矩阵的等价标准形应用

矩阵的等价标准形应用 第3讲 矩阵的等价标准形的应用 设矩阵的秩rank，则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆阵Q，使AAr,mn， E0,,r， PAQ,,,00,, E0,,r我们把称为A的等价标准形(熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们,,00,, 具有相同的等价标准形(矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题( 2例1 每个方阵A均可写成，其中B是可逆阵，C是幂等阵(即)(ABC,CC, E0,,r证 设A的秩rank，则存在可逆阵P和Q，使(记，APQ,Ar,BPQ,,,00,, E0,,r,12ABC,CQQ,，显然B是个可逆阵，是个幂等阵，并且(CC,,,00,, ,1nr,例2 设n阶方阵A的秩rank，证明存在可逆阵P，使的后行全是零(PAPAr, E0E0,,,,rr,1,,11nr,PAQ,PAPQP,证 存在可逆阵P和Q，使，从而的后行全是,,,,0000,,,,零( Arn,,BAAB,,0例3 设n阶矩阵A的秩rank，证明存在非零n阶矩阵B，使( ,1BEAA,,B,0AAAAA,证 由例1知存在可逆阵和幂等阵，使(记，显然，且，，211212 ,,11BAEAAAAAAEAAAB,,,,,,,,0( ，，，，21121221 例4 设n阶矩阵A，B满足，证明( ABE,BAE, E0,,rrn,PAQ,证 存在n阶矩阵P，Q，使得，这里r,rank A，我们断言(事实上，,,00,, ABE,从易知 E0,,r,,11， ,,,PAQQBPQB,,00,, E0,,r,,11， EQBP,,,,00,, ,,11,,,111由此显然得到，此时，从而，进而rn,PAQQBPE,,EQBPPAQQBAQ,,, ( BAE, 2例5 设n阶幂等阵A(即)的秩rank，证明存在可逆阵P，使Ar,AA, E0,,r,1( PAP,,,00,, TRE0,,,,11r,1,1证 存在可逆阵R和T，使，记，其中为r阶方阵，则TR,TRAT,,,1,,RT0022,,,, TRETR0,,,,,,11r11,,,111， RARRATTR,,,,,,,,,,RT0000,,,,22,, 22,,11从即知，从而 AA,RARRAR,，， 2TRTRTR,,TTR,,,,,,111111111,,， ,,,,,,,,00000000,,,,,,,, 2TTRTR,TR因此，且，注意到的秩等于r，知r阶方阵的秩rank，TTr,TT,，，，，，，11111111111 必须TE,，随之得到 1r ER,,r1,1( RAR,,,00,, ER,,,r1PR,现令可逆阵，可验证 ,,0E,nr,, ERER,,,,,rr11,,11PAPRAR,,,,,,,00EEnrnr,,,,,, ERER,0ERE,,,,,,,,rr11rr1 .,,,,,,,,,,,,00EE0000,,,,,,,,nrnr,, 例6 设n阶幂等阵A的秩等于r，证明 A，EAn,,(i) rankrank; ，， A,(ii) trrank A; (iii) 任何实幂等阵均可分解为两个实对称矩阵的乘积( 证 由例5知存在可逆阵P(当A为实阵时，P亦可取为实阵)，使得 E0,,r,1( PAP,,,00,, 00,,,1(i)此时，这样 PEAP,,，，,,0,Enr,,, rankrank( A，EArnrn,,，,,，，，， ,1(ii)trA,trrank( APAPr,,，，，， EEE000,,,,,,,,11rrr,,11,,,,(iii)易知，显然APPPPPPPPPP,,,,,，，，，,,,,,,000000,,,,,, E0,,,1r,,PP,和PP都是实对称阵，从而也是实对称阵( ，，PP,,00,, 例7 若n阶阵A满足 A，rankrankEAn,,， ，， 则A是个幂等阵( QQ,,12Q,证 由例2知存在可逆阵P和，其中是r阶方阵，rank A，使得Qr,,,1QQ34,, QQEQQ0,,,,,,12r12,1PAP,,, ,,,,,,QQ0000,,,,34,, EQQ,,,,r12,1EA,EAnr,,,EPAP,,又从条件知的秩rank，的秩也等于，必须nr,，，,,0Enr,,,EQ,,0QE,，即，这时 r11r 2EQEQ2,,,,rr22,,11,,,PAPPAP ，，,,,,0000,,,, 是个幂等阵，进而A是个幂等阵( 2EAr，,AE,例8 1(设A是个n阶对合阵(即)，rank，证明 ，，(i) 存在可逆阵P，使 E,,r,1PAP,( ,,,Enr,,, EA，，EAn,,(ii) rankrank( ，，，， (iii) 每个实对合阵均可表为两个实对称矩阵之积( 2(若n阶阵A满足rankrank，则A是对合阵( EA，，EAn,,，，，， 1证 注意到A是对合阵当且仅当是幂等阵，利用例5,7的结论即得(EA，，，2 2a,0例9 (i)设n阶阵A的秩等于r，满足，此处(证明存在可逆阵P，使得AaA, aE0,,r,1( ,PAP,,00,, (ii)设A，B是如下的n阶矩阵: 111？