC DEAECDBD? ，,，,1ABACBCBC 111AD等式两边同除以～则有: ，,ABACAD AB～分别向外作等边三角形ABM～～如右图:【点评】 本题即为诺模图定理～本题也可以分别以ACACN 111由基本模型:～等量代换即可证得. ，,BMCNAD 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 13 of 25 N MA BDC 2abc,板块三、 型结论的证明 2中，，，证明:，【例11】 ,2002宁夏中考试题,如图，直角ABBDBC,,,ABCABAC,ADBC, 22，. ACCDBC,,ADBDCD,, A BDC 【解析】?， ABAC,ADBC, ?,ABD?? ,CAD,CBA ?,ABD? ,CAD BDAD2 ? ,,,,ADBDCDADCD BDABCDAC22 同理可得～～ ,,,,ACCDBC,,,,ABBDBCACBCABBC 【点评】上述的结论就叫做射影定理～这个结论及相关基本图形非常重要. E【例12】 (2007年北师大附中试题)如图，中，于D，于， ,ABCADBC,BEAC, 2DFAB,BEFD于F，交于，、的延长线交于点H，求证:. DFFGFH,,GAC A FEG BCD H 【解析】熟悉了上例的基本图形和相关结论后～例12就迎刃而解了. 2 直接证明有些困难～可通过射影定理转化成证明 DFFGFH,, AFBFFGFH,,, BFFH,HFA 即证明～这个结论比较明显～证明?即可. ,BFG,FGAF 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 14 of 25 【巩固】(河南省初三数学竞赛题)如图，，点在上，，是的中ABDBDAD,MRtABCC,，,:中，90AC点，于，点是的中点，连接。求证:。 EPDPMEBEDP,AEAC, CC DD EE PP AABBMM 。 【解析】连接DM BDADBMAMDMAB,,,,， MEAD, 2？,MEDEAE•(射影定理) DEDEDEBCMEME222,,,,,1PEMECECEAEME2 DEBC？,PECE ACBCPEADDEPECB,,,,,,? ？，,，PDECBE ？,PDBE 【巩固】(2001青岛市中考题)已知，如图正方形EFEHAB,内接于，在斜边上，于H。DEFGRtABC,BC 2求证:(1);(2)。 EFBEFC,,,ADGHED? A DGH CBEF 【解析】(1) ABACDEDGEHABHEDADGDEDG,,,,，,，,，，， ？,,ADGHED? (2) GFBCDEBCABACEBDCGF,,,,，,，,, ？,,DBECGF? BEDE？,GFCF DEFGEF,, 2 ？,EFBECF 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 15 of 25 【例13】 (据06淄博市中考题改编)已知，如图，为等边三角形，且的两边交直，DAE,ABC，,:DAE120 2线于两点，求证:( DE，BCBDCE,,BC AA 12 3 DDBCEBCE 【解析】?～ ，,:，,:DAEBAC12060， ?( ，，，,:1260 又?～?～ ，,:360，，，,:160E ?～ ，,，2E ?～ ，,，,:ABC360 ? ，,，,:ABDACE120 ?～ ,,ABDECA? ABCE?～即～ ABACBDCE,,,,BDAC ?～ ABACBC,, 2?( ABBDCE,, 【巩固】上题中，将等边改为一般等腰三角形()，在不添加辅助线的条件下: ,ABCABAC, 2，DAE? 当与满足什么关系时，(括号里填图中已有线段)( (_____),,BDCE，BAC ? 证明你的结论( 122【解析】? 当时～(或) ABBDCE,,ACBDCE,,，，:,，BACDAE902 11? ?～即～ ，，:,，BACDAE90，，，，，,:，，1290BACBAC22 1?～ ，，，,:,，1290BAC2 1?～ ，,:,，390BAC2 ?～ ，，，,，123 又?～ ，，，,，13E ?，,，2E～ ，,，1D同理～?～ ,,ABDECA? ABCE?～即～ ABACBDCE,,,,BDAC22又?～?( ABACBDCE,,,ABAC, ，,，BB'【点评】 本题中～如果两个三角形有两角相等～如图～～且～则两三角形相，，，，，,:ABC'180 似～若两三角形中有两边相等～且这两边不是对应边～则这个相等的边一定他们各自对应边的比例 中项( 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 16 of 25 AA' B'C'CB 中，，于，，延长交于，交于， 【例14】 如图，等腰EDBPF,ABCABAC,ADBC,CFAB?ACCF 2求证:( BPPEPF,, AA FF EE PP21 DDBBCC 【解析】连接～ CP 由～ CFAB? ?～ ，,，F1 ，,，12再证明可得 ,,APBAPC? ,也可以由～于是～ ABACPBPC,,，，,，，,，ABCACBPBCPCB，等量减等量便可得，,，12, 又?～ ，,，CPEFPC ?～ ,,CPEFPC? 2?～ PCPEPF,, 又?～ PCPB, 2?PBPEPF,,( ADADADE【例15】 如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于F， ,ABC，BACBC 2求证:( FDFBFC,, AA 312 EE 4 BBDDCFCF AF【解析】连接 EFADAFDF,?垂直平分～?～ ，,，4DAF?～即～ ，,，，，423 ，,，，，41B又?～?