周期函数
1.了解周期函数的基本概念。
2.了解周期函数经过四则运算、复合运算、求导运算、积分运算
后的周期性。
3.学习、掌握MATLAB软件有关命令。
从图形上观察六个三角函数的周期性。
1.周期函数的基本概念
函数
fx()是以T为周期的周期函数是指对任何x，有
fxTfx()()，,
使得上式成立的最小正数T称为函数的最小正周期。
2.周期函数的四则运算
3.周期函数的最小正周期
1、周期函数的四则运算与复合
2、周期函数的求导与积分运算
1、最小正周期的确定
练习1 图形上观察六个三角函数sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx的
周期性。绘制正弦函数y=sinx在区间[-6π，6π]的图形，相应的MATLAB代码为
>>x=-6*pi:2*pi/30:6*pi;
>>y=sin(x);
>>plot(x,y);
>>xlabel('x');ylabel('y');
运行结果见图10.1。
从图形中可以看出y=sinx为周期函数，最小正周期T?6。实际上，最小正周期T=2π=6.28…。同样，可以画出余弦函数y=cosx的图形，见图10.2，其最小正周期也为T=2π。
,xkk,，,,,,0,1,2,...,是画正切函数y=tanx的图形时，要注意函数在2
不连续，所以我们只能分别绘出函数在区间
,,(,),0,1,2,...kkk,，,,,,,的图形。相应的MATLAB代码为 22
>>x=-1.5:0.01:1.5;
>>x1=x-pi;x2=x+pi;
>>y=tan(x);y1=tan(x1);y2=tan(x2);
>>plot(x,y,x1,y1,x2,y2);
>>xlabel('x');ylabel('y');
运行结果见图10.3。
从图10.3可看出，函数y=tanx在每个区间,,(,),0,1,2,...kkk,，,,,,,的图形是相同的，故其最小正周期为π。 22
同样，注意到余切函数y=cotx在xkk,,,,,,0,1,2,...上不连续，可画出函数在各个区间(,(1)),0,1,2,...kkk,,，,,,上的图形，这个函数是以π为最小正周期的奇函数。
图10.4
1yx,,secxkk,,,,,,0,1,2,...在上没有定义，它是个无正割函数cos
界的偶函数。
图10.5
1ycsx,,cxkk,,,,,,0,1,2,...余割函数在上没有意义，它是个无sin
界的奇函数，且是以2π为最小正周期的周期函数。
图10.6
练习2研究函数yxxx,，，sin2sin23sin3的周期性。在区间[-6π，
6π]绘图，相应的MATLAB代码为
>>x=-6*pi:2*pi/30:6*pi;
>>y=sin(x)+2*sin(2*x)+3*sin(3*x);
>>plot(x,y);
>>xlabel('x');ylabel('y');
从图10.7可见，函数
yxxx,，，sin2sin23sin3仍然为周期函数，最小正周期T?6。
1. 画图研究下列函数的周期性，并从理论上证明。
sin2x；
（1）
（2）cos2cos23cos34cos4xxxx，，，
（3）sin(cos(sin()));xxx，，
（4）sin(sin(sin()));xxx，，
（5）sin(2cos(sin()));xxx，，
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