n00？,,,, ,,,,000？111？,,,,，， A,B,,,,,？？？？？？ ,,,,111？000？,,,, ,1证明存在可逆阵P，使( PAPB, 证 (i)我们仿照例5的思路来进行(存在可逆阵R，使 AA,,12,1RAR， ,,,00,, 22,,11AaA,其中是r阶方阵(从知，即 ARARaRAR,,，，1 22AAAA,,AAA,,,,1212112,,a， ,,,,,,000000,,,,,, 2a,0AAAaAA,,,于是，且(注意到，A的秩rankAr,，因此AaE,，AaA,，，，，11212111r11 aEA,,r2,1( RAR,,,00,, 1,,EA,r2,,记，P显然是可逆的，并且 PR,a,,,,E0,nr,, 11,,,,aE0EAEA,,,rrr22,,11,,,,( PAPRAR,,,,aa,,,,,,00,,,,,,EE00nrnr,,,,,, 2A,1AnA,(ii)显然A的秩rank，又容易验证，故据(i)即知结论( 例10 设A是个矩阵，B是个矩阵，证明 mn，nm， mn,( ,,,EABEBA,,,mn E0,,r证 设A的秩rank，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使，记分块Ar,APQ,,,00,, BB,,12阵，其中为r阶方阵，则有 QBP,B,,1BB34,, EE00,,,,rr,1 ,,,EABEPQBEPQBPP,,,,,,,mmm,,,,0000,,,, BBEE00,,,,,,12rr,, ,,,,,,EQBPE,,mm,,,,BB0000,,,,34,, ,,EBB,r12,mr ,,,,EB，,,r10E,,mr 同理可得 nr,,,,EBAEB,,,,， nr1 mn,,,,EABEBA,,,因此证明了(进一步地， mn mnmn,,,,,,,,EABEABEBAEBA，,,,,,,,，( ，，，，mmnn 例11 设矩阵A的秩等于r，证明对任意矩阵B，0是AB的至少重特征值，0mn，nm，mr, 是BA的至少重特征值( nr, 证 从例10的证明直接推出( 例12 计算行列式 1，xyxyxy？11121n xyxyxy1，？21222n( ？？？ xyxyxy？1，nnnn12 解 根据例10可知 1，xyxyxyx？,,111211n,,xyxyxyx1，？212222n,,,，Eyyy,,,？，，12n,,？？？？ ,,xyxyxyx？1，nnnnn12,, x,,1,,x2,, ,,,,，Eyyy？，，12n,,？ ,,xn,, 1 .,，，，，xyxyxy？ 1122nn ,例13 设A是个n阶可逆阵，和是两个n维列向量(证明rank当且仅当An，,,,,,，， ,1,( ,,A1,, ,,,111,,,, 证 由例10得，注意到AAEAAEAAA，,,，,,，,，,,,,,,,,,1，，n1 ,1,,,,A,0，的秩rankAn，,,,当且仅当A，,,,0当且仅当，即A,,，10,,A，,，， ,1,( ,,A1,, 例14 设均不为0，计算行列式 aaa,,,？12n 1111，a？1 2222，a？2 3333，a？( 3 ？？？？ nnnna？，n a,,1,,a2,,A,aaa,,,？解 因均不为0，故对角阵是可逆的，由例13可得12n,,？ ,,an,,, 1111，a？1a1,,,,12222，a？,,2,,a22,,,,33331,1,,1，,，a？？，，3,,,,？？？？？？,,,,ann,,,,nnnna？，n 1,, ,,21,,, 11,1,,1,，,？AA，，,,？ ,,n,, nn,,i 1 .,，,a ,,,,iai,1i,1i,, nl，例15 设A是个矩阵，B是个矩阵，证明下面的Sylvester秩不等式mn， Bn,rank AB ? rankA，rank( 证 设A的秩等于r，B的秩等于s，存在m阶可逆阵P，n阶可逆阵Q和R，l阶可逆阵S，使 得 E0E0,,,,rs，， APQ,BRS,,,,,0000,,,, TT,,12TQR,,记，其中是矩阵，则 Trs，,,1TT34,, EET000,,,,,,rs1， ABPQRSPS,,,,,,,,,000000,,,,,, Tn,注意到P、T、S都是可逆阵，rank，故 T0,,1AB,rankrankrankT， ,1,,00,, T而是T中去掉后nr,行、后ns,列所得的矩阵，而在矩阵中去掉一行(列)，矩阵的秩最多减少1 1，因此 AB,Tnnrnsrsn ?,,,,,，,rankrank( ，，，，1 例16 设A、B、C是任意三个矩阵，乘积ABC有意义，证明下面的Frobenius秩不等式: BC,AB，rank ABC ? rankrankrank B( lm，Br,np，mn，证 设A是矩阵，B是矩阵，C是矩阵，且设rank，则存在m阶可逆阵 QE0,,,,1rPPP,,Q,PQmr，P和n阶可逆阵Q，使(现作分块阵，，是矩阵，BPQ,，，,,1211,,Q002,,,, 是矩阵，则 rn， QEE00,,,,,,1rr， BPQPPPQ,,,，，,,1211,,,,Q0000,,,,2,, 于是根据例15得到 ABC,rankrank? rankrank APQC,AP，QCr,，，1111 ? rankrank APQ，PQCr,1111 BC,, rankAB，rankrank B ( 例17 设矩阵A的秩等于r，证明存在可逆阵、使PA的后行全为零，AQPQmn，mr,mm，nn，的后列为零( nr, E0E0,,,,rr,1 证 存在可逆阵P和Q，使得，显然的后行为零，而mr,PAQ,PAQ,,,,,0000,,,, E0,,r,1且的后列为零( nr,AQP,,,00,, ABU,例18 设A、B是两个等秩的矩阵，若存在n阶矩阵U，使，则存在可逆阵V，使mn， ABV,( 证 设A、B的秩等于r，从例17知存在可逆阵P和Q ，使 APA,,0BQB,,0，， ，，，，11 Q,,1,1PPP,,Q,其中，都是秩为r的矩阵(现作适当的分块，，则有ABmn，，，,,1211Q2,, APAPAPA,,,,0， ，，，，121 Q,,1BBBQ,,,0， ，，,,111Q2,, AAP,从而，并且进一步可得 11 AAPBUPBQUP,,,,,， 111111 AVQUP:,V注意到的秩等于r，故r阶方阵的秩也等于r，即是可逆的，于是有11111 ,,,111BBQAVQ,,,0,0，，，，111 ,,11 ,,,,VV00,,1111 ,0 ,,,,AQAPQ，，,,,,100EEnrnr,,,,,, ,1,,V0,11ABV,显然是可逆的，我们把它的逆记为V，则( PQ,,0Enr,,, 例19 试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组的一种解法(AX,0mn， E0,,r解 设A的秩等于r，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使，于是线性方程PAQ,,,00,,AX,0组可化为 E0,,r,,11， PQX,0,,00,, y,,1,,y21,,,YQX:,,记，则原方程组等价于 ,,？ ,,yn,, y,,1,,yE0,,2r,,,0， ,,,,？00,,,,yn,, AX,0Qqqqqq,,,,,,,？？即(令，容易验证都是的yyy,,,,？0qqq,,,？，，121rrn，12rrrn，，12 AX,0解，从而它们构成的一基础解系( ? 下面是具体的操作过程( 首先构造矩阵 A,,B,， ,,En,,，，mnn，， 然后对矩阵B作如下的初等变换: (i) 对A(即B的前m行)作初等的行变换， (ii) 对B作初等的列变换， 则经过有限次上述的初等变换后，B可变为 E0,,rA,,,,00,,,,， B,,？,,,,？？,,E,,n,,Q,, AX,0nr,此时Q的后个列向量构成的一基础解系( AXb,例20 试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组的一种解法(mn， 解 下面仅给出具体的操作过程，至于其原理可按例19的方式得到( 首先构造矩阵 Ab,,， ,B,,0En,,，，，1mnn，，，， 然后对矩阵B作如下形式的初等变换: (i) 对B的前m行作行的初等变换， Ab,，， A,,(ii) 对B的前n列作列的初等变换， ,,En,, 则经过有限次上述变换后，B可变为 E0,,r,Abb,,,,， B,,00,,,,E0n,,,,Q0,, b,,1,,？,, ,,br,b,AXb,Qqqqqq,,,,,,,？？记，，此时可得如下的结论:有解当且仅当，，,,121rrn，br1，,, ,,？