两个数的最大公约数与最小公倍数有什么联系
两个数的最大公约数与最小公倍数是两个完全不同的概念,但它们之间又存在着一定的规律(以12和20的最大公约数与最小公倍数为例:
12和20的最大公约数是2×2,4;
12和20的最小公倍数是2×2×3×5,60(
12与20的积是12×20,240,它们的最大公约数与最小公倍数的积是 4×60=240(两个积正好一样,这并非巧合,而是一种规律,即:两个自然数的积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积(通过原来算式的因数交换可以得到
证明
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再如:45与105的最大公约数和最小公倍数为:
45与105的最大公约数是3×5,15;
45与105的最小公倍数是3×5×3×7,315
45与105的乘积是45×105,4725,再看最大公约数与最小公倍数的乘积也是15×315,4725(由此可证明,两个数的最大公约数与最小公倍数是有联系的,这种联系是通过以上规律来体现的,这个规律如果用字母公式
表
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示为:
一般地,a×b=(a,b)× [a,b]
依据这个规律,在求两个数的最大公约数和最小公倍数时,可以推导出新的公式(即:已知12与20的最大公约数是4,求它们的最小公倍数是多少,
最小公倍数,两数的乘积?最大公药数,12×20?4,60
如果已知12与20的最小公倍数是60,求它们的最大公约数是多少,
最大公约数,两数的乘积?最小公倍数=12×20?60,4