～ ，，，,，，，231B 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 17 of 25 ?平分～?～?～ AD，,，12，BAC，,，3B 又?～ ，,，CFAAFB 2?～?( FAFCFB,,,,CFAAFB? 2又?～? AFDF,FDFBFC,, 2【巩固】如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于， ADADEFFDFBFC,,,ABCBC 求证:平分( AD，BAC 【解析】连接AF～ 垂直平分～ ?EFAD ?～ AFDF, 22?～? DFFCFB,,AFFCFB,, AFFB?～ ,FCAF 又? ，,，AFCBFA ?～ ,,AFCBFA? ?～ ，,，3B ?～～ ，,，，，41B，,，，，423 ?～ ，，，,，，，231B ?，,，12～即AD平分( ，BAC 板块四、三角形内接矩形问题 【例16】 已知，如图，中，，四边形为正方形，其中在边ACBCC,,，,:3490，，DE，,ABCDEGF AB上，在上，求正方形的边长( ACBC，FG， CC EDED I AFGBAFBHG 【解析】方法1 由勾股定理可求得～由可得( AB,5ABCHACBC,,,CH,2.4 DECI由可得～ ,,CDECAB?,ABCH xx2.4,60设正方形的边长为～则～解得( xx,,3752.4 方法2: 设～则～ CEk,4DEk,5 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 18 of 25 25?～ GEk,5BEk,3 2512?～即～解得～ CEBE，,4k,44kk，,373 60?DEk,,537 【变式1】? 若将例题中正方形改为矩形，，则矩形的边长为多少,(不需要计算结果，说说思DEDF,2 路即可) ? 若例题中的三角形不是直角三角形，且，则正方形的边长为ACABBC,,,51145，，DEGF 多少, 【解析】? 例题中的两种解法都适用于本题(,过程略, ? 辅助线同例题( 设～则～ AHa,BHa,,11 222222222则有～即～解得～ CHACAHBCBH,,,,5(45)(11),,,,aaa,3 ? CH,4 (余下的过程同例题中的方法1) 【变式2】同例题图，四边形为正方形，在线段上，在AB上，如果DE，ACBC，FG，ABCD ，，求的面积( SS,,1S,3,ABC,,ADFCDE,BEG 226【解析】 辅助线同例题(设正方形边长为～则( xAFCIBG,,,，，xxx CIDE由～得～ ,,CDECAB?,CHAB 2 xx?～解得～?～ ,ABCH,,63，x,228，，xxxx 1? SABCH,,,9,ABC2 EA【例17】 (2007年内江)如图，在中，，，，动点 (与点，不重合)在边,ABCAB,5BC,3AC,4CAC EFABF上，?交于点( BC EABF? 当的面积与四边形的面积相等时，求的长( ,ECFCE EABF? 当的周长与四边形的周长相等时，求的长( ,ECFCE ABP,EFP? 试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形,若不存在，请简要说明理由;若存 EF在，请求出的长( 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 19 of 25 C EF AB 【解析】? ? EFAB? ?? ,ABC,EFC 当时～则 SS,SS:1:2,,,ECFEABF,,CEFCAB ACCE1?～? ,CE,,22AC22 与四边形周长相等时～则: ? 当EABF,ECFCECFAEABBF，,，， 设与的相似比为 ,EFC,ABCk 则～～～ CEACkk,,,4CFBCkk,,,3AEk,,44CFk,,33 ? 34(44)(33)5kkkk，,,，,， 624 解得:～? k,CEACkk,,,,477 ? ? 如图过E(或)～分别作AB垂线～垂足为(或)～当 (或)时～(或FPPEFFP,EFFP,1212 EF)为等腰直角三角形(过作于H～交于～则～设QEFQH,,EFPCCHAB,2 ～ EFQHx,, 由～得 ABCHACBC,,,CH,2.4 ?? ,ABC,EFC EFCQxx2.4, ?～即 ,,ABCH52.4 6060 ?～? x,EFx,,3737 C QEF APHPB12 EFDPABP2DPEF,,EFP? 作的中垂线～交于～当时为等腰直角三角形( 设～则( EFx,DPx,0.5 ?? ,ABC,EFC EFCQxx2.40.5,?～即 ,,ABCH52.4 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 20 of 25 120120解得～即( EFx,,x,4949 C DQEF APHB 家庭作业 【习题1】 (E2008年湖北省荆州市)如图，直角梯形中，，，，ABCD，,:BCD90ADBC?BCCD, 为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连EF交，,:BEC90,BECC90:BCDC,DCF 于(已知，则的值为 ( ) MBCCF,,53，CDDMMC: A( B( C( D( 5:33:54:33:4 DA EM F BC 【解析】 ?～ ，,，,，,:DFMCFDCFE45，,:CEF45 ?～ ，,，CEMDFM 又?～ ，,CMEDMF? DMDF?～ ,MCCE 由题意可知:～ ,,BCEDCF? DFBE,?～ 22在中～～ Rt,BCEBEBCCE,,,4 DM4?(故选C( ,MC3 EADBD,【习题2】 如图，在直角梯形中，，对角线，垂足为，，ABCDABBC?