,,,,bm,, AXb,;当时，是的一个特bbb,,,,？0bbb,,,,？0bqbqbq，，，？rrm，，12rrm，，121122rr AXb,AX,0解，qqq,,,？是所对应的齐次线性方程组的一基础解系(rrn，，12 例21 试从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法( ,,11解 设A是个n阶可逆阵，A的秩等于n，存在可逆阵P和Q，使，，进PAQE,APQ, ,1而(这给出了求逆矩阵的一种方法( AQP, 首先构造矩阵 AE,,， B,,,0E,,22nn， 然后对B进行如下形式的初等变换: AE,(i) 对B的前n行进行初等的行变换， ，， A,,(ii) 对B的前n列进行初等的列变换， ,,E,, 则经过有限次上述变换后，B可变为 AEEP,,,,， B,,,,,,EQ00,,,, ,1由此求得( AQP, ,,例22 设A是给定的矩阵，X是矩阵，求矩阵方程的所有解X(AXXA,mn，mn， 解 设A的秩rank，取定m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得 Ar, E0,,r， APQ,,,00,,,,代入，得到 AXXA, EE00,,,,rr,,,， QPXXPQ,,,,,0000,,,, EE00,,,,,1rr,1,,,， ,,,PXQQXP，，,,,,0000,,,, EE00,,,,rr,,,11,,， ,,,PXQPXQ，，,,,,0000,,,, XX,,12,1,PXQ,现记，其中是r阶方阵，代入上式得到 X,,1XX34,,mn， XX0XXE,,,,,,1212r,,,,,,,,XX0000,,,,34,, ,,,,,,,XXX0E0,,131r,,,, ,,，,,,,,,00,,,,,XXX0242,,,, ,XX,X,0由此得到，，因此我们解得了 112 X0,,,11,XPQ,， ，，,,XX34,, XX,mrn,，X其中是r阶对称矩阵，是个任意的矩阵( ，，，，341 X0,,,11,XPQ,Xmn， 反过来，对任意矩阵，其中是对称矩阵，我们容易验证，，,,1XX34,, ,,,,AXXA,AXXA,(这样我们就求出了的全部解( ? AMBMXMYM,,,, ,,,例23 设，则矩阵方程，，，，，，，，mnpqnqmp，，，， AXYBC,, ACA0,,,,有解当且仅当和等价( ,,,,0B0B,,,, AXYBC,,证 若X，Y满足方程，则 EYEX,,,,,AAAXYBAC0,,,,,,,mn， ,,,,,,,,,,,,00EE000BBBpq,,,,,,,,,, ACA0,,,,因此与等价( ,,,,0B0B,,,, ACA0,,,,Bs,反过来，如果与等价，那么它们具有相等的秩(设rank，rank，Ar,,,,,0B0B,,,, 存在可逆的，使得 PMQMRMTM,,,, ,,,，，，，，，，，mmnnppqq，，，， E0E0,,,,rs，， RBT,PAQ,,,,,0000,,,, 则有 E000,,r,,PAQ0000000,,,,,,,,， ,,,,,,,,,000000RBTE,,,,,,s,,0000,, ECC0,,r12,,PACQCC0000,,,,,,34,,， ,,,,,,,,,000000RBTE,,,,,,s,,0000,, CC,,12PCT,其中，C为矩阵(又记 rs，,,1CC34,, C00C,,,,12K,，， L,,,,,C0003,,,,mp，nq，则 E000,,r,,EL,EK,PACQC00000,,,,,,,,,,nm4,,， ,,,,,,,,,,,,,0E0E000000RBTEqn,,,,,,,,s,,,,0000,, C,0因此从条件可知，这样 4 ,,11ELEKACPAQ000,,,,,,PQ00,,,,,,,,,,nm，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,110E0E0000BRBT00RTq,,,,,,,,n,,,,,,,, 由此得到 ,,11， CAQLTPKRB,,,,,，， AXYBC,,这意味着有解( 例24 证明每个秩r的矩阵可以表为r个秩1的矩阵之和( 证 设矩阵A的秩为r，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使 mn， E0,,r( APQ,,,00,, 现记，，…，显然这rAPeQ,,0,,0？APeQ,0,,0,,0？APeQ,0,0,,,0,,0？？，，，，，，1122rr个矩阵的秩均为1，且满足( ?AAAA,，，，？12r