奇异值分解
?4.4矩阵的奇异值分解
矩阵的Jordan标准形有两个局限，其一、是只有方阵才能求其Jordan标准形;其二、Jordan标准形毕竟不如对角矩阵来得方便。本节讨论的矩阵奇异值分解，将克服这些局限性。 定理4.4.1如果为阶复矩阵，则有: An
HH1)矩阵，的特征值都是非负实数; AAAA
HH2)矩阵与的非零特征值都相同。 AAAA
nHH,,证:1)设为的特征值所对应的特征向量，则是Hermite矩阵，所以,CAAAA,
H是实数;并且， ，，，，，，0,A,,A,,，，,,AA,,,,,,,,,,,
,,0,,0因为，所以。
H同理可证，的特征值也是非负实数。 AA
H3)将的特征值按顺序记为:， AA,,,,？,,,,,,,？,,,012rr，1r，2n
nH设,C为的非零特征值所对应的特征向量， AA,,，，，，i,1,2,？,ri,1,2,？,rii
HHA则由=，有=， AA,,,,，，,,，，i,1,2,？,ri,1,2,？,r(AA)Aiiiiii
HA因为是非零向量，所以也是的非零特征值; AA,,ii
HH同理可证，AA的非零特征值也是AA的非零特征值。
HHHHAAAAAAAA以下证明与的非零特征值完全相同，这只要证明与的非零特征值的代数重数相同即可。
HH,y,y,？,yAAAA设为对应于非零特征值的线性无关的特征向量，因为是12p
H,AApHermite矩阵，也就是说既是正规矩阵，它是单纯矩阵。所以就是非零特征值的
HAAAy,，，代数重数。而也是对应于非零特征值的特征向量i,1,2,？,p。而这些向量ii
A(y,y,？,y)K,kAy，kAy，？，kAy,0线性无关，这是因为:若， 12p1122pp
H,,0(y,y,？,y)K,0,(y,y,？,y)K,0AA则，即;由于，所以12p12p
HK,0,(y,y,？,y)K,0y,y,？,yAAp，但线性无关，所以。因此，也是的重12p12p
非零特征值。
HUAUAU,diag(,,...,,,,...,,)对于Hermite矩阵，存在酉矩阵，使得，其1rr，1n
112
U中是的特征值。假定是的非零特征值，将分块成 AA,,...,,,,...,,,,...,,1rr，1n1r
n，rn，(n,r)， ，，U,UU,U,C,U,C1212
则
H 。 A,Udiag(,,...,,)U111r
称上式为Hermite矩阵的谱分解。 A
? 定义4.4.1设是秩为的复矩阵， Am，nr
H的特征值为， AA,,,,？,,,,,,,？,,,012rr，1r，2n则叫做矩阵A的正奇异值。 ,,,，，i,1,2,？,rii
UV定义4.4.2设A、B是复矩阵，若存在阶酉矩阵，阶酉矩阵，使得 m，nmnA,UBV，则称矩阵A与B酉等价。
定理4.4.2设ABAB、是复矩阵，若与酉等价，则它们有相同的正奇异值。 m，n
UVA,UBVAB证:因为与酉等价，即存在阶酉矩阵与阶酉矩阵，使得， mn
H,1H,1HHHH,1H,1有酉矩阵的性质可知U,U，V,V，所以A,VBU,VBU，
HHH,1H,1H,1则，即与酉相似， AABBAA,UBVVBU,U(BB)U
HH所以，AA与BB有相同的特征值，即有相同的正奇异值。 ?
UA定理4.4.3(奇异值分解定理)设是秩为的复矩阵，则存在阶酉矩阵，阶m，nmnr
,0,,HV,,,,,酉矩阵，使得。其中， A,UV,,,,？,,,,diag()ii12r,,00,,
A，,,C， 是矩阵的正奇异值。 ，，,，，i,1,2,？,ri,1,2,？,rii
HAA证明:记的特征值为
,,,,？,,,,,,,？,,,0 ， 12rr，1r，2m
U则存在m阶酉矩阵，使得
,,,12,,,,,0HH.,,UAAU(),.,。 ,,,,,00,,,,,n,,
U将分块为
m，rm，(m,r)U,CU,C，，U,UU ， ，。 1122
则有
113
2,,,0HHH2,, 。 ，，，，，，U(AA),AAUAAU,UU,U,012121,,00,,
故
22HHHH 。 UAAU,UU,,,,UAAU,0111122
HHH,1由此可得。令，则，即的r列是两V,(v,...,v)AU,0V,AU(,)VV,E11r211r11
n两正交的单位向量。添加单位向量，使成为的标准正Cv,...,vv,...,v,v,...,vn,rr，1n1rr，1n
H交基,则是n阶酉矩阵。记，则。 UU,0V,(v,...,v,v,...,v)V,(v,...,v)21rr，1n2r，1n1
H,,,0V,,HHHHH1,,,,，， 。 ，，VAUVAUAUV,,,0,121,,H,,00V,,2,,
故
,0,,H ,, 。 A,UV,,00,,
2,,,0HHH,,AA,VV，因此是的对应于特征值的单位特由定理4.4.3有，vAA,jj,,00,,
,1征向量。可以验证,。 U,AV,11
由于
,0,,HH,,,,, ， AUVUV11,,00,,
HA我们也称为的奇异值分解。 U,V11
12,,,,A,00例1、 求矩阵的奇异值分解。 ,,
,,00,,
50012,,,,,,,,100,,H,,AA,00,000解:因为， ,,,,,,200,,,,,,00000,,,,
HA5AA,,5,,,,,0显然矩阵的特征值为。所以，矩阵的正奇异值为。 123
TTT，，，，，，而对应的单位正交特征向量分别为,,1,0,0,,,0,1,0,,,0,0,1 123
，，U,,,,，，，，U,U？UU,,则，，， 2231211
114
1,,TT,,100,,,,112,,21H,1,,V,AU,,,,,()0,，取V,,,,,， ,,112,,,,,,20055555,,,,,,,,0,,
12,,,,10050,,,,,,,,55,,,,所以，A,01000。 ,,21,,,,,,,,,00100,,,,,,55,,
115
116
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