，,ABCDACBD,EADEFAB?F过的直线交于( AFBE,? ， 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 21 of 25 2? ( AFAEEC,, DC FE AB ～ 【解析】? ?EFAB? ? ，,，DFEDEF ?DFDE,～ 又?～ ADBD, ?～ AFBE, ? ～～ ，,:ABC90BEAC, ?～ ,,ABEBEC? 2? BEAEEC,, 2? AFAEEC,, 【习题3】 如图，在矩形中，，点P沿AB边从点A开始向点B以秒的速度移ABBC,,126，ABCD2/ 动，点沿DA边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用(秒)表示移动的时间 DQPQ，t1/ ( (06)??t ? 当为何值时，为等腰直角三角形, ,QAPt ? 求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论( QAPC ? 当为何值时，以点为顶点的三角形与相似( QAP，，t,ABC DC Q BAP 【解析】? 当为等腰直角三角形时～～ ,QAPAPAQ, ?～ 26tt,,t,2 11? SSStt,，,,，，，，,(6)122636,,QACAPC四边形QAPC22 即四边形的面积为定值( QAPC ? 分2种情况 APBA2t? 当时～～即～解得( ,,APQBAC?,,2,2t,3AQBC6,t AQBA6,t6? 当,,AQPBAC?时～～即～解得( ,,2t,,25APBC2t 6综上当或时～以点QAP，，为顶点的三角形与相似( t,3,ABC5 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 22 of 25 月测备选 【备选1】 如图，中，，于为的中点，的延长线交于( FDE，DEAC，,ABC，,:ACB90CDAB,BC ACFA求证:( ,BCFD F C 2 E13 ADB 【解析】?～E为中点～ CDBC,BC ?～ EDEC, ?，,，12～ 又?～ ，，，,:，，，,:290390BB， ～ ?，,，13 又?，,，FF～ ～ ,,FCDFDA? FAAD?～ ,FDCD 又?～ ，,，，,，,:3390，ACBADC ?～ ,,ABCACD? ADAC?～ ,CDBC ACFA?( ,BCFD AC3PB【备选2】 如图，中，，点从出发，沿方向以的速度移动，,ABCBC2/s，,:,,CBC908，，AB5点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与QPQ，BC，,CPQCCA1/s 相似, ,CBA A Q CBP AC3【解析】?～设～ ACkABk,,35，，,:,,CBC908，，AB5 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 23 of 25 222?～ ACBCAB，, 222即～解得,负值已舍去, (3)8(5)kk，,k,2 ? AC,6 设经过后与相似(此时 ,CPQBPtPCtCQt,,,,282，，ts,CBA 本题需分两种情况: ? 当时～ ,,CABCQP? CQCPtt82,～即～解得 ,,t,2.4CACB68 时～ ? 当,,CABCPQ? CQCPtt82,32～即～解得( t,,,1186CBCA 32综上～当秒或秒时～与相似 ,CPQt,2.4,CBA11 【备选3】 (07扬州)如图，矩形中，厘米，厘米()(动点同时从B点 ABCDAD,3ABa,a,3MN， 出发，分别沿，运动，速度是厘米,秒(过作直线垂直于AB，分别交，1MBA,BC,ANCD 于(当点到达终点时，点M也随之停止运动(设运动时间为秒( PQ，tNC 厘米，秒，则PM,______厘米; ? 若a,4t,1 ? 若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比; ta,5???PNBPAD ? 若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围; PQDAaPMBN ? 是否存在这样的矩形:在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形 的PQDAPQCNPMBN 面积都相等,若存在，求的值;若不存在，请说明理由( a Q Q C C D D N P N P A A B B M M 3【解析】 ? ～ PM,4 ? ～使～相似比为 t,2???PNBPAD3:2 ? ?～ PMABCBABAMPABC?，?，，,， PMAMPMat,tat(),～?即～?～ ???AMPABC,,PM,BNABtaa ta(1),? QM,,3a ()()QPADDQMPBNBM，，当梯形与梯形的面积相等～即 PQDAPMBN,22 tatt(),,,,,33(1)(),，,,，aattt,,,,6aaa,,,,化简得～ t,,,6，a22 6a?～?～则～?～ t?3a?636,a??36，a ? ?时～梯形与梯形PQDA的面积相等 36,a?PMBN 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 24 of 25 ?梯形的面积与梯形的面积相等即可～则 PQCNPMBNCNPM, t6a?～把代入～解之得～所以( ()3att,,,t,a,,23a,23a6，a 所以～存在～当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等( PQDAPQCNaa,23PMBN 2010年?暑假 初三数学?第2讲? 教师版 page 25